1、 新课标剖析当前形势 算法问题在近五年北京卷（理）考查 5 分要求层次内容A B C具体要求算法的含义 理解算法步骤“明确” 、 “有效”、 “有限”的要求体会算法“通用化”、 “机械化 ”、 “程序化”的特点高考要求程序框图的基本逻辑结构 理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件分支结构、循环结构2011 年（新课标） 2012 年（新课标） 2013 年（新课标）北京高考解读 第 4 题 5 分 第 4 题 5 分 第 4 题 5 分 算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书中只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限
2、的步骤 ”所以教学中，只要使学生明确算法实际上就是解决某一个或某一类问题的一种程序化的方法，它通常以一系列明确有限的步骤的形式出现即可中学课程中的算法更强调具体算法所蕴涵的算法思想，重点在于培养学生的算法意识，这是在算法教学中始终应该注意的但算法和方法也有不同算法必须是可重复执行的，并且是经过有限次运算能得出结果的 第一个板块主要讲解算法结构和典型案例，第二个板块着眼于不同题型的总结（主要以填写运算结果和判断条件为主） 第 8 讲 算法案例与题型汇总2 第 8 讲尖子班教师版知识切片寒假知识回顾1算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照一定规则解决某一类问题的
3、明确的和有限的步骤，称为算法（Algorithm） 2算法的特性：明确性： 算法的每一个步骤必须有确定的含义；有限性： 算法必须在有限的时间内执行完，即算法必须在执行有限个步骤之后终止可执行性：算法的每个步骤必须是能实现的；算法的执行结果要达到预期的目的，并尽可能降低算法的复杂度3、算法的描述：用自然语言； 用数学语言；用算法语言（程序设计语言） ； 用程序框图（流程图） 4、程序框图：对于一定条件下才会被执行或重复执行的步骤，用自然语言表示算法显得相对困难，而且不直观不准确，而用程序框图便可清晰精确地表达用一些通用的图形符号构成的一张图来表示算法，称为程序框图（简称框图） 整个框图由起止框、
4、输入输出框、处理框、判断框及流程线组成具体图形符号见下表图形符号 名称 符号表示的意义起、止框（终端框） 框图的开始或结束输入、输出框 数据的输入或者结果的输出处理框（执行框）赋值、执行计算语句、结果的传送判断框 根据给定条件判断流程线 流程进行的方向连结点 连结另一页或另一部分的框图可以结合以上知识点，对算法作一个回顾，特别是了解一下程序框图使用的图形符号，高中阶段主要是用程序框图表达算法的可以从“方法”入手，举一些有意思的例子，如下面给出的两个例子，使其认识算法的本质是解决问题 例：有三个油瓶子分别能装 kg、 kg、 kg 的油，当装 kg 油的瓶子装满油时，设计一个用这三个8538瓶子
5、倒油的算法，使这些油被平分到两个瓶子里【解析】设 kg、 kg、 kg 的油瓶分别为 A、B、C ，853S1 从 A 瓶往 C 瓶倒 kg 将 C 装满，此时 A 剩 5kg；S2 将 C 中 kg 的油全部倒入 B；S3 再从 A 往 C 中倒 kg 油；S4 从 C 往 B 倒 kg 油，将 B 装满；2S5 将 B 中油全部倒入 A；S6 将 C 中油全部倒入 B；S7 从 A 往 C 中倒油，将 C 装满，此时 A 中的油为 kg； 4S8 将 C 中的油全部倒入 B，则 B 中的油也为 kg；引入算法的概念，与方法相区分（“方法”可以理解为是广义的算法，狭义的算法是指在计算机上通过
6、运行程序来解决某类问题的方法） 强调算法的概念和其三大特性并说明可以使用程序框图来清晰精确地表达算法算法可以用自然语言等来描述，但是算法代表着解决问题的操作步骤，因此图形化表示能够更直观、形象的描述算法解决问题的过程算法的一个非常好的表征工具就是程序框图程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形8.1 典型算法案例4 第 8 讲尖子班教师版考点 1：条件分支结构知识点睛条件分支结构：当需要根据不同情况做不同处理时，就需要用到条件分支结构它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构条件分支结构中常有判断框，算法程序运行至此会根据判断框中的条件做出选择下图是
7、常见的条件分支结构分支结构可理解成分段函数 PBAAP 七七七七经典精讲【铺垫】 画出解方程 的程序框图，其中 为常数0axb,ab【追问】画出解方程 的程序框图，其中 为常数20xc,abc【解析】 七a,b七七七七七b=0x=-baa=0 七“七七“七“七x七【追问】七“七“七七a,b,c七“七七“七“七“七 七七七七七a=0七七b2-4ac0 c=0b=0x=-cbx2=-b-b2-4ac2ax1=-b+b2-4ac2a七x1,2 七x七【例 1】 某次考试的阅卷工作由甲、乙、丙三个评阅人共同担任（它们对每一道题的评分都是独立进行的），考生最终的得分规则如下：当甲与乙对某试卷的评分差距在
8、两分以内（包含两分）时，则该卷的最终得分为甲与乙评分的平均数；当甲与乙对某试卷的评分的差距超过两分时，需要丙对该试卷进行评分取“甲、乙的评分中与丙的评分更近的分数（若甲、乙的评分与丙的评分差距相同，则取乙的评分）”与丙的评分的平均数为最终得分试用程序框图的语言给出一个算法，输入评阅人的分数，直接输出该考生的最终得分【追问】若将评分规则修改如下：若丙的评分恰为甲、乙所评分的平均数，取甲、乙的平均分为最终得分；若丙的评分不是甲、乙所评分的平均数，取“甲、乙的评分中与丙的评分距离更近的分数”与丙的评分的平均数为最终得分则程序框图可以如何修改？【解析】 记 为三个评阅人对同一份试卷的独立评分， 为该题
9、的最终得分，123x， p6 第 8 讲尖子班教师版x2= x3 x1= x3|x3-1|x3-2| p=x1+2七七 p七x1, 2七七七七x3|x1-2|x3-1|上面是给出的两种框图，可以让学生思考一下还有什么其它方法七七sum=0i=1sum=sum+i2i=i+3i10七sum七七【点评】 通过这几道题，可以对比出循环结构的优点，也从一方面说明算法往往具有指向性，即算法往往是解决某一类问题的考点 3：其他典型案例在典型案例中会出现几个中国古代数学算法，其中以更相减损术和秦九韶算法为主 （教师在授课时可以根据具体情况简要介绍其他经典的中外算法范例，如：二分法、割圆术等经典方法） 出于系
10、统讲解的考虑，先以更相减损术（辗转相除）为铺垫，复习如何找出两数的最大公约数，进而引出如何判断一个数是否为质数并在给定范围内进行检索，最后综合使用这些方法进行质因数的分解需要注意的是，要在这部分提及算法的优化，并结合秦九韶算法让学生计算一下经优化后的算法到底省去多少次加法和乘法知识点睛 此部分要求能够灵活综合应用多种逻辑结构解决实际问题； 掌握经典的中国古代算法：更相减损术、秦九韶算法；经典精讲【铺垫】使用更相减损术找出 和 的最大公约数4208【追问】如果是求多个数的最大公约数呢？如求出 的最大公约数84,1032,56【解析】所以 是最大公约数4210 第 8 讲尖子班教师版【追问】最大公
11、约数 12【例 3】 写出用更相减损术算出任意的两个正整数 的最大公约数的程序框图ab， b=-aa=-baba=b七a,b七a七七七七七七例 3 与后面的备选涉及到模块化的思想，即先写出一个程序，后面的程序可以调用前面的程序去完成更多的事情，对于程序比较好的同学，可以在这方面适当进行拓展，对于程度不太好的学生，可以以更相减损术与秦九韶算法为重点【备选】借助求最大公约数的程序，写出如何判断一个整数是质数？并找出 以内的所有质数可以n直接计算 的最大公约数ab，【解析】七七七七七七xi=2a=“x七i 七七“a=1i=i+1ix七“七“七“七七七七七i=i+1iini=2七ni七七【点评】 需要
12、注意的是，因为任何一个整数 的某一组因数中的两个不可能同时大于 所以检索n ,n循环的退出判断条件可改为” ”，以降低计算量提高运行速度教师授课时在此处可i提及算法的优化【备选】如何对一个正整数 进行质因数分解 （注：可以直接求 的最大公约数，可以直接判断n ab，一个数是否为质数）【解析】 七七七七七七 k=+1n=kknkn=1k=2七nk 七七【点评】 在这个框图中涉及到了例 3 与备选中的两个子程序框图： 判断一个整数是否为质数的程序框图； 计算两个整数的最大公约数的程序框图12 第 8 讲尖子班教师版在解决质因数分解问题时，采用了不同程序模块完成不同的功能，之后再通过调用将其组合在一
13、起的方法这样设计会使设计思路清晰，便于程序的修改和完善教师在此要强调一下算法的优化，并强调算法程序的模块化及其调用，与实际软件工程项目的编写相联系，此处可适当拓展课外知识为了说明算法优化的效果，可以举秦九韶算法案例，将其与常规计算方法进行对比，计算一下其减少的加法乘法的运算次数如 当计算 时的值时，使用常规计算6543236781,fxxxx0.4x方法，共需 次乘法和 次加法；使用秦九韶算法只需 次乘法和 次加法21 6对于一个 次的多项式（不缺项） ，使用常规计算方法需要计算的乘法次数为 ，n (1)2n而使用秦九韶算法只需要计算 次乘法n与这部分相关的题目学生在学校也做过，所以可作为复习
14、题目，加深学生印象【铺垫】用秦九韶算法计算多项式 在 时的值，需做加法和乘5432()71265fxxx0x法的次数分别是_和_，并用秦九韶算法求出这个多项式当 时的值【解析】 ； 5， ()28610f【例 4】 写出用秦九韶算法计算 次多项式 的任一点处的函数值n110()nnfxaxax的程序框图【解析】七七i 0v=x+aii=i-1i=n-1v=an七v七ai七n, an ,x 七七【例 5】 已知 在 上有唯一的零点 ，求出一个近似零点 ，使得251fxx0, 0xm0.m【解析】14 第 8 讲尖子班教师版七x1=,x2=0m=x1+x22f(m)=0 f(x1) f(m)0x1
15、=mx1-2本板块内容是高考中比较常见的题型，主要是算法结构和数列不等式的结合，更多的是对其它知识点的考察，算法只是将各知识点串接的工具需要留心的是循环体在什么时候截止。考点：求输出结果经典精讲【铺垫】（2010 年合肥高中联考）如果执行图的程序框图，若 ，则输出的 等于（ ）4pSA B C D715631212 执行图的程序框图，若 ，则输出的 0.8pnS=+12nn=+1n82i=i+1七开 始结 束七xi=0x=3x七218 第 8 讲尖子班教师版得到数据流程如下表：当 处填入：时，跳出循环，209n下一步不再进行，输出前一排的值：故 ；20810当 处填入： 时，284x当 为奇数
16、时，nk记 ，120 21144()33kkkkkS 当 为偶数时，2记 1111 123()(4) 44kkk k kkT（如果没有学过等比数列的求和公式，可以利用归纳的办法得到结果：， ， ， ）3172S51832523S72T是奇数， ， ，不满足，继续大循环05n06n07208134x是偶数， ， ，跳出大循环67908134T故输出 实战演练【演练 1】如果执行右边的程序框图，则输出结果为 【解析】 10【演练 2】 （2010 天津 4） 如果执行右边的程序框图，若输出 的值为 ，则判断框内S7可填写（ ）为偶数n7432438否 为奇数21k2k120()kk 2k否为偶数n
17、1443kk 否 i=i+2i=1S=2 S=-i七七开 始结 束 S七S=+(-1)nn=+1n20结 束开 始七七n=1,S0SA B3i4iC D56【解析】 D【演练 3】如果执行右边的程序框图，若输出为 ，910则输入的 等于（ ）NA B C D 89【解析】 B【演练 4】 （2010 北京文 09）已知函数 ，右图表示的是给定 的值，求其对应2logxy， ， x的函数值 的程序框图处应填写_； 处应填写_【解析】 ； 2x2logyx【演练 5】 （2010 广东 13） 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 位居民的月
18、均用n水量分别为 ， （单位：吨） 根据图所示的程序框图，1xn当 时，若 ， 分别为 ， ，则输出的结果 为 2n21s七七k=1,S=0S=+1k(+1)结 束开 始七七七NkNk=+1S七七yy=2-x2七x1结 束开 始 七七s2=s2+xi2s1=0,s20,i=1s=1i(s2-1is2)s1s1i七si=+1in七n,x1,2,x3,.xn结 束开 始七20 第 8 讲尖子班教师版【解析】 0.25【演练 6】 （2010 上海 7）2010 年上海世博会园区每天 开园， 停止入9:02:0园在右边的框图中， 表示上海世博会官方网站在每个S整点报道的入园总人数， 表示整点报道前
19、个小时内入园a1人数，则空白的执行框内应填入 【解析】 Sa大千世界从 到 共有 100 个正整数，求所有这些数的乘积（即 ）的末尾有几个零？画出解决10 10!该问题的程序框图【解析】 因为数字相乘末尾出现零的情况只能有如下两种： 末尾带有 5，与偶数相乘； 末尾带有零因为因数 的个数一定大于因数 的个数，而中其实都含有因数 5，因此，任何一25个正整数，它包含多少个因数 5，与偶数相乘的结果末尾就有几个零所以可以通过判断一个正整数包含几个因数 5 来计算末尾零的个数在程序框图中，可以通过一个正整数被 5 整除的次数来计算因数 5 的个数，这可以通过循环结构实现需要注意的是，在这个循环结构中，需要通过一个变量（用 表示）来保存i循环的次数，并使用另一个变量（用 表示）来保存不断被 5 整除的正整数，以保证不改变b原来的正整数的数值因为只需验证 的倍数（用 表示） ，因此正整数的初始值可以设定为 而且每当验证5a 5,完一个正整数时， 都自加 即可a七aT=+1T19七S,TT=9,S=0七七开 始结 束结果是： 24 七七七七a=+5a=5,i=0,b=0a10b=a5bi=i+1b=5七i七七【点评】 此种方法还适用于 到任何数字 连乘的情况（只需更改跳出循环的数字范围即可） 证明算1n法具有通用性
