1、学优中考网 第三单元 第 18 课时二次函数的应用知识点回顾：1、二次函数 yax 2bxc(a0)的图象和性质、顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与 x轴两交点间的距离？2.各类二次函数顶点位置与 a、b、c 的关系：(顶点在 x 轴上、y 轴上、原点、经过原点)3、求二次函数解析式的方法：4、二次函数 yax 2bxc(a0)的最大(或最小)值？知识点一：求二次函数的解析式例 1.（08 兰州）农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图所示，则需要塑料布 （m2）与半径 （m）的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分） 分析：找准相关量之间的关系。有的题需要根据题目所给条件确定某些点的
2、坐标，再利用一般式、或顶点式、或交点式来求解析式。答案：同步检测：1、 （09 庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，水面宽 4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A 2yx B 2yxC 1D 1答案：C2、（09 芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 (10)A， ， (3)B， ， (0)O， ，将此三角板绕原点 O顺时针旋转 9，得到 A ，一抛物线经过点图（1） 图（2）2R 米30 米图 13211 2ABAO第 2 题图Bxy学优中考网 AB、 、 ，求该抛物线解析式。答案：抛物
3、线过 (10)(3)B， ， ， 设抛物线的解析式为 (1)3(0)yaxa又抛物线过 ， ，将坐标代入上解析式得： 1()a， 即满足条件的抛物线解析式为23yxx知识点二：利用二次函数的顶点式求最值二次函数 yax2bxc0，当 x 2ab-时， a4bcy2值例 2.（08 浙江台州）如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高 度 （单位：米）与小球运动时间 （单位：秒）的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度 分析：将 化为顶点式即可求最大高度答案：4.9 米同步检测：1、 （08 内江）如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都
4、是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米答案：0.52、(08 哈尔滨）小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积 S（单位：平方米）随矩形一边长 x（单位：米）的变化而变化（1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？答案：（1）根据题意，得 自变量 的取值范围是26030Ax03（2） ， 有最大值 0aS152()bxah学优中考网 当 时，224305(1)acbS最 大 1x25S最
5、大答：当 x为 15 米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是 225 平方米知识点三：根据二次函数图像上某些点坐标解决有关问题例 3.(08 襄樊)如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 （单位：ym）与水平距离 （单位：m）之间的关系x是 则他将铅球推出的距离是 2153ym分析：推出的距离转化为数学上的求 y=0 时的 x 的值（取正值）答案：10同步检测：1、 （08 庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是 8 层高，房子的价格 y（元/平方米）随楼层数 x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8） ；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图所示） ，则 6 楼房
6、子的价格为 元/平方米答案：2080；2、 （ 09 江 西 ） 某 车 的 刹 车 距 离 y（ m） 与 开 始 刹 车 时 的 速 度 x（ m/s） 之 间 满 足 二 次 函 数21yx（ x 0） ， 若 该 车 某 次 的 刹 车 距 离 为 5 m， 则 开 始 刹 车 时 的 速 度 为 （ ）A40 m/s B20 m/s C10 m/s D5 m/s答案：C知识点四：根据二次函数图像和性质解决销售利润问题例 4、(09 青岛）某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查调查发现这种水产品的每千克售价 1y（元）与销售月份x（
7、月）满足关系式 368yx，而其每千克成本 2y（元）与销售月份 （月）满足的函数关系如图所示（1）试确定 bc、 的值；（2）求出这种水产品每千克的利润 y（元）与销售月份 x（月）之间的函数关系式；2524y2（元）x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 例 4 图2yxbcO学优中考网 （3） “五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？分析：（1）由题意：将（3，25） 、 （4，24）两点坐标代入可得：2584bc解得71829（2）理解利润的正确意义： 12y 231516988xx21368x（3） y21(36)482x2(6)18
8、x 0a，抛物线开口向下，在对称轴 左侧 y随 的增大而增大由题意 5x，所以在 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大最大利润 211(6)08（元） 同步检测：1、 （ 09 莆田）出售某种文具盒，若每个获利 元，一天可售出 个，则当 x6x元时，一天出售该种文具盒的总利润 最大y答案：32、 （09 包头）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 ykxb，且 65时， y； 75x时， 4（1）求一次函数 ykx的表达式；（2）若该商场获得利润为 W元，试写出利润
9、与销售单价 x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 的范围答案：解：（1）根据题意得 6574.kb， 解得 120kb， 所求一次函数的表达式为 120yx学优中考网 （2） (60)12)WxA2807x2(90)x，抛物线的开口向下， 当 9时， W随 的增大而增大，而 687x ，当 87时， 2(87)1当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是 891 元（3）由 50W，得 207x，整理得， 2187x，解得， 1210x， 由图象可知，要使该商场获得利润不低于 500
10、 元，销售单价应在 70 元到 110 元之间，而60 ，所以，销售单价 x的范围是 78 知识点五：根据二次函数图像和性质解决最佳方案问题例 5.(08 新疆)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为 12m，抛物线拱高为 5.6m（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式（2）现需在抛物线 AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在 AB 上，每扇窗户宽 1.5m，高 1.6m，相邻窗户之间的间距均为 0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为 0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？分析：（1）可设抛物
11、线的表达式为 2yax，过点 (65.)B， 可得 745a抛物线的表达式为 74（2）设窗户上边所在直线交抛物线于 C、 D 两点，D 点坐标为（ k， t）已知窗户高 1.6m， 5.6(1.)4 2745k125.07k ， （舍去） 1.4C （ m）又设最多可安装 n 扇窗户 1.508(). 4.06n 最多可安装 4 扇窗户同步检测：学优中考网 （08 长春）如图，足球场上守门员在 处开出一高球，球从离地面 1 米的 处飞出（ 在 轴上） ，运动员乙在距 点 6 米的 处发现球在自己头的正上方达到最高点 ，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物
12、线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（2）足球第一次落地点 距守门员多少米？（取 ）（3）运动员乙要抢到第二个落点 ，他应再向前跑多少米？（取 ）解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为 由已知：当 时 即 表达式为 （或 ）（2）令（舍去） 足球第一次落地距守门员约 13 米 3 分（3）如图，第二次足球弹出后的距离为 ， 根据题意： （即相当于将抛物线向下平移了 2 个单位）解得3 分学优中考网 （米） 他应再向前跑 17 米随堂检测1、(08 恩施). 将一张边长为 30的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为
13、的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当取下面哪个数值时,长方体的体积最大（ ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 42、用长为 8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) A m2 B m2 C m2 D 4m256434383、 （08 吉林长春）某商店经营一种水产品，成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售价每涨 1 元，月销售量就减少10 千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元时，获得的利润最多.4、(09 武汉)某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 5
14、0 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元） 设每件商品的售价上涨 x元（ 为正整数） ，每个月的销售利润为 y元（1）求 y与 的函数关系式并直接写出自变量 x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？5、 （08 金华）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳学优中考网 的手间距 AB 为 6 米，到
15、地面的距离 AO 和 BD 均为 0.9 米，身高为 1.4 米的小丽站在距点 O的水平距离为 1 米的点 F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点 E.以点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为 y=ax2 bx0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果小华站在 OD 之间,且离点 O 的距离为 3 米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；（3）如果身高为 1.4 米的小丽站在 OD 之间,且离点 O 的距离为 t 米, 绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图像,写出 t 的取值范围 .6、 （08 兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图 6-
16、1 所示） ，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图 6-2 所示） ，求抛物线的解析式；（2）求支柱 EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽 2m 的隔离带） ，其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由AOBDEF xyyxO BAC6-220m10mEF6-16m学优中考网 7、 （08 四川巴中）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中 （m）是球的飞行高度， （m）是球飞出的水平距离，结果球离2185yxyx球洞的水平距离还有
17、 2m（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）请求出球飞行的最大水平距离（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式8、 （09 黄冈）新星电子科技公司积极应对 2008 年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次） 公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第 x（月）之间的函数关系学优中考网 式（即前 x 个月的利润总和
18、 y 与 x 之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上该图象从左至右，依次是线段 OA、曲线 AB 和曲线 BC，其中曲线 AB 为抛物线的一部分，点A 为该抛物线的顶点，曲线 BC 为另一抛物线 的一部分，且点25013yxA， B， C 的横坐标分别为 4，10，12（1）求该公司累积获得的利润 y（万元）与时间第 x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第 x 个月所获得 S（万元）与时间 x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程） ；（3）前 12 个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？9、 （09 南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 米，下底长
19、 米，上120180下底相距 米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，80各甬道的宽度相等设甬道的宽为 米x（1）用含 的式子表示横向甬道的面积；x（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是 5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 9 题图学优中考网 10、 （09 日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下
20、部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米， BC=1 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点 EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆 （1）当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时，求此时 EMN 的面积； （2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x米，试将 EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数； （3）请你探究 EMN 的面积 S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由 EA BGNDMC（第 10 题图）学优中考网 随堂检测参考答案1
21、、C 2、C 3、70 4、：（1） 2(10)(540)101yxx（ 15x 且 为整数）；（2） 2(.).10a， 当 5x时， y有最大值 2402.55x，且 为整数，当 时， ， 240（元） ，当 6x时， 506x， 240y（元）当售价定为每件 55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400 元（3）当 20y时， 2112x，解得： 12， 当 1x时， 5，当 0时， 560x当售价定为每件 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元当售价不低于 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元当售价不低于 51 元且不高于 60 元且为整数时，每
22、个月的利润不低于 2200 元（或当售价分别为 51，52，53，54，55，56，57，58，59，60 元时，每个月的利润不低于 2200 元）5、 （1）由题意得点 E（1,1.4）, B(6,0.9), 代入 y=ax2+bx+0.9 得解得 0.91436.ab 0.16ab所求的抛物线的解析式是 y=0.1 x20.6 x+0.9. （2）把 x=3 代入 y=0.1 x20.6 x+0.9 得 y=0.13 20.63+0.9=1.8 小华的身高是 1.8 米 （3）1t5 6、解：（1）根据题目条件， ABC， ， 的坐标分别是 (10)(6)， ， ， ， ， 设抛物线的解析
23、式为 2yaxc，将 ， 的坐标代入 2yaxc，得 ac，解得 3650， 所以抛物线的表达式是 23650yxO BACGNDH学优中考网 （2）可设 (5)Fy， ，于是 23564.0F从而支柱 MN的长度是 14.米（3）设 D是隔离带的宽， G是三辆车的宽度和，则 G点坐标是 (70)， 过 G点作GH垂直 AB交抛物线于 H，则 2376.0350y 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车7、解：（1） 2185yx21(4)x抛物线 开口向下，顶点为 ，对称轴为2 65， 4x（2）令 ，得： 解得： ，0y21805x1x28球飞行的最大水平距离是 8m（3
24、）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为 10m抛物线的对称轴为 ，顶点为5x165，设此时对应的抛物线解析式为 2()yax又 点 在此抛物线上， (0)， 16051625a2165yx23yx8、 （1） 210(,4)8567,8953102xx（2）(,)09,12sx（3）由（2）知当 时，s 的值均为10；当 时，当 时 s 有,345,6789xx最大值 90；而在 时， ,当 时，s 有最大值 110；10,2x102sx10因此第 10 月公司所获利润最大，它是 110 万元。学优中考网 9、 （1）横向甬道的面积为： 21208150mx（2）依题意：
25、 2858x整理得： 70解得 （不符合题意，舍去）125x，甬道的宽为 5 米（3）设建设花坛的总费用为 万元y21208. 16055.7yxx 20.4.540x当 时， 的值最小.5.4bxay因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米， 米时，总费用最少6x当最少费用为： 万元20.6.540238.10、 （1）由题意，当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 时，MN 应位于 DC 下方，且此时MN=AB=2，EMN 中 MN 边上的高为 0.5 米，S EMN = (平方米)120.5（2）当 MN 在矩形 ABCD 区域滑动，EMN 底 MN=AB=2，高为 x，即 时，S EMN 1 ;1x当 MN 在CGD 区域滑动，即 时，连接 EG 交 CD 于 F 点，交 MN 于点 H。E13x为 AB 中点，F 为 CD 中点，GFCD 且 FG= 。又MNCD,MNGDCG。 . ，EMN 的高 EH=x，GHMNFCD32(1,3xNxM）即S EMN 。1223Ex综上即有： 2(01)3(31)xSx（3）当 MN 在矩形区域滑动时，S ，所以 S 有最大值，最大值为 1 平方米；学优中考网 当 MN 在三角形区域滑动时，S ，2313()6x 时，S 有最大值，S .312x26 S 有最大值，最大值为 平方米。63学优中考网 学;优中考%，网
