1、 满分晋级新课标剖析当前形势 正余弦定理在近五年北京卷（理）中考查 513 分要求层次内容A B C具体要求正弦定理、余弦定理 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题高考要求解三角形 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标） 2013 年（新课标）北京高考解读 第 15 题 6分 第 10 题 5 分 第 9 题 5 分 第 11 题 5 分 第 15 题 13 分知识切片第 1 讲 正余弦定理难点突破三角函数 9 级三
2、角函数综合三角函数 10 级正余弦定理难点突破三角函数 8 级三角恒等变换公式综合应用2 第 1 讲尖子班教师版寒假知识回顾本板块主要都是一星和二星的题因为在寒假预习的时候，我们已经讲了一讲“正弦定理和余弦定理”，只不过当时讲的比较简单，就是直接运用公式，例题都是一星和二星的而在本讲会对知识进行加深，例题都在二星、三星和四星之间，老师在讲正余弦定理时，可能需要照顾班里学生的情况，也需要一些简单的题，所以老师在讲概念的时候，也可以让学生做做本板块的题 、 是正弦定理的题； 、 是余弦定理的题； 、 是正123456余弦定理的综合运用在 中，若 ， ， ，则 _ABC 8a60B75Cb【解析】
3、46在 中， ， ， ，则 等于（ ） 043a2bBA 或 B C D以上答案都不对 4513155【解析】 C在 中，若 ，则 8360bcA， ， a【解析】 7在 中，已知 ，则 （ ）ABC 22acbaCA B C D 60451030【解析】 B在 中，若 ，则 AC sin:si7:813ABC【解析】 23在 中，如果 ， ，那么角 等于（ ）B sin3si30AA B C D30456120【解析】 D本讲的正余弦定理是同步课程，在预习时我们已经讲了正余弦定理，只不过当时只是讲公式的运用，而本讲会在这个基础上进行加深在做正余弦定理的时候我们会发现，有一种做题思想会一直运用
4、，就是边角互化，本讲不会把边角互化这个做题思想单独列出来，老师可以在讲题的时候给学生进行讲解所以本讲会从头到尾都贯穿边角互化的做题思想1.1 正余弦定理考点 1：正弦定理知识点睛在 中的三个内角 ， ， 的对边，分别用 ， ， 表示ABC ABCabc1正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即 2sinisinabcRABC ， ， ；2sinaR2sinb2sincR ， ， ； :si:sicABC 面积公式： 11nsisin22SabcAacB2正弦定理用于两类解三角形的问题： 已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角； 已知三角形的两边与其中一边的对角，计
5、算另一边的对角，进而计算出其它的边与角【教师备案】在预习时我们已经把求三角形面积作为一个板块，所以建议老师在同步讲正弦定理时，4 第 1 讲尖子班教师版把三角形面积放到一块去讲，而且三角形的多解情况我们在预习的时候也讲过，老师这里也可以再介绍一下例 1 主要是三角形的多解问题，例 2 是利用正弦定理进行化简为锐角A 为钝角A关系式sinabAsinabsiab abab图形abA Aba aaAb Aba Aba Aba解的个数无解 一解 两解 一解 一解 无解经典精讲【例 1】 在 中，若 ，则 等于（ ）ABC 2sinbaBAA 或 B 或 C 或 D 或306456012063015
6、在 中，角 所对的边分别为 若 ，则 ， ， abc， ， 2Aba， ，等于 中， ， ， ，则 的面积等于（ ）BC 31A30BBA B C 或 D 或3242324【解析】 D 或105 【例 2】 （2012 天津理 6）在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ，ABC BC abc85bc，则 （ ）=2CBcosA B C D75725725245 （2013 年新课标 II） 内角 的对边分别为 ，已知A B， ， abc， ，cosinab则 _B 若 为钝角三角形，其中角 为钝角，若 ，则 的取值范围是（ AC23AABC）A B C D2， ， 3， ，【解析】 A 4 B
7、考点 2：余弦定理知识点睛1余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即： 变形式为：2222cos,.cabCBA 2222cos,cos.abcCBbcaA2余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题： 已知两边和任意一个内角解三角形； 已知三角形的三边解三角形相对于正弦定理，因为余弦函数在 上单调减，所以用余弦定理求三角形角度时没有0，多解的情况，因此可以用余弦定理来判断三角形的形状（锐角、直角或钝角三角形） 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理可以用勾股定理来证明经典精讲【例 3】 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则边 上
8、的ABC BC13a4b3cAC高为_ （2012 北京理 11）在 中，若 ， ， ，则 A 27bcos4Bb 在 中，三个角 的对边边长分别为 ，ABC BC， ， 36ac， ，则 的值为 coscosbab （2012 湖北理 11）设 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， 若A BCabc，则角 _ （2010 北京卷 7）某班设计了一个八边形的班徽（如图） ，它由腰 长为 ，顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，1该八边形的面积为（ ） A B2sincos2sin3cosC D311【解析】 46 第 1 讲尖子班教师版 612 3 A1.2 解三角形题型归纳
9、考点 3： 判断三角形形状知识点睛1解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用 ABC ； sinsincoscosABC ； 2in2 siab除了正弦定理和余弦定理，三角形中的这些很明显的恒等式的熟练应用是很重要的细节，将它们和正余弦定理串联起来，是解三角形问题能解决的基础2与三角形形状相关的几个结论 在 中，若 ，则 为等腰三角形或直角三角形；ABC cosaAbBAC 在 中，若 ，则 为等边三角形； cosB 在 中，若 ，则 为直角三角形； 222iniin 在 中，若 ，则 为直角三角形； cosab 在 中，若 ，则 为直角三角形AB ssiABAC【教师备案】这些结论在
10、B 版教材必修 5 中都出现了，也不需要强记利用正弦定理易证可以和学生介绍一下：在 中，有 成立C cosaBb的证明略有难度思路有两种方法一：由三角恒等变换进行变形注意到 ，inisincosinACAC以及 ，可将题中的等式进行化简sinisincosinCABABicoACiciicossinABsisosnnscoinC，所以 ，从而推出 ， coicin0ACBi0ABcos02方法二：由正余弦定理将边化为角 sinosisnC222acbacb 2222bacacc 332bb 3220c 0b 22a故 为直角三角形ABC经典精讲求三角形形状一般有两种思路：一种是由角化边，然后通
11、过分解因式得出边之间的关系，如下面例题的；一种是由边化角，得出角度之间的关系或者最大角的大小来判断，如下面例题的【铺垫】 在 中， ，则这三角形一定是（ ）ABC 2cosabCA等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 在 中， ，则这三角形一定是（ ） 22tntaAA等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形【解析】 D【例 4】 判断满足下列条件的三角形的形状 ； ； ， ；sin2cosinCABcosabABcsinaCcosaB8 第 1 讲尖子班教师版 ；coscos22abABC【解析】 为等腰三角形 为直角三角形 为等腰直角三角形 为等
12、边三角形ABC【点评】解这类问题，首先是要考虑用“边” 算还是用“角” 算，因为我们处理问题要求统一的对象，不能边和角都有如果用“边 ”算的话，一般来说是三个未知量，也就是 三个，我们abc， ，一般需要对其进行因式分解之类的化简如果用“角” 算的话，一般来说是处理两个角的问题，如果遇到三个角都有的情况，一般我们可以通过三角公式来减少角的数量，比较常见的就是siniCAB考点 4：解平面几何用正余弦定理解决平面几何时，需要将问题转移到一个个具体的三角形中去解决，很多时候要用到三角恒等变换，题目都有一定的难度这部分不是高考的重点，不用深究经典精讲【铺垫】（2010 年陕西 17）如图，已知 ，
13、， ， ，则 45B10AD6C14AB【解析】 56【例 5】 如图， ， ， ，求 90ABCD60BA2CDAC 已知圆内接四边形 的边长分别为 ， ， ，求四边形6B4的面积D DCB ADCBA第题【解析】 213AC 6sin08S考点 5：解三角形应用题经典精讲【例 6】 （2010 陕西卷理 17）如图， ， 是海面上位于东西方向相距 海里的两个AB53观测点，现位于 点北偏东 ， 点北偏西 的 点有一艘45B60D轮船发出求救信号，位于 点南偏西 且与点 相距 海23里的 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，C该救援船达到 点需要多长时间？D【解析】救援船
14、到达 点需要 小时1【备选】 （2013 江苏 18）如图，游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径一种是从 沿ACA直线步行到 ，另一种是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 现有甲、乙CABC两位游客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为 在甲出发 后，乙从 乘AC50m/in2min缆车到 ，在 处停留 后，再从 匀速步行到 假设缆车匀速直线运动的速度为B1min，山路 长为 ，经测量， ， 130m/in26012cos3Acos5 求索道 的长； 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？C
15、 ABC【解析】 索道 的长为 A104m北60北6045 DCBA10 第 1 讲尖子班教师版 当 时，甲、乙两游客距离最短35min7t 乙步行的速度应控制在 （单位： ）范围内1250643， m/in1.3 正余弦定理综合运用考点 6： 正余弦定理的综合运用知识点睛正余弦定理的综合运用已知条件 应用定理 一般解法一边和两角（如 ， ， ）aBC正弦定理 由 ，求角 ；由正弦定理求出 与 ABCAbc两边和夹角（如 ， ， ）b余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边 ；由正弦定理求出小边所对的角c（此角一定是锐角） ；再用 BC三边（ ， ， ）c余弦定理 由余弦定理求出角 、 ；由 ，求出
16、角 两边与其中一边的对角（如 ， ， ）aA正弦定理余弦定理由正弦定理求出角 ；由 ，求出角 ；再A利用正弦定理或余弦定理求 c【教师备案】根据已知条件，运用正余弦定理及三角形六个元素之间的关系，灵活实现三角形的边与角的互相转化经典精讲【铺垫】 （2010 浙江卷理 18）在 中，角 、 、 所对的边分别为 ， ， 已知 ABC BCabc1os24C 求 的值；sin 当 2a， 时，求 及 的长isinbc【解析】 0i4 或64bc， 264.bc，【例 7】 （2010 江苏卷）在锐角三角形 中， 的对边分别为 ， ，ABC、 、 abc、 、 6cosaC则 _tant （2013
17、北京理）在 中， ， ， 326b2BA 求 的值；cosA 求 的值【解析】 4 6cs3 5【拓展】在 中，角 所对应的边分别为 ， ， ，ABC ， ， abc， ， 23tanta42ABC，求 及 2sincosiAB， bc，【解析】， ，6BC23bc1已知 的三边长为 ，内切圆和外接圆的半径分别是 和 ，ABC abc， ， rR求证： 2cRr【解析】 由正弦定理 得，2sinisinaRsinsisin22abcABCR， ， ，又 ，12ABCcSb 1BCScr ，即 4acrcR2ab12 第 1 讲尖子班教师版2对于正三角形，是否存在既平分周长又平分面积的直线？若存
18、在，这样的直线有几条？证明你的结论【解析】 存在，有 条3如图，设 的边长为 ，则 ， ，假设一条 ABC 13ABC 34ABCS直线既平分周长又平分面积，与三角形的两条边 相交于两，点 ，设 ，MN， xNy，则 ， 或 ，123xy12y有 条线满足题意，且分别是每条边的中线实战演练【演练 1】 （2010 西城一模 13）在 中， 为钝角， ， ，则角 _，ABC 32ABC1sinC_sinB【解析】 ，50236【演练 2】已知 为 的三个内角 的对边，向量 ，abc， ， ABC AB， ， 31mur，若 ，且 ，则角 osinnr， mnurcossinabcCB【解析】 6
19、【演练 3】在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，ABC BCabc3cosbAaC则 _cos【解析】 3【演练 4】在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，设 为 的面积，满足ABC BCabcSABCyxNMCBA2234Sabc 求角 的大小；C 求 的最大值sinAB【解析】 所以 3 的最大值是 sinAB3【演练 5】 （2010 石景山一模理 15）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ， C Cabc1a2c3os4C 求 的值；sinAB 求 的值； 求 的值ur【解析】 7sin4AB 18 32CBAur大千世界（2010 年全国高中
20、数学联合竞赛湖北省高二年级预赛）在 中，已知 的平分线交 于 若 ， ， ，则ABC ACK2B1CK32B的面积为_【解析】 1576法一：如图，在 中，由余弦定理可得：BK， ，22315cos82231cos422311cos8C ， ， ，24incos214sincos237sin1cos8C KA BC14 第 1 讲尖子班教师版则 ，57sin2sinco16ABC，57()i()sincosin164在 中，由正弦定理可得： ，即 ， iiBCA25C所以 15371286ABCS法二：由角平分线定理可知： ，即 ，设 ，则 ，BAK21BAKx2Bx在 中，由余弦定理可得ABK 22 23() 3cos 8xx在 中，由余弦定理可得C 22315cos8所以 ，解得 或 ，检验 不满足题意，舍去23528x32x1x所以 ， ，AKAB在 中，设 为半周长，则由海伦秦九韶公式可得：BC 15324p5157426AS
