1、期末复习（三） 轴对称考点一 轴对称与轴对称图形【例 1】 （2013六盘水）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）【解析】根据轴对称图形的概念可以判断 A 选项是轴对称图形，而 B、C、D 选项都不是轴对称图形.故选 A.【方法归纳】判断一个图形是不是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合.变式练习 1.一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是( )来源:gkstk.ComA B C D考点二 轴对称变换【例 2】如图，ABC 和ABC关于直线 l 对称，下列结论中：AB
2、C AB C； BAC= BAC；l 垂直平分 CC；直线 BC 和 BC的交点不一定在 l 上.其中正确的有（ ）来源:学优高考网 gkstkA.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【解析】本题是轴对称性质的应用.利用该性质可得：对应角BAC=BAC，同时都加上CAC，得BAC =B AC ；点 C 与点 C为对称点，对称轴垂直平分对称点连线； BC 和 BC为对应线段，所在直线的交点一定在对称轴上，且关于直线对称的两个图形是全等形.故选 B.【方法归纳】成轴对称的两个图形全等，对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，对应线段所在的直线如果相交，则交点一定在对称轴上.变式练习 2.如图，
3、ABC 的顶点坐标分别为 A(4，6)，B(5，2) ，C(2，1)，作出ABC 关于 y 轴对称的AB C，并写出点 A 的对应点 A的坐标.考点三 等腰三角形的性质与判定【例 3】已知，如图所示，在 RtABC 中，ACB=90， D 是 AB 上一点，BD=BC，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点E，CD 交 BE 于点 F.求证：BE 垂直平分 CD. 【分析】先根据 HL 证明 Rt EBC 与 RtEBD 全等，可得 ED=EC，即点 E 在 CD 的垂直平分线上.又由 BD=BC 可知点B 在 CD 的垂直平分线上 .最后根据两点确定一条直线得证 BE 就是线段 CD 的垂
4、直平分线.【解答】证明：BD=BC，点 B 在线段 CD 的垂直平分线上 .又ACB=90，DEAB，EDB=ACB=90.在 RtEBC 与 RtEBD 中， ,ECDRt EBCRtEBD （HL）.DE=EC. 点 E 在线段 CD 的垂直平分线上.两点确定一条直线，BE 垂直平分 CD.【方法归纳】掌握线段的垂直平分线的定理是解决此类问题的基本方法.变式练习 3.如图所示，已知 AD 是BAC 的角平分线，EF 垂直平分 AD，垂足是 E，交 BC 的延长线于 F，求证B=CAF.考点四 等腰三角形的性质【例 4】如图，在ABC 中，AB=AC，AE 是 BC 边上的高，BD 是ABC
5、 的平分线与 AE 相交于点 D，求证：点 D 在ACB 的平分线上.【分析】连接 CD，由 BD 是 ABC 的角平分线，可证明ABDACD，所以ACD= ABD，即可证明其结论.【解答】连接 CD.AB=AC，AE 是 BC 边上的高，BAE= CAE. 在BAD 和CAD 中， BADCAD. 来源:学优高考网,ABCEDABD= ACD.AB=AC ， ABC= ACB.BD 是ABC 的平分线，ABD= ABC.ACD= ACB.1212点 D 在ACB 的平分线上.【方法归纳】等腰三角形“三线合一”的性质既涉及角相等，又涉及线段相等或垂直，为证明线段和角的关系增添了新的理论根据.变
6、式练习 4.如图，ABC 是等边三角形，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 BC 延长线上的一点，且 CECD，DMBC 于点 M.求证：点 M 是 BE 的中点.考点五 等腰三角形的判定【例 5】如图，在等腰 RtABC 中，P 是斜边 BC 的中点，以 P 为顶点的直角三角形的两边分别与边 AB，AC 交于点 E，F，连接 EF.当EPF 绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A，B 重合） ，PEF 也始终是等腰直角三角形，请你说明理由. 【分析】只要说明 PE=PF 即可，为此连接 AP，证明APECPF 即可.【解答】连接 PA.PA 是等腰ABC 底边上的中线，PAPC.又 ABAC
7、，1=90 -PAC, C=90 -PAC.1=C.同样，由 PAPC ，PEPF 可得2= 3. 由 PA 是 RtABC 斜边上的中线得 PA= BC=PC.在PAE12和PCF 中，1=C，PA=PC ，2= 3 ，PAEPCF. PE=PF.因此，PEF 始终是等腰直角三角形.【方法归纳】证明一个三角形是等腰三角形，可直接证明有两边相等，或证明有两个角相等.变式练习 5.如图，已知ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BE 是ABC 的平分线，DEBC，垂足为 D.来源:学优高考网（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断 AD 与 BE 垂直吗？并说明理由.（3）如果 BC
8、=10，求 AB+AE 的长.一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1.（2013 三明）下列图形中，不是轴对称图形的是( )2.已知点 P(-2， 1)，那么点 P 关于 x 轴对称的点 P的坐标是 ( )来源:gkstk.ComA.P(-2 ，1) B.P(-2，-1) C.P(-1，2) D.P(2，1)3.如图，ABC 与ABC关于直线 l 对称，则C 的度数为( )A.30 B.50 C.90 D.1004.（2013 广安）等腰三角形的一边长为 6，另一边长为 13，则它的周长为( )A.25 B.25 或 32 C.32 D.195.（2013 十堰）如图，将ABC 沿直线 D
9、E 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，已知 AC=5 cm，ADC 的周长为 17 cm，则 BC 的长为( ) A.7 cm B.10 cm C.12 cm D.22 cm6.将一张正方形纸片按图、图所示的方式依次对折后，再沿图中的虚线剪裁，最后将图中的纸片打开铺平，所得到的图案是( )7.如图，已知 OC 平分AOB ，CDOB.若 CD=4 cm，则 OD 等于( )A.3 cm B.4 cm C.1.5 cm D.2 cm8.如图，ABC 是等边三角形，P 是ABC 的平分线 BD 上一点，PEAB 于点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点F，垂足为点 Q.若 BQ=2，则
10、PE 的长为( )A.2 B.3 C.3 D.49.如图，已知 AB=AC，A=36，AB 的中垂线 MD 交 AC 于点 D，交 AB 于点 M.下列结论:BD 是ABC 的平分线；BCD 是等腰三角形； AMDBCD ，正确的有( )A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个10.如图，在ABC 中，AB=20 cm，AC=12 cm，点 P 从点 B 出发以每秒 3 cm 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 同时出发以每秒 2 cm 的速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当APQ 是等腰三角形时，运动的时间是( )A.2.5 秒 B.3 秒 C.
11、3.5 秒 D.4 秒 二、填空题（每题 3 分，共 18 分）11.如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=10 cm，且ABC=15，则ABC 的面积为_.12.如图，在ABC 中，AB=AC，DE BC ，EG 的延长线与 BC 的延长线交于 F，F=CGF ，则图中等腰三角形(不包括ABC)共有_个. 13.如图，在ABC 中，AB=AC，A=80，E，F，P 分别是 AB，AC，BC 边上一点，且 BE=BP，CP=CF，则EPF=_.14.如图，点 P 是AOB 内部的一点，M，N 是 OA，OB 的两个动点，当MPN 的周长取最小值 18 cm 时，CD 的长为_. 15.如
12、图，在等边ABC 中，AC=9，点 O 在 AC 上，且 AO=3，点 P 是 AB 上一动点，连接 OP，以 O 为圆心，OP 长为半径画弧交 BC 于点 D，连接 PD，如果 PO=PD，那么 AP 的长是_.16.如图，在等边ABC 中，AC=9，点 O 在 AC 上，且 AO=3，点 P 是 AB 上一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60得到线段 OD.要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长是_. 三、解答题（共 52 分）17.（ 6 分）某科技公司研制开发了一种电子监控违章车辆的仪器.如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个
13、路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？来源:gkstk.Com18.（ 8 分）如图，已知 AB=AC，BDAC 于 D，求证：DBC= BAC.1219.(12 分)ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示 .(1)作出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1，并写出A 1B1C1 各顶点的坐标；(2)将ABC 向右平移 6 个单位，作出平移后的A 2B2C2，并写出A 2B2C2 各顶点的坐标；(3)观察A 1B1C1 和A 2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴.来源:学优高考网 gkstk20.（ 12 分）已知：如图，ABC 为等边三角形，D 是 BC
14、延长线上一点，连接 AD，以 AD 为边作等边ADE ，连接CE，用你学过的知识探索 AC，CD，CE 三条线段的长度有何关系?试写出证明过程.21.(14 分)已知:在ABC 中，AC=BC ，ACB=90，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AB 边上一点.(1)直线 BF 垂直于 CE 于点 F，交 CD 于点 G(如图 1)，求证 AE=CG；(2)直线 AH 垂直于 CE，垂足为 H，交 CD 的延长线于点 M(如图 2)，找出图中与 BE 相等的线段，并说明.参考答案变式练习 1 D变式练习 2 A（4,6）.变式练习 3 证明：AD 是BAC 的角平分线，BAD= DAC.EF
15、 垂直平分 AD，AF=DF.DAF=ADF.DAF- DAC=ADF-BAD，即B=CAF.变式练习 4 ABC 是等边三角形，AABC BCA60.点 D 是 AC 的中点，ABDCBD ABC30.12CECD，CDE E.来源:学优高考网BCA 60，E30 .CBD E ，BD DE.DMBE，点 M 是 BE 的中点.变式练习 5 (1）ABC ，ABD ，ADE ，EDC.(2）AD 与 BE 垂直.证明：BE 为ABC 的平分线， ABE= DBE.又BAE= BDE=90，BE=BE，ABE 沿 BE 折叠，一定与DBE 重合.A，D 是对称点. AD BE. (3)BE 是
16、ABC 的平分线，DE BC ，EAAB，AE=DE.在 Rt ABE 和 RtDBE 中 ,AEDBRtABERtDBE （HL ）. AB=BD.又ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，C=45.又ED BC ，DCE 为等腰直角三角形 .DE=DC.即 AB+AE=BD+DC=BC=10.复习测试1.A 2.B 3.D 4.C 5.C 6.B 7.B 8.A 9.B 10.D 11.25 cm2 12.3 13.5014.18 cm 15.6 16.6 17.作法：如图所示，A ，B，C 代替三个路口.(1） 连接 AB，BC. (2）分别作线段 AB，BC 的垂直平分线交于点 P.则
17、点 P 就是所求作的点 .18.作 AFBC 于 F，AB=AC ，AFBC ，CAF=BAF= BAC.12AFBC ，BDAC ，CAF+ C= DBC+C=90.DBC=CAF，DBC= BAC.19.(1）如图所示，A 1(0，4） ，B 1(2，2 ） ，C 1(1，1）.(2）如图所示，A 2(6，4） ，B 2(4，2） ，C 2(5，1 ）.(3）A 1B1C1 与A 2B2C2 关于平行于 y 轴，并且横坐标为 3 的直线对称.20.CE=AC+CD.来源:学优高考网证明：ABC 为等边三角形， AB=AC，BAC=60 .又ADE 为等边三角形，AD=AE，DAE=60，B
18、AC+CAD=DAE+CAD，即 BAD=CAE.在ABD 和ACE 中 ,ABCED，ABDACE （SAS ）. BD=CE.AC=BC，BD=BC+CD=AC+CD，即 CE=AC+CD.来源:学优高考网21.(1）证明:点 D 是 AB 的中点，AC=BC，ACB=90,CDAB ，ACD=BCD=45, CAD=CBD=45 . CAE=BCG.又 BFCE,CBG BCF=90.又ACE BCF=90,ACE=CBG. AECCGB.AE=CG.(2） BE=CM.证明:CH HM，CDED,CMAMCH=90,BECMCH=90.CMA=BEC.又 AC=BC，ACM=CBE=45,BCECAM.BE=CM.
