线性代数(王定江)第6章答案.pdf

1、 -1- 习 题 六 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： （1） 1254； （2）123012001； （3）123213336； （4）251130232； （5）133353664； （6）111111111LLMMML; 解：（ 1 ）矩阵的特征多项式 () ( )( )12 1654fAE llllll=+ , 所以特征值为 121,6ll=. 对特征值 1 1l = , 解齐次方程组( ) 0AEX+=, 由 1211252 115 00rrrAE += 得基础解系 111p=, 所以 ( )1110kpk 是对应于 1 1l = 的全部特征向量. 对特征值 2 6l = , 解

2、齐次方程组( )60AEX=, 由 21525265 00rrAE += 得基础解系 225p=, 所以 ( )2220kpk 是对应于 2 6l = 的全部特征向量. （2）矩阵的特征多项式 -2- () ( )31230121001fAEllllll=, 所以特征值为 1231lll=. 对特征值 1231lll=, 解齐次方程组( ) 0AEX=, 由 21121122302302001000200100100 00 000rrrrAE =得基础解系 1100p=, 所以 ( )1110kpk是对应于 1231lll=的全部特征向量. （3）矩阵的特征多项式 () ( )( )12321

3、319336fAEllllllll=+, 所以特征值为 1231,0,9lll=. 对特征值 1 1l= , 解齐次方程组( ) 0AEX+=, 由 3 12112312 15 23 3222322322011022 00 00 0003370052001001r rrrrrrrA=得基础解系 1110p=, 所以 ( )1110kpk是对应于 1 1l= 的全部特征向量. 对特征值 2 0l=, 解齐次方程组 0AX =, 由 -3- 22131321212 33312312310121 03 011336033000rrrr rrrrA += 得基础解系 21p=, 所以 ()2220kp

4、k是对应于 2 0l=的全部特征向量. 对特征值 3 9l=, 解齐次方程组()90AEX=, 由 12213313,12882 246924692832496360904533 24242403015r rrrrA+= 2 112321 1345 121524692401220102102 02100 00 000r rrrrr + 得基础解系 312p=, 所以 ()3330kpk是对应于 3 9l=的全部特征向量. （4）矩阵的特征多项式 () ( )32511301232fAEllllll= =+, 所以特征值为 1231lll= . 对特征值 123lll= , 解齐次方程组()0A

5、EX+=, 由 12213 31232351011011120120102231011000r rrr rrrAE + += 得基础解系 -4- 1211p=, 所以 ( )1110kpk 是对应于 1231lll= 的全部特征向量. （5）矩阵的特征多项式 () ( )( )213335342664fAElllllll= =+, 所以特征值为 1232,4lll=. 对特征值 122ll= , 解齐次方程组( )20AEX+=, 由 1213113233 33 111233 00000066 00 000rrrrrAE+=得基础解系 12111,001pp= , 所以 1122kpkp+ (

6、 12,kk不同时为0)是对应于 122ll= 的全部特征向量. 对特征值 3 4l = , 解齐次方程组( )40AEX=, 由 12131 321312 ,633 33 111439 0126021660012 000rrrrr rrrAE+ = 1122201021000rrr得基础解系 3112p=, 所以 ( )3330kpk 是对应于 3 4l = 的全部特征向量. -5- （6）矩阵的特征多项式 ()11111111111nnfAEnllllllllll=LLMMMMMMLL( ) ( )1111111 0011100nnllll=MMMMMMLL() ( )1111100100

7、n nn llll =LLMMML, 所以特征值为 1210,nnnllll=L . 对特征值 1210nlll=L , 解齐次方程组 0AX =, 由 12,11111111 000111000irrinA=LLLMMMMMMLL得基础解系 11111100,010001nppp = LMMM, 所以 ( )112 11121, ,0nnnkpkpkpkkkLL是对应于 1210nlll=L 的全部特征向量. 对特征值 n nl=, 解齐次方程组( ) 0AnEX=, 由 11,11111111 1011100iirrinnnnnAnEnn+=LLLMMMMMM -6- 112, 2,111

8、111110101001001i iir rrni innn+= LLLLMMMMMMLL112, 2,1110110101001001i ir rrni innnn= LLMMMMMMLL1 12110100010 101001001r rrn LLMMMMMM 得基础解系 1111np=M, 所以 ( )0nnnkpk 是对应于 n nl= 的全部特征向量. 2. 已知矩阵1333566Aab=的特征值为 1232,4lll=, 求 ,ab的值. 解：依题意知 ( ) 123123tr150,1243616,AbAabllllll =+=+= =+=求解得 3,4ab=. 3. 已知3阶方

9、阵A的特征值分别为1,1,2 , 求以下各矩阵的所有特征值. （1） TAA； （2） 3223+AAAE. 解：（ 1 ）因为A的特征值分别为1,1,2 , 所以 2A= . 又因为 ( ) ( ) ( )T 22A AAlll= 所以 TAA的特征值分别为 2,2,4. -7- （2）因为 ( ) ( ) ( ) ( )323223231AAAEAAAllll+=+, 所以 3223AAAE+的特征值分别为1,5,11 4. 设 2 56+=AAEO, 证明A的特征值只能是2或3. 证明：设 l是矩阵A的特征值, 则 2 56ll+是 2 560AAE+=的特征值, 又因为零矩阵只有特征值

10、0, 所以 2 560ll+=, 即 2l = 或 3l = . 5. 设A为3阶正交阵, 1=A , 试证 0=EA . 证明：因为A为正交阵, 所以 TAAE= , 因此 ( ) ( )31TTTEAA AAAEAAEAEEAEA=, 所以 0EA=. 6. 设矩阵10022422a=A 与20001000b=B 相似, 求a、b的值. 解：因为矩阵A和B相似, 所以 AB= , ( ) ( )trAtrB= , 即 242,31,abab=+= 求解得 1,3ab=. 7. 设矩阵20131405x=A 可相似对角化, 求参数x的值. 解：A的特征多项式 () ( )( )2201311

11、6405fAExlllllll=, 所以特征值为 1231,6lll=. 根据矩阵A可相似对角化的充分必要条件知 ( ) 321RAE=, ( )6312RAE= . -8- 对特征值 121ll=, 解齐次方程组( ) 0AEX=, 由 2131341011013 003404000rrrrAExx=且( )1RAE=知30x=, 所以 3x=. 8. 设3阶方阵A有特征值 1230,1,9lll=, 对应的特征向量依次为 1231111,1,1102= ppp, 求该矩阵A. 解：方法一：因为矩阵A有3个线性无关的特征向量, 所以A可以对角化, 即A与( )123diag,lll相似. 令

12、 123,=Pppp, 则 ( )1 123diag,PAP lll = , 即 ( )11123111000111diag, 111010111102009102APPlll= 019222123101933021360018112336= . 方法二：因为 123,ppp相互正交, 所以 3121 2 332221231111191111260022TTTTTAp p ppppplll =+=+ 1101121231311011221322000224336=+= . 9. 题 1 的六个方阵中, 哪些可以对角化？其相似标准形和相似变换阵各是什么？ 解：（ 1 ）因为矩阵A有两个线性无关的

13、特征向量, 所以可以相似对角化, 其相似标准形为 1 6=L , 相似变换阵 1215P=. -9- （2）因为矩阵A只有一个线性无关的特征向量, 所以不可以相似对角化. （3）因为矩阵A有三个线性无关的特征向量, 所以可以相似对角化, 其相似标准形为109L=, 相似变换阵111111012P=. （4）因为矩阵A只有一个线性无关的特征向量, 所以不可以相似对角化. （5）因为矩阵A有三个线性无关的特征向量, 所以可以相似对角化, 其相似标准形为224L=, 相似变换阵111101010P=. （6）因为矩阵A有n个线性无关的特征向量, 所以可以相似对角化, 其相似标准形为000nL= O

14、, 相似变换阵1111100100010011P= LLMMOMMLL. 10. 设 ,AB都是n阶方阵, 且A可逆, 证明AB与BA相似. 证明：因为 ( ) ( )( )1111ABABEABA ABAA= , 所以AB与BA相似. 11. 已知111=p 是矩阵2125312ab=A 的一个特征向量, （1）求参数 ,ab的值以及特征向量p所对应的特征值； （2）问A能不能相似对角化？并说明理由. 解：（ 1 ）依题意, 设l是特征向量p所对应的特征值, 那么Appl= , 即 2121153111211abl= 212,53,12,ablll=+=+=求解得 3,0,1abl= . （

15、2）矩阵A的特征多项式 -10- () ( )32125331102fAEllllll= =+, 所以特征值为 1231lll= . 对特征值 1231lll= , 解齐次方程组( ) 0AEX+=, 由 13132 213,52312011011523022000101101101r rrr rrAE+= 知( ) 2330RAE+=, 所以矩阵A不可以对角化. 12. 设123011000=A , 求 1000A . 解：矩阵A的特征多项式 () ( )( )1230111100fAEllllllll= =+, 所以特征值为 1231,0,1lll=. 对特征值 1 1l= , 解齐次方程

16、组 0AX =, 由 132 1213 222322322011000100100100100 00 00 000rrr rrA +=得基础解系 1110p=, 所以 ( )1110kpk是对应于 1 1l= 的全部特征向量. 对特征值 2 0l=, 解齐次方程组 0AX =, 由 -11- 212212310101 011000000rrrA=得基础解系 2111p=, 所以 ( )2220kpk 是对应于 2 0l=的全部特征向量. 对特征值 3 1l=, 解齐次方程组 0AX =, 由 2213321212302302302002100200100 001000rrrrrrrrA +=得

17、基础解系 3100p=, 所以 ( )3330kpk 是对应于 3 1l=的全部特征向量. 令 ( )123111,110010Pppp=, 123100diag(,)000001Llll=, 则 1PAP L = , 即 1APPL= , 所以 ( )1000-110001000110001111100111110000110010001010APPPPLL= 100 - -1111100111111100111110000110110000110010001010010001010= 101011101100001011000112000= . -12- 13. 以下哪些是正交阵？说明理由

18、. （1）184999814999447999；（ 2 ） cossinsincosqqqq；（ 3 ）12036111236111236. 解：（ 1 ）因为 184184999999814814999999447447999999T184184999999814814999999447447999999=100010001=, 所以是正交矩阵. （2）因为 cossincossincossincossinsincossincossincossincosTqqqqqqqqqqq qqqq= 222210cossincossinsincos01sincoscossinsincosqqqqqqq

19、qqqqq+=+, 所以是正交矩阵. （3）因为 1212003636111111236236111111236236T12 110 036 22100111111 010236333 001111211236666 = , 所以是正交矩阵. -13- 14. 已知矩阵21132184182113218ab=A 是正交矩阵, 求 ,ab的值. 解：因为 211 223218 3341118221412113 181818218TaA abb=2221210392 1002128212 010399392200121201392ababababab+=+=, 所以 222120392819212

20、0392ababab+=+= =求解得 1 ,03ab=. 15. 设为单位向量, 证明 T2=HE 是对称的正交阵. 证明：因为 ( ) ()222TTTTTTTTHEEEHa aaaa=, 并且 ( )( )2244TTTTTTHHEEEEa a a aaaa=+=, 所以 2 THE aa= 为对称的正交矩阵. -14- 16. 求一个正交矩阵P , 使 1PAP为对角阵. （1）220212020=A ；（ 2 ）102012221=A . 解：（ 1 ）矩阵A的特征多项式 () ( )( )( )22021221402fAEllllllll=+, 所以特征值为 1232,1,4lll

21、=. 对特征值 1 2l = , 解齐次方程组 0AX = , 由 1 32 1221 2121242021021020123202201101102 02 000000r rr rrrr rA+ += 得基础解系 1122p=, 所以 ( )1110kpk 是对应于 1 2l = 的全部特征向量. 对特征值 2 1l = , 解齐次方程组 0AX = , 由 211232221212012010120202102102102 000r rrrrrA+= 得基础解系 2212p=, 所以 ( )2220kpk 是对应于 2 1l = 的全部特征向量. 对特征值 3 4l = , 解齐次方程组

22、0AX = , 由 -15- 211232 12212 ,222022010223201 01202400 000r rrrr rrA = 得基础解系 3221p=, 所以 ( )3330kpk是对应于 3 4l=的全部特征向量. 令 3121231221,2123221pppPppp=, 则 1221229001001121221209001099221221009001TPP= , 11122220122212212212221020221PAP= 12222820012124180109221424004= . （2）矩阵A的特征多项式 () ( )( )( )102012313221f

23、AEllllllll=+, 所以特征值为 1233,1,3lll=. 对特征值 1 3l= , 解齐次方程组 0AX =, 由 1 31322121240220120104 02 02122222 000r rrrrrA=得基础解系 -16- 1112p=, 所以 ( )1110kpk 是对应于 1 3l = 的全部特征向量. 对特征值 2 1l = , 解齐次方程组 0AX = , 由 12 1232311,221200200100000 00 001222111110rr rrrrrA+=得基础解系 2110p=, 所以 ( )2220kpk 是对应于 2 1l = 的全部特征向量. 对特

24、征值 3 3l = , 解齐次方程组 0AX = , 由 1 313221221 2220210110102 01 011224224000r rrrrrA =得基础解系 3111p=, 所以 ( )3330kpk 是对应于 3 3l = 的全部特征向量. 令 3121231612131321,161213132626013202pppPppp= , 则 132112 6001001113233006001066006001202222TPP= , -17- 1113213210213201213222120 202PAP=1123332 180030011330333206001066001

25、80032226032 =. 17. 设 3 阶对称阵A的特征值为 1231,1,0lll=, 对应 12,ll的特征向量依次为 12122,1,22= pp 求矩阵A . 解： 3121 2 332221231122112211992222TTTTTAp p ppppplll =+= 1224243061021112442120360129993244424660220= . -18- 复 习 题 六 1. 设452573694=A , 则以下向量中是A的特征向量的是（ A ） （A）111； （B）113； （C）110； （D）103. 解：4521157311169411=g 2. l

26、是n阶可逆方阵A的特征值, p为对应的一个特征向量, 则以下结论正确的是（ A ） （A） p也是矩阵 1A 的属于特征值 1l 的特征向量； （B）p也是矩阵 TA 的属于特征值l的特征向量； （C）()l=AEx0的所有解都是A的特征向量； （D）()l=AEx0的所有解都可表示为kp . 解：因为Appl= , 所以 11pAApApl=, 即 11Appl=, 因此A正确. 3. 设123001xyz=A 的特征值为1,2,3, 则必有（ B ） （A） 2,4,8xyz=； （B） 1,4,xyzR=； （C） 2,2,xyzR=； （D） 1,4,3xyz=. 解：因为 11123

27、6,26,yyx+=+= =, 所以 1,4xy = =4. 如果n阶方阵A的任意一行的所有元素之和都等于a , 则A必有一个特征值（ A ） （A）a；（ B ） a ；（ C ） 0 ；（ D ） 1a . -19- 解：因为 1 12121222121111nnnnnaaa aaaa aAeaaeaaa a=LLMMMMMML, 所以a必是一个特征值, e是其对应的特征向量. 5. 若n阶方阵A的特征值全是零, 则以下结论不正确的是（ C ） （A） 0=A；（ B ） tr()0=A；（ C ） ()0R=A；（ D ） nll=EA . 解：（ A ） 12 0nAlll=L, （B

28、） 12tr( nAlll=+=L （C）令 1111A=, 则 21111AE llll=, 即A的特征值全为零, 但是 ()1RA=. 6. 设3阶矩阵A的特征值互不相同, 且A为奇异矩阵, 则A的秩为（ C ） （A）0；（ B ） 1 ；（ C ） 2 ；（ D ） 3. 解：因为A为奇异矩阵, 所以 0A=. 又因为 123 0Alll=, 且A的特征值互不相同, 所以仅有一个特征值为0, 因此 ()( )0312RARAE= . 7. 设4阶实对称阵A满足 2 +=AAO, 且 ()RA=3, 则A相似于（ D ） （A）1000010000100000； （B）100000000

29、0000000； （C）1000010000000000； （D）1000010000100000. 解：设l是矩阵A的特征值, 则 2ll+是2AA+的特征值. 因为 2 0AA+=, 所以其特征值只有零, 即 2 0ll+=, 因此 0l=或者1l= . 因为 0l=时, ( )()3RAERAl=, 所以特征值 0l=的重数为 ()1nRA=. 又因为矩阵A只-20- 有两个特征值, 所以特征值 1l = 的重数为3. 8. n阶方阵A可对角化的充分必要条件是（ B ） （A） 0A ； （B）A有n个线性无关的特征向量； （C）A有n个不同的特征向量； （D）A有n个不同的特征值. 9

30、. 设方阵A与B相似, 相似变换阵为P , 是A的属于特征值l的特征向量, 则以下是B的属于l的特征向量的是（ C ） （A）； （B）P； （C） 1P ； （D） TP . 解：因为 1PAPB = , 所以 11PABP= , 因此 11111()()BPBPPAPPaaalala= . 10. 设A为n阶实对称阵, 是 A 的对应特征值l的特征向量, P为n阶可逆阵, 则矩阵 1T()PAP 对应于特征值l的特征向量是（ A ） （A） TP ； （B） 1T()P ； （C）P； （D） 1P . 解：因为( ) ( ) ( )T1 TTTTTTTPAPPPAPPPAPxxxlx=

31、11. 设n阶方阵A既是实对称阵又是正交阵, 则（ CD ） （A） =AE； （B）A相似于E； （C）A等价于E； （D） 2 =AE. 解：因为 ,TTAAAAE=, 所以A可逆, 且 1 TAAA =. （C）因为A可逆, 所以A等价于E . （D） 2 TAAAAAE=. 12. 证明：若n阶方阵A满足 2 =AA, 则其特征值只能是0或1. 证明：设 l是A的特征值, 则 2ll 是 2AA 特征值. 因为 2AA 的特征值只有零, 所以 2 0ll=, 即 0l = 或 1l = . 13. 证明：若n阶实对称矩阵A的所有特征值都相等, 则A只能是对角阵. 证明：因为A为n阶实对

32、称矩阵, l是A的n重特征值, 所以 ()0RAEl=, 即0AEl=, 所以AEl= 只能是对角阵. 14. 设 TT121(,),0,naaaa= AL , -21- （1）证明 0l = 是A的 1n 重特征值； （2）求A的非零特征值并判断A能否对角化. （1）证明：因为 ( )TTTTAAa aa=, 所以A为实对称矩阵, 因此A与对角阵12ndiag(,)Llll= L 相似, 其中 12,nlllL 是 A 的全部特征值. 又因为()()1RRAL =, 所以L只有一个非零对角元, 因此 0l = 是A的 1n 重特征值. （2）因为 0a , 且 ()TTAaaaaaaa= ,

33、 所以 21nTiiaaa= 是非零特征值, 且其对应的特征向量为 ,0kka . 对于特征值 0l = , 解齐次方程组 0AX = , 由 1112121121221222,212000000iinnranrarinnnnaaaaa aaaaaaaAaaaaa=LLLLLMMOMMMOMLL得基础解系 212100aap=M, 313010aap=M, L, 1001nnaap=M, 因此特征值 0l = 有 1n 个线性无关的特征向量. 综上所述, 矩阵A有n个线性无关的特征向量, 因此可以对角化, 且其相似对角化矩阵 00TaaL=O . 15. 设矩阵12314315a=A 有一个二

34、重特征值, 求a的值, 并讨论A能否对角化. 解：矩阵A的特征多项式 -22- ()1231231432+20515fAEaalllllllll= ( ) ( ) ( )123033 33=2110211021515015 aaalllllll = +( )( )228183alll=+ . 因为矩阵A有一个二重特征值, 所以 ( )2281834alll+= , 或者 ( )( )2818326allll+=, 即 23a= 或者 2a= . 当 23a= 时, 矩阵A的特征值为 1232,4lll=. 对特征值 234ll=, 由 1332213323000000410 023202321

35、2311231103r rrrrAE+= 知特征值 234ll=只有1个线性无关的特征向量, 因此不能相似对角化. 当 2a= 时, 矩阵A的特征值为 1232,6lll=. 对特征值 122ll=, 由 2131123123212 000123000rrrrAE+=知特征值 122ll=有2个线性无关的特征向量, 因此可以相似对角化. ( )20AEx=的通解方程为 12323xxx=, 所以其基础解系为 12231,001pp= 对特征值 3 6l=, 由 121321123211,5 84252308 000612 04 011121121101rrrrr rrrrAE += -23-

36、知( )60AEx=的通解方程为 1323xxxx= = , 所以其基础解系为 3111p=. 令 ( )123231,101011Pppp=, 则 11231123231200101143101020011125011006PAP = = . 16. 证明：正交矩阵的特征值只能是1或-1. 证明：设 l是正交矩阵A的特征值, 则l和 1l 分别是 TA 和 1A 的特征值, 又因为1TAA= , 所以 1ll= , 即 1l = 或 1l = . 17. 已知A为 3 阶实对称阵, 特征值为 1232,1lll=, 且 ( )T1 110=p 是属于特征值 1 2l = 的一个特征向量, 求A . 解：因为矩阵A为实对称矩阵, 所以存在相互正交的特征向量 123,ppp. 令 1 0Tpx= 即120xx+=, 其基础解系为 2001x=, 3110x=. 令 2233,ppxx=, 则 23,pp为特征值 231ll=对应的线性无关的特征向量, 且 123,ppp相互正交, 所以 3121 2 3322212311001121111001112001100TTTTTTAp p ppppplll =+=+ 1100001103101111000011013022000001000002=+= .