1、学优中考网 函数型问题知识点一 利用图表建立一次函数模型解决实际问题许多实际问题要根据实际情况和题目要求，从题目中得到一次函数模型才可以解决。例 1 （2009广东省茂名市）茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：出厂价 成本价 排污处理费甲种塑料 2100（元/吨） 800（元/吨） 200（元/吨）乙种塑料 2400（元/吨） 1100（元/吨）100（元/吨）每月还需支付设备管理、维护费 20000 元（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各 吨，利润分别为 元和 元，分别求 和 x1y21y2与 的函数关系式（注：利润=总收入-总支出） ； x（2）已知
2、该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过 400 吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共 700 吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）依题意得： ， 1(208)10yx， 2(40)2yx（2）设该月生产甲种塑料 吨，则乙种塑料 吨，总利润为 W 元，依题意得： (7)x 12(70)108Wxx 解得： 407 ， ， 34 ， W 随着 x 的增大而减小， 当 时， W 最大 =790000（元） 130x此时， （吨） 04因此，生产甲、乙塑料分别为 300 吨和 400 吨时总利润最大，最大利润为 790000 元 同步检测：（2009衡阳市）在一次
3、远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地价目品种学优中考网 后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为 t（h） ，两组离乙地的距离分别为 S1（km）和 S2(km)，图 10 中的折线分别表示 S1、S 2与 t 之间的函数关系（1）甲、乙两地之间的距离为 km，乙、丙两地之间的距离为 km；（2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？（3）求图中线段 AB 所表示的 S2与 t 间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围2468S(km)20 t(h)AB图 10解：（1）从图像中直接可以看
4、出甲、乙两地之间的距离为 8km，乙、丙两地之间的距离为2km；（2）第二组由甲地出发首次到达乙地所用的时间为：（h）8()2810.+=第二组由乙地到达丙地所用的时间为： （h）2(8)210.2+=（3）根据题意得 A、B 的坐标分别为（0.8，0）和（1，2） ，设线段 AB 的函数关系式为： ，根据题意得：Sktb=解得：0.82 kb=+ -8图中线段 AB 所表示的 S2与 t 间的函数关系式为： ，8102tS自变量 t 的取值范围是： 10.知识点二 二次函数建模题例 3 （2009新疆省乌鲁木齐市）有一批图形计算器，原售价为每台 800 元，在甲、乙两家公司销售甲公司用如下方
5、法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台都为 760元依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减 20 元，但最低不能低于每台 440 元；乙公司一律按原售价的 75%促销某单位需购买一批图形计算器：学优中考网 （1）若此单位需购买 6 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？（2）若此单位恰好花费 7 500 元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？解：（1）在甲公司购买 6 台图形计算器需要用 （元） ；在乙公6(8026)408司购买需要用 （元） （元） 应去乙公司购买；75%8034（2）设该单位买 台，若在甲公司购买则需要花费 元；若在乙
6、公司购买则x()x需要花费 元；6若该单位是在甲公司花费 7 500 元购买的图形计算器，则有 ，解之得 (802)x50152x，当 时，每台单价为 ，符合题意，158204当 时，每台单价为 ，不符合题意，舍去 3若该单位是在乙公司花费 7 500 元购买的图形计算器，则有 ，解之得6075x，不符合题意，舍去12.5x故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了 15 台 同步检测：（2009 年滨州）某商品的进价为每件 40 元当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设
7、每件降价 元、每星期售出商品的利润为 元，请写出 与 的函数关系式，并xyyx求出自变量 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？（3）请画出上述函数的大致图象解：（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=- ,0x20；60120x（2）y=-20 ,当 x=2.5 元,每星期的利润最大，最大利润是 6135 元；6135).2(x（3）图像略.随堂检测：学优中考网 1.（2009 烟台市）二次函数 的图象如图所示，则一次函数2yaxbc与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（ ）24ybxac11O xy2.（2009
8、年甘肃庆阳）图 6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，水面宽 4m如图 6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A 2yx B 2yx C 21yxD 21yx图 6（1） 图 6（2）3.（2009 年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于 轴作轴对称变2yxx换，再将所得的抛物线关于 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析y式为（ ）A B C D2yx2x2yx4. （2009 年铁岭市）为迎接国庆六十周年，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖学校计划派人根据设奖情况买 50
9、 件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的 2 倍还少 10 件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的 1.5 倍各种奖品的单价如下表所示如果计划一等奖买 件，买 50 件奖品的总钱数是 元xw一等奖二等奖三等奖单价(元) 12 10 5（1）求 与 的函数关系式及自变量 的取值范围；wxxyxOyxOB CyxOAyxOD学优中考网 （2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少？最少是多少元？5. （2009深圳市）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装 240 辆。由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行
10、电动汽车的安装。生产开始后，调研部门发现：1 名熟练工和 2 名新工人每月可安装 8 辆电动汽车；2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14 辆电动汽车。（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（4 分）（2）如果工厂招聘 n（0 n10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3 分）（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发 2000 元的工资，给每名新工人每月发 1200 元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额 W（元）尽可能的少？（2 分
11、）6. （2009重庆市綦江县）如图，一次函数 的图象与反比例函数ykxb(0)的图象相交于 、 两点(0)myxAB（1）根据图象，分别写出点 、 的坐标；（2）求出这两个函数的解析式1BAO xy17. （2009重庆市）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价 （元）y与月份 之间满足函数关系 ，去年的月销售量 （万台）与月份 之间x2605xypx成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份 1 月 5 月销售量3.9 万台4.3 万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年 1、2 月份该品牌电视机销往农
12、村的售价都比去年12 月份下降了 ，且每月的销售量都比去年 12 月份下降了 国家实施“家电下%m%5.1m学优中考网 乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的 13%给予财政补贴受此政策的影响，今年 3 月份至 5 月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万台若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予财政补贴 936 万元，求 的值（保留一位小数）m（参考数据： ， ， ， ）831.54916.5083.7164.8. （2009江苏）某加油站五月份营销一种油品的销售利润 （万元）与
13、销售量 （万升）yx之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到 13 日调价时的销售利润为 4 万元，截止至 15 日进油时的销售利润为 5.5 万元 （销售利润（售价成本价）销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量 为多少时，销售利润为 4 万元；x（2）分别求出线段 AB 与 BC 所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在 OA、 AB、 BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）随堂检测答案：1.D2.C3.C4.解：（1） 120(1)50(210)xx720x由025
14、()1.50(21)xxx得 101 日：有库存 6 万升，成本价 4 元/升，售价 5 元/升13 日：售价调整为 5.5 元/升15 日：进油 4 万升，成本价 4.5 元/升31 日：本月共销售 10 万升五月份销售记录O x（万升）y（万元）CBA45.510学优中考网 自变量的取值范围是 ，且 为整数102x（2） ， 随 的增大而增大，当 时，有 最小值7k10x最小值为 37答：一等奖买 10 件，二等奖买 10 件，三等奖买 30 件时，所花的钱数最少，最少钱数是 370 元5.解：（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装 x,y 辆电动汽车解之得 每名熟练工和新工人每月分别
15、可以安装 4 辆、 2 辆电动汽车2834xy42xy（2）设需熟练工 m 名 ， 依题意有：2 n12+4m12=240, n =10-2m0 n10 0 m5 故有四种方案：（n 为新工人） 186342（3）依题意有 W=1200n+（ 5- ） 2000=200 n+10000， 要使新工人的数量多于熟练1n工，满足 n=4、 6、 8， 故当 n=4 时 ， W 有最小值=10800 元6.【解析】本题由图象可以直接写出 A、B 两点的坐标，然后用待定系数法求得两函数的解析式【答案】：（1）解：由图象知，点 的坐标为 ，(61)，点 的坐标为（3，2）B（2）反比例函数 的图象经过点
16、 ，myxB ，即 36所求的反比例函数解析式为 6yx一次函数 的图象经过 、 两点，ykxbAB 1623解这个方程组，得 13kb学优中考网 所求的一次函数解析式为 13yx7. 【解析】(1)先求出销售量与月份之间的函数关系式，再根据“销售金额 每台电视机的售价 月销售量”建立销售金额关于月份之间的二次函数关系进行求解；(2)先求出去年12 月份人售价与销售量，然后根据国家的财政补贴费建立一元二次方程进行求解【答案】：(1)设 P kx+b，根据题意，得解得5+3.9kb， 3.8k， P0.1 x+3.8设去年月销往农村的销售金额为 W，则 )(5026)(.1+38xx即 2570
17、+98W当 时， 75()xba1y最 大(2)去年 12 月的价格为：5012+26002000去年 12 月的销售量为：0.112+3.85根据题意，得 2000(1m)135(11.5m)+1.53936解得 m152.8， m2133.9(舍去)答： m 的值是 52.8【点评】本题取材于实际生活，能关注生活中的热点问题，体现时代气息，并综合考查了一次函数、二次函数、一元二次方程等知识，是中考试题中的经典之作8.【解析】本题中由两图所给信息，易得 A(4,4)、B（5，5.5） 、C（10，11） ，用待定系数法即可求得直线 AB、BC 所应对的解析式【答案】解法一：（1）根据题意，当
18、销售利润为 4 万元，销售量为 （万升）4(5)答：销售量 为 4 万升时销售利润为 4 万元x（2）点 的坐标为 ，从 13 日到 15 日利润为 （万元） ，A()， 5.41.所以销售量为 （万升） ，所以点 的坐标为 1.51B(5)，设线段 所对应的函数关系式为 ，则 解得Bykxb5kb， 1.2k，线段 所对应的函数关系式为 A1.2(4)x 从 15 日到 31 日销售 5 万升，利润为 （万元） 学优中考网 本月销售该油品的利润为 （万元） ，所以点 的坐标为 5.1C(10)，设线段 所对应的函数关系式为 ，则 解得BCymxn5.10.mn， .，所以线段 所对应的函数关
19、系式为 .() （3）线段 A解法二：（1）根据题意，线段 所对应的函数关系式为 ，即OA(54)yx(04)yx 当 时， 答：销售量为 4 万升时，销售利润为 4 万元（2）根据题意，线段 对应的函数关系式为 ，AB14(5.)(4yx即 1.5(5)yx 把 代入 ，得 ，所以点 的坐标为 .2yxB(.)，截止到 15 日进油时的库存量为 （万升） 61当销售量大于 5 万升时，即线段 所对应的销售关系中，C每升油的成本价 （元） 14.54所以，线段 所对应的函数关系为BCy(.52)(.)(1.(10)xx （3）线段 A【点评】本题取材于今年五月汽油调价这个社会敏感问题，从文字、函数图象、销售记录图三个方面给出解题信息，因此，我们在解题时应结合这三个方面进行认真阅读，思考解答学优中考网 学 优 中考，网
