1、5/15/2019 1:08 PM,1,3 数学推理Mathematical Reasoning 3.1 推理与证明方法Reasoning and Methods of Proof 3.2 数学归纳方法3.3 递推方法,5/15/2019 1:08 PM,2,定理/Theorem: 一个真值为T的命题语句。 证明/Proof：用论证方式形成的一个命题语句序列说明一个定理为T。 证明的构造/形式：由两个部分组成1、公理、假定或前提/axiom、postulate、hypotheses2、推理规则/rule of inference 其它：引理/lemma、推论/corollary、猜想/conj
2、ecture,一些基本概念,5/15/2019 1:08 PM,3,Definition 1,蕴涵演算/logical implying operation对于任意的公式P和Q，如果P Q 为T，则称P蕴涵Q， 记为P Q 或P/Q 蕴涵演算的推广表示：P1、 P2 、 、Pn Q 前提组/hypotheses 结论/conclusion 证明的基本工具：等值演算，真值表，范式，引用已知简单结论 下表是一些常用的简单结论,5/15/2019 1:08 PM,4,Table 1,5/15/2019 1:08 PM,5,EXAMPLE 6,Hypotheses: (1) It is not sun
3、ny this afternoon and it is colder than yesterday. (2) We will go swimming only if it is sunny. (3) If we dont go swimming, then we will take a canoe trip. (4) If we take a canoe trip, then we will be home by sunset. Conclusion: We will be home by sunset. P: It is sunny this afternoon. Q: It is cold
4、er than yesterday. R: We will go swimming. S: We will take a canoe trip. T: We will be home by sunset.,5/15/2019 1:08 PM,6,The hypotheses become P Q ,R P, R S, and S T, The conclusion is T P Q (h) 7. S T (h) P (s) 8.T R P (h) R (m) R S (h) S (m),5/15/2019 1:08 PM,7,Table 2.,U:Universal I:Instantiati
5、onE: Existential G: Generalization,5/15/2019 1:08 PM,8,EXAMPLE 3,苏格拉底论证： 人固有一死，苏格拉底是人，因此苏格拉底固有一死。 P(x): x是人，D(x):x是要死的，S:苏格拉底。 x (P(x) D(x), P(S) D(S) 1. x (P(x) D(x) (h) 3. P(S) 2. P(s) D(s) (UG) 4. D(S),5/15/2019 1:08 PM,9,EXAMPLE 4,Hypotheses: 任何人如果他喜欢步行，则他就不喜欢乘汽车；每个人喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车；有的人不喜欢骑自行车， Con
6、clusion: 因此有的人不喜欢步行。 W(x): 喜欢步行，B(x):x喜欢乘汽车，K(x)：x喜欢骑自行车；前提：x (W(x) B(x)， x (B(x) K(x) ), x ( K(x), 结论： x ( W(x),5/15/2019 1:08 PM,10,x ( K(x) (h) 7. W(c) B(c) (UI) K(c) (EI) 8. W(c) x (B(x) K(x) ) (h) 9. x ( W(x) (EG) B(c) K(c) (UI) B(c) x (W(x) B(x) (h),5/15/2019 1:08 PM,11,Indirect proof, negate
7、the conclusion,Hypotheses: P Q, P R, Q S Conclusion: S R Proof: P Q, P R, Q S S R (S R)（否定结论） 5. Q (3,4) 9. P Q (5,8) S R （DM） 6. R (2) 10. (P Q) (9) S （ 化简） 7. P R (h) 11. P Q (h) Q S (h) 8. P (6,7) 12. F (11,12),5/15/2019 1:08 PM,12,定理证明方法： 1、直接证明/direct proof: p Q 2、间接证明/indirect proof : p Q Q P
8、3、空证明/vacuous proof: p Q 其中 P为 F 4、平凡证明/trivial proof： p Q 其中 Q 为T,5/15/2019 1:08 PM,13,5、反证明/proof of contradiction：P P S S 6、分例证明/proof of cases： P1 P2 Pn Q （P1 Q） （P2 Q） （Pn Q）,定理证明方法：,5/15/2019 1:08 PM,14,7、存在证明/existence proof： x P(x) constructive, nonconstructive 8、归纳证明/induction proof ： x P(x
9、),定理证明方法：（含有量词）,5/15/2019 1:08 PM,15,进一步的思考,1、从等值演算到蕴涵演算2、从命题公式的推理到谓词公式的推理 3、停机问题/Halting Problem,5/15/2019 1:08 PM,16,练 习,pp.183 4、16、43、68,5/15/2019 1:08 PM,17,3 数学推理Mathematical Reasoning 3.1 推理与证明方法3.2 数学归纳方法Mathematical Induction3.3 递推方法,5/15/2019 1:08 PM,18,The well-ordering property,The well-
10、ordering property(良序定理） Every nonempty set of nonnegative integers has a least element (非空的非负整数集合必有最小元）,5/15/2019 1:08 PM,19,数学归纳法用来证明与整数有关的命题。 数学归纳法的公式表示： P(1) m(m 1 P(m) P(m+1) n P(n)1、归纳基础： P(1)2、归纳步骤： m (m 1 P(m) P(m+1) 数学归纳的理论基础是整数公理，如下所示：,Definition 1,5/15/2019 1:08 PM,20,皮亚诺公理,（1）0N； （2）对每一个n
11、N，唯一定义了一个自然数n，n 称为n的后邻； （3）不同的自然数，其后邻也不同； （4）没有一个自然数的后邻是0； （5）如果有一个子集MN满足： 0M； nM时必n M, 则M = N 自然数全体N通过皮亚诺公理的五条公理组成。这些公理缺一不可，其中性质（5）称为归纳公理，并指出了自然数是满足公理（1）（4）的最小集合。,5/15/2019 1:08 PM,21,数学归纳法的一般公式表示： P(k) m(m k P(m) P(m+1) n P(n)1、归纳基础： P(k)2、归纳步骤： m (m k P(m) P(m+1),Definition 2,5/15/2019 1:08 PM,22
12、,EXAMPLE 1,pp.191 example 51 + 2 + 22 + + 2n = 2n+1 - 1 数学归纳法的正确性可以用皮亚诺公理与良序定理来证明。,5/15/2019 1:08 PM,23,第二数学归纳法： P(n0) k ( k n0 P(n0) P(n0+1) P(k) P(k+1) n P(n)1、归纳基础： P(n0)2、归纳步骤： k ( k n0 P(n0) P(n0+1) P(k) P(k+1),Definition 3,5/15/2019 1:08 PM,24,EXAMPLE 2,证明：任意一个大于1 的自然数或为质数，或能表示为若干个质数的乘积。,5/15/
13、2019 1:08 PM,25,有限数学归纳法：对于 n0 n nk 的 P(n) 有限数学归纳法的前推公式表示： P(n0) n(n0 n nk-1 P(n) P(n+1) n (n0 n nk P(n)1、归纳基础： P(n0) 2、归纳步骤： n(n0 n nk-1 P(n) P(n+1),Definition 4,5/15/2019 1:08 PM,26,EXAMPLE 3,pp. 195 Example 11，12，14,5/15/2019 1:08 PM,27,3.3 递归方法Recursive Definition,5/15/2019 1:08 PM,28,DEFINITION
14、1,定义1 如果一个对象部分地由自己所组成，或者按它自己定义，则称为是递归的（Recursion）。 递归定义的函数f： f的定义域：非负整数集1、递归基础： f(0)2、递归步骤： f(n)=g(f(k), kn, n0,5/15/2019 1:08 PM,29,自然数阶乘n!就是采用递归方法计算出来的。 令f (n) = n!，则f(n)可以表示为：f (0) = 1f (n) = nf (n1) n0,Example 1,5/15/2019 1:08 PM,30,菲波那契数/FibonacciF(0) = 0，F(1) = 1F(n) = F (n1) + F (n2) n1 由上述公式
15、，我们得到：F (2) = 1，F (3) = 2，F (4) = 3，F (5) = 5，F (6) = 8， 利用菲波那契数可以推算出兔子繁衍规律。,Example 2,5/15/2019 1:08 PM,31,Example 6（ PP. 205 ），f3=2, f4=3 2, (归纳基础）fn-1 n-3, fn n-2(n3) (归纳假设）fn+1=fn-1+fn n-2+ n-3= n-3(1+ )= n-3 2= n-1 (归纳证明）,5/15/2019 1:08 PM,32,利用 Fibonacci数列研究Euclid算法的计算复杂性。a=r0,b=r1ri=ri+1qi+1+
16、ri+2 (0 ri+2 n-1 , 10b(n-1) 10 (n-1)/5 hence, n5 10b + 1,5/15/2019 1:08 PM,33,递归定义的集合： 1、3 S 2、X S Y S X + Y S S是能够被3 整除的正整数集合。,Example 4,5/15/2019 1:08 PM,34,Well-formed formulae1、命题公式的定义2、谓词公式的定义3、数集上的 +，-，*，/， 数学表达式的定义,Example 5,5/15/2019 1:08 PM,35,递归算法和迭代算法,建立在递归函数上的算法称为递归算法，即要求解一个有参数n的函数可以调用含有
17、更小参数的同样的函数。 任何一个递归算法都有一个迭代算法与之对应。递归算法要保存和计算一系列中间过步骤，而迭代算法只须保存最新结果，因此其计算量与存贮量都比递归算法好，但是从逻辑结构上讲，递归算法更加紧凑简洁。,5/15/2019 1:08 PM,36,小 结,1、数学归纳方法基础，步骤一般/强，无限/有限 2、递归方法基础，步骤,5/15/2019 1:08 PM,37,进一步的思考 1、以可数集为对象的应用2、与算法的关系 递归算法（recursive)与迭代算法(iterative),5/15/2019 1:08 PM,38,练 习,pp.199 5、48、57 pp.209 2(b),(d)、8、25,
