1、专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明一、选择题1(2018 浙江)已知 ， ， ， 成等比数列，1a234a且 若 ，则1234123ln()1A ， B ，3a24C ， D ，13a24a12(2018 北京)设集合 则(,)|,Axyxy A对任意实数 ， B对任意实数 ，1a(21)AC当且仅当 时， D当且仅当 时，0a(2,)3 (,)3 （2017 新课标）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则A乙可以知道四
2、人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩4（2017 浙江）如图，已知正四面体 （所有棱长均相等的三棱锥），AC， ， 分别为 ， ， 上的点， ， ，分别记二面PQRABP2BQCRA角 ， ， 的平面角为 ， ， ，则DPRQRQPAB CDA B C D 5(2016 北京)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远（单位：米）1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72
3、 1.68 1.6030 秒跳绳（单位：次）63 a 75 60 63 72 70 a1 b 65在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则A2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B5 号学生进入 30 秒跳绳决赛C8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D9 号学生进入 30 秒跳绳决赛6(2015 广东)若集合 ，且,04,04,04pqrspsqsrs ， ，,pqrs,Ftuvwtuvwtuv 且用 表示集合 中的元素个数，则cadcardrFA B C D2015010507 （2014 北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个
4、等级，依次为“优秀” “合格” “不合格”三种若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好” ，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有A 人 B 人 C 人 D 人23458 （2014 山东）用反证法证明命题“设 为实数，则方程 至少有一个实,ab30xab根”时，要做的假设是A方程 没有实根 B方程 至多有一个实根30xab3C方程 至多有两个实根 D方程 恰好有两个实根0xab9 （2011 江西）观察下列各式: ， ， ， ，则 2015的53126527812
5、末四位数字为 A3125 B5625 C0625 D812510 （2010 山东）观察 ， ， ，由归纳推理可得：若2()x43()x(cos)inx定义在 上的函数 满足 ，记 为 的导函数，则 =Rfffg()f()gxA B C D()fx()x()x()二、填空题11(2018 江苏)已知集合 ， 将 的所有*|21,AxnN*|2,nBxNAB元素从小到大依次排列构成一个数列 记 为数列 的前 项和，则使得nanSna成立的 的最小值为 12nSa12 （2017 北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第 名工人上午的工作时间和加工的
6、零件数，点 的横、纵坐iAi iB标分别为第 名工人下午的工作时间和加工的零件数， =1，2，3i i记 为第 名工人在这一天中加工的零件总数，则 ， ， 中最大的是_ _iQ1Q记 为第 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 ， ， 中最大的ip 1p23是_13(2016 新课标)有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“ 我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 14 （2016 山东）观察下列等式： 2
7、24(sin)(si)133； 224(sin)(si)355；22 6(si)(si)n4777；2238n(si)(si)59993；照此规律， 22223(sin)(sin)(sin)(sin)1111_15 （2015 陕西）观察下列等式：1 21 1341 156据此规律，第 个等式可为_n16 （2015 山东）观察下列各式：；014C；13025513774C照此规律，当 时，*Nn0121212nnCC17 （2014 安徽）如图，在等腰直角三角形 中，斜边 ，过点 作 的垂AB2CABC线，垂足为 ；过点 作 的垂线，垂足为 ；过点 作 的垂线，垂足为1A1 21；，依此类推
8、，设 ， ， ， ，则3 a1213a567a_7aAB CA1A2A3A418(2014 福建)若集合 且下列四个关系： ； ；,2,dcba 1ab； 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 的个数是2c4d ),(dc_19(2014 北京)顾客请一位工艺师把 、 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一AB位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间粗加工 精加工原料原料 A915原料 B62则最短交货期为 个工作日20(2014 陕西)已知 ，若 ，0,1)(xf
9、Nnxffxfn),()(,)(11则 的表达式为 _(2014xf21(2014 陕西)观察分析下表中的数据：多面体 面数（ ）F顶点数（ )V棱数（ )E三棱锥 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中， 所满足的等式是_EVF，22(2013 陕西)观察下列等式: 2132261410照此规律, 第 个等式可为 n23(2013 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1，3，6，10，第 个三角形数为 21nn记第 个 k边形数为,Nnk，以下列出了部分 k边形数中第 个数的表达式：三角形数 21,3n正方形数 4五边形数 2,5N六边
10、形数 6n可以推测 ,Nnk的表达式，由此计算 10,24N 24(2012 陕西)观察下列不等式21335， 47212，照此规律，第五个不等式为 25(2012 湖南)设 ，将 个数 依次放入编号为2nN*(,2)N12,Nx1,2， 的 个位置，得到排列 将该排列中分别位于奇数与偶012P数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置，得到排列，将此操作称为 C 变换，将 分成两段，每段 2个数，并13124NNPxx 1P对每段作 C 变换，得到 ；当 时，将 分成 段，每段 iN个数，并对P2ini2i每段 C 变换，得到 ，例如，当 =8 时， ，此时 位于1i 1537
11、648xx7中的第 4 个位置.2P（1）当 =16 时， 位于 中的第 个位置；N7x2P（2）当 （ ）时， 位于 中的第 个位置.n8173426(2011 陕西)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第 n个等式为 27(2010 浙江)设 ，将12,()(3)2nnNx201naxax的最小值记为 ，则(0)kannT234535110,0,23T其中 =_,nT28(2010 福建)观察下列等式： cos2 =2 1；2cos cos4 =8 8 + 1；42 cos6 =32 48 + 18 1；6cs4s2cos c
12、os8 =128 256 + 160 32 + 1；8o642cos cos10 = 1280 + 1120 + + 1m10cs8cs6n4p2cs可以推测， = np三、解答题29 （2018北京）设 为正整数，集合 对于集合 中的任意元素12=|(,),0,1,2nkAtt n A和 ，记12(,nx 2()ny (,)M12|)| |)nnyxyxy(1)当 时，若 ， ，求 和 的值；3(,0(,1)(,)(,(2)当 时，设 是 的子集，且满足：对于 中的任意元素 ，当 相同4nBAB,时， 是奇数；当 不同时， 是偶数求集合 中元素个数的(,)M,(,)MB最大值； (3)给定不
13、小于 2 的 ，设 是 的子集，且满足：对于 中的任意两个不同的元素nBA， 写出一个集合 ，使其元素个数最多，并说明理由,(,)030(2018 江苏)设 ，对 1，2， ，n 的一个排列 ，如果当 时，有 ，*nN12ni ststi则称 是排列 的一个逆序，排列 的所有逆序的总个数称为其逆序(,sti12ni i数例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1) ，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2记 为 1，2，n 的所有排列中逆序数为 的全部排列的个数()nfk k(1)求 的值；34(2),f(2)求 的表达式(用 表示)5nf n31 （2017 江苏）对
14、于给定的正整数 ，若数列 满足kna1112nknknkna a对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列” ()n()P（1）证明：等差数列 是“ 数列”；n(3)P（2）若数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，证明： 是等差数列na2()na32（2017 北京）设 和 是两个等差数列，记nb，12max,n ncab(1,23)其中 表示 这 个数中最大的数12,s sx（）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列；nnb123,cnc（）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存MmnM在正整数 ，使得 是等差数列m12,mc33(2016 江苏)记 对数列 （ ）和 的子
15、集 ，若 ，定1,20U na*NUT义 ；若 ，定义 例如： 时，0TS12,ktt 12kTtttSa 1,36现设 （ ）是公比为 的等比数列，且当 时，136ana*32,4T0TS(1)求数列 的通项公式；na(2)对任意正整数 （ ），若 ，求证： ；k10 1,2Tk 1TkSa(3)设 ， ， ，求证： CUDCDS CDS34(2016 浙江)设函数 ()fx= ， ,x证明：31(1) ；2(1fx(2) 3()42fx35(2015 湖北)已知数列 的各项均为正数， ，e 为自然对数的na1()()nnbaN底数(1)求函数 的单调区间，并比较 与 e 的大小；()1ex
16、fx(1)n(2)计算 ， ， ，由此推测计算 的公式，并给出证明；1ba2231ba21nba(3)令 ，数列 ， 的前 项和分别记为 , , 证明： 12()nnc ncnSTenS36(2015 江苏)已知集合 ，设 整*,23,.,()XYN(,)|ab除 或 ，令 表示集合 所含元素的个数b,nab除 ()fn(1)写出 的值；(6)f(2)当 时，写出 的表达式，并用数学归纳法证明n ()f37(2014 天津)已知 和 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 ，qn 0,12,Mq=-集合 .12,2, nixqnAx -+=(1)当 ， 时，用列举法表示集合 ；3A(2)设 ， ， ，其中 ，,st112naa- 112ntbqb-=+ ia， 证明：若 ，则 ibM,innst38(2013 江苏)设 是首项为 ，公差为 d的等差数列 0d， nS是其前 项和. 记2nnSc， N*，其中 c为实数.(1)若 0，且 1b， 2， 4成等比数列，证明： 2NnkkS,*；(2)若 n是等差数列，证明： 0c
