1、 -1- 习 题 三 1. 分别写出下列矩阵的行阶梯形、行最简形和标准形矩阵： （1） 12;34 （2）123456;789（3）111032212411115. 解：（ 1 ）行阶梯形： 3131212,3402rr 行最简形： 13 2213122121210,340 01rr rrr 也是标准形 （2）行阶梯形： 312121 247123123123456036036,7890612000rrrrrr 行最简形： 212132123123101456036012,789000000rrr LL 标准形： 31322123101100456012010.78900 000cccc+LL
2、 （3）行阶梯形： 32213122111031110311103221240012200122,111150021 00036rrrrrr 行最简形： 123132313-221110311103110212212400122001221111500036000121100500102,00012rrrrrrr+ LL标准形： -2- 215153542334522111031100510000221240010200100111150001 000101000001000.00100cccccccccccc+ L2. 利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆, 若可逆求其逆矩阵. （1）
3、121342;541（2）231123;415（3）31411110.20111120解：（ 1 ）对矩阵( )AE做初等行变换, 即 21313512110 12110034201 02131054100 0146501rrrr 231232710021010021002131 020136100116710011671rrrrrr+ 2312100210010132312,0011671rr 所以, 矩阵可逆, 且 112 21042013421323121361.2541167132142= （2）对矩阵( )AE做初等行变换, 即 1223110 12301012301 2311004
4、1500 415001rr -3- 213124123010077120077041rrrr 3210127370077120000121rr, 所以, 矩阵不可逆. （3）对矩阵( )AE做初等行变换, 即 123141100 111001001110010 3141100020110010201100101120000 11200001rr 2131 141332421110010 444004000471130 047113000231021 046204200030010 00300101rrrr rr+ 123240311100047113000011112000300101rrrr
5、 340311100047113000011112000300101r 1323433734004226004086101400011112000033461rrrrrr+ 1233331200126618001202418304200033336000033461rrr -4- 1424344812000610640120062680030010100033461rrrrrr+ 123411,121211,3310001256121301001216122300100130130001143213rrrr , 所以, 矩阵可逆, 且 13141125612133532111012161223
6、31341 .201101301302026112014321368122 = =3. 利用矩阵的初等变换解下列矩阵方程. （1）0122311415.21036= X 解：对矩阵( )AB做初等行变换, 即 12012231141511415012232103621036rr 312114150122303814rr 123231021801223002713rrrr+ 1232310065010916002713rrrr+ 3121006501091600172132r , 所以, -5- 65916.72132X=（2）200200130030.521001=X 解：方法一：对矩阵( )
7、TTAB做初等行变换, 即 132152006315600032030032030001001001001r 1312231326013630600631303203 030032001001001001rrrrrr+1216131001121360100123001001rr , 所以, 112136100600101231210=360.60011362311346TX= = 方法二：（特殊方法）因为 11|6| |1|6BBABA A = , 所以 1BA 为可逆矩阵. 又因为 ( ) ( ) ( )11BAAEBBABX=, 所以对矩阵( )AE做一系列初等行变换将A变为B , 则E变
8、为 1XBA= , 即原问题的解. 对矩阵( )AE做初等行变换, 即 ( ) 213125220010 20010013001 030121052100 0215201rrrrAE += -6- ( )32232001000301210001136231rr BX+ = , 所以, 10060011210=360.61362311346X= 4. 求下列矩阵的秩. （1） 101011.111（2）12340112.1231（3）31325323.13507514（4）1211124311.1213300252解：（ 1 ）对矩阵做初等行变换, 化为行阶梯形得 313210110110101
9、 01 011,11 012003r rrA +=所以 () 3.RA= （2）对矩阵做初等行变换, 化为行阶梯形得 31123412340112011212310005rrA = , 所以 () 3.RA= （3）对矩阵做初等行变换, 化为行阶梯形得 -7- 21313141537313213501350532 53230122731350313 0818275147514016364rrr rrrrA = 23 3242411,32141350135004910491049 000004910000rr rrrrr , 所以 ( ) 2.RA= （4）对矩阵做初等行变换, 化为行阶梯形得
10、213121211 121112431 0011112133002420025200252rrrrA+= 332424312 62712111121110011 0011100060000100007 00000rrrr rr , 所以 ( ) 3.RA= 5. 设矩阵111111111111kkkk=A , 且 ()3AR =, 求k的值. 解：对矩阵A做初等行变换, 化为行阶梯形得 21311441211111111111 11 010111 11 001111 1110111rrrrrrrkrkkkkkkAkkk kkk= 434211 11101010101001 0011001(1)
11、(2)000(1)(3)rrrrkkkkkkk kkkk kk+ + , 因为 ()3RA=, 所以 10k , (1)(3)0kk+=, 求解得 3.k= -8- 6. 设矩阵122343123119a=A , 问a为何值时, ()3R A , 则 0.B 6. 设A为n阶可逆矩阵, 则（ B ） （A）若 =ABCB , 则 =AC. （B）A总可以经过初等行变换化成E . （C）对矩阵()AE 施行若干次初等变换, 当A变为E时, 相应地E变为 1A . （D）以上都不对. 7. 设A是mn 矩阵, ()Rr=A , C是n阶满秩矩阵, 1,()rr=BACB , 则 （ C ） （A）
12、 1rr . （B） 1rr 时, 必有|0AB . （B）当mn 时, 必有|0=AB . （C）当nm 时, 必有|0AB . （D）当nm 时, 必有|0=AB . 9. 设 (3)nn 阶方阵1111aaaaaaaaaa= ALLLMMMML, 若 ()1rn=A , 则a必为 （ B ） （A）1. （B） 11 n . （C） 1 . （D） 1 1n . 解：对A做初等变换 11111100011010001iirraaaaaaaa aaAa aaaaa+ = LLMMMMMMMMLL-18- 11,11(1)(1)(2)0 0000100001jjccjnnananaaaaa+
13、=+ LLLLMMMML, 因为 ()1rAn=, 所以1(1)0na+=, 即 11a n= . 10. 设 ,AB均为非零n阶矩阵, 且 =ABO, 则A与B的秩 （ D ） （A）必有一个为零. （B）一个小于n , 一个等于n . （C）都等于n . （D）都小于n . 证明：因为 ,AB均为非零n阶矩阵, 所以 (),()RAnRBn. 假设 ()RAn= , 那么A为可逆矩阵, 进而由ABO= 得BO= , 与已知条件矛盾. 因此, 必有 ()RAnAA . （D） T 0 , 所以AX b= 也可能无解. （D）若AX0= 只有零解, ()RAn= , 但有可能 ()()RARA
14、 , 所以AX b= 也可能无解. 16. 设A为mn 矩阵, mn , 非齐次线性方程组 =AX 对应齐次线性方程组=AX0, 下面结论正确的是（ B ） （A） =AX 有无穷多解. （B） =AX0有非零解. （C） =AX0只有零解. （D） =AX 无解. 17. 若n阶矩阵A满足 2 +=AAO, 证明 ( ) ( )RRn+=AAE . 证明：因为 2AAO+=, 即 ()AAEO+=, 所以 ()()RARAEn+. 另一方面, ()()()()()RARAERARAEREn+=+=. 综上, ()()RARAEn+=. 18. 若 2AE= , 证明 ()().RRn+=AE
15、AE 证明：因为 2AE= , 即()()AEAEO+=, 所以 ()()RAERAEn+. 另一方面, ()()()()(2)()RAERAERAEREAREREn+=+=. 所以()()RAERAEn+=. 19. 设A为 (2)nn 阶矩阵, *A 为A的伴随矩阵, 则 ( )*,()1,()1()1AAAAnRnRRnRn= 若若0，若证明：当 ()RAn= 时, A为可逆矩阵, 从而 1A 也为可逆矩阵, 进而由 *1AAA=得 *A 也为可逆矩阵, 所以 *().RAn= -21- 当 ()1RAn=时, |0A = , 由行列式展开定理得 *A AEO=, 所以*()()RARA
16、n+, 即 *()()1RAnRA=. 另一方面, 由 ()1RAn=知存在一个非零的 1n 阶子式, 即 *A 有非零元素（一阶子式）, 所以 *()1RA . 综上所证, *()1.RA = 当 ()1RAn时, A的所有 1n 阶子式都为零, 因此 *A 的所有元素都为零, 即 *AO= , 所以 *()0.RA = 20. 设三阶矩阵 ,abbbabbba=A 问 ,ab满足什么条件时, *A 的秩等于1？ 解：当 *()1RA = 时, ()12RAn= . 对矩阵A进行初等变换 3232212122000000r ccr ccab abbabbbAba baa abbb baa ab+= . 因为 ()2RA= , 所以 20,0abab+=, 即 20,.abab+=
