1、1第二章 推理与证明章末检测试卷(二)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1根据偶函数定义可推得“函数 f(x) x2在 R 上是偶函数”的推理过程是( )A归纳推理 B类比推理C演绎推理 D以上答案都不是考点 演绎推理的含义及方法题点 判断推理是否为演绎推理答案 C解析 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选 C.2设 an， bn是两个等差数列，若 cn an bn，则 cn也是等差数列，类比上述性质，设sn， tn是等比数列，则下列说法正确的是( )A若 rn sn tn，则 rn是等比数列B若 rn sntn，
2、则 rn是等比数列C若 rn sn tn，则 rn是等比数列D以上说法均不正确考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比答案 B解析 在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘故由“ an， bn是两个等差数列，若 cn an bn，则 cn是等差数列” ，类比推理可得：“设 sn， tn是等比数列，若 rn sntn，则 rn是等比数列” 故选 B.3设 a， b， c 都是非零实数，则关于 a， bc， ac， b 四个数，有以下说法：四个数可能都是正数；四个数可能都是负数；四个数中既有正数又有负数则说法中正确的个数是( )
3、A0 B1C2 D3考点 反证法及应用题点 反证法的应用2答案 B解析 可用反证法推出不正确，正确4下列推理正确的是( )A把 a(b c)与 loga(x y)类比，则有 loga(x y)log axlog ayB把 a(b c)与 sin(x y)类比，则有 sin(x y)sin xsin yC把 a(b c)与 ax y类比，则有 ax y ax ayD把( a b) c 与( xy)z 类比，则有( xy)z x(yz)考点 类比推理题点 类比推理的方法、形式和结论答案 D解析 ( xy)z x(yz)是乘法的结合律，正确5已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2
4、,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第 70 个“整数对”为( )A(3,9) B(4,8)C(3,10) D(4,9)考点 归纳推理题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 D解析 因为 121166，所以第 67 个“整数对”是(1,12)，第 68 个“整数对”是(2,11)，第 69 个“整数对”是(3,10)，第 70 个“整数对”是(4,9)，故选 D.6求证： .2 3 5证明：因为 和 都是正数，2 3 5所以为了证明 ，2 3 5只需证明( )2( )2，展开得 52 5，2 3 5 6即证 2 0，此式显然成立，所以不
5、等式 成立6 2 3 5上述证明过程应用了( )A综合法B分析法C综合法、分析法配合使用D间接证法考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题答案 B解析 证明过程中的“为了证明” ， “只需证明”这样的语句是分析法所特有的，是分析3法的证明模式7某同学在纸上画出如下若干个三角形：若依此规律，得到一系列的三角形，则在前 2015 个三角形中的个数是( )A62 B63C64 D61考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 A解析 前 n 个中所包含的所有三角形的个数是 123 n n ，由nn 322 015，解得 n62.nn 328若数列 an是等比数列，则数列 an an1
6、( )A一定是等比数列B一定是等差数列C可能是等比数列也可能是等差数列D一定不是等比数列考点 归纳推理题点 归纳推理在数列中的应用答案 C解析 设等比数列 an的公比为 q，则 an an1 an(1 q)当 q1 时， an an1 一定是等比数列；当 q1 时， an an1 0，此时为等差数列9已知 a b c0，则 ab bc ca 的值( )A大于 0 B小于 0C不小于 0 D不大于 0考点 合情推理的应用题点 合情推理在不等式中的应用答案 D解析 方法一 a b c0， a2 b2 c22 ab2 ac2 bc0， ab ac bc 0.a2 b2 c224方法二 令 c0，若
7、b0，则 ab bc ac0，否则 a， b 异号， ab bc ac ab0， b0， mlg ， nlg ，则 m， n 的大小关系是_a b2 a b2考点 合情推理与演绎推理题点 合情推理与演绎推理答案 mn解析 ab0 0a b2 a bab ab( )2( )2 a b a b a b a b lg lg .a b2 a b2 a b2 a b215已知 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， a， b 均为正实数，2 23 23 3 38 38 4 415 415 6 ab ab由以上规律可推测出 a， b 的值，则 a b_.考点 归纳推理题点 归纳推理在数阵(表)中的应用答案 41解
8、析 由题意归纳推理得 6 ，6 ab ab6b6 2135， a6. a b63541.16.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是 a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，有两个a24棱长为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_考点 类比推理题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 a38解析 解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为 .a38三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)用综合法或分析法证明：(1)如果 a， b0，则 lg ；a
9、b2 lga lgb2(2)6 2 2.10 3考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 (1)当 a， b0 时，有 ，a b2 ablg lg ，a b2 ablg lgab .a b2 12 lg a lg b2(2)要证 2 2，6 10 3只要证( )2(2 2) 2，6 10 3即证 2 2 ，这是显然成立的，60 48原不等式成立18(12 分)若 a10， a11， an1 (n1,2，)2an1 an(1)求证： an1 an；7(2)令 a1 ，写出 a2， a3， a4， a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 an(不要求证明)12考点 反证法及应用题点 反证
10、法的应用(1)证明 若 an1 an，即 an，2an1 an解得 an0 或 1.从而 an an1 a2 a10 或 1，这与题设 a10， a11 相矛盾，所以 an1 an不成立故 an1 an成立(2)解 由题意得 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 ，12 23 45 89 1617由此猜想： an .2n 12n 1 119(12 分)已知函数 f(x) x22 x.(1)当 x 时，求函数 f(x)的值域；12， 3(2)若定义在 R 上的奇函数 g(x)对任意实数 x，恒有 g(x4) g(x)，且当 x0,2时， g(x) f(x)，求 g(1) g(2) g(2
11、017)的值考点 合情推理与演绎推理题点 合情推理与演绎推理解 (1) f(x) x22 x( x1) 21， x ，12， 3当 x1 时， f(x)min1；当 x3 时， f(x)max3.即当 x 时，函数 f(x)的值域是1,312， 3(2)由 g(x4) g(x)可得，函数 g(x)的周期 T4，g(1) f(1)1， g(2) f(2)0，g(3) g(1) g(1)1，g(4) g(0) f(0)0， g(1) g(2) g(3) g(4)0，故 g(1) g(2) g(2 017) g(1)50401.820(12 分)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BC3，
12、AB4， AC CC15， M， N 分别是A1B， B1C1的中点(1)求证： MN平面 ACC1A1；(2)求点 N 到平面 MBC 的距离考点 综合法及应用题点 利用综合法解决图形问题(1)证明 如图，连接 AC1， AB1，该三棱柱是直三棱柱， AA1 A1B1，则四边形 ABB1A1为矩形，由矩形性质得 AB1过 A1B 的中点 M，在 AB1C1中，由中位线性质得 MN AC1，又 MN平面 ACC1A1， AC1平面 ACC1A1， MN平面 ACC1A1.(2)解 BC3， AB4， AC CC15， AB BC，又 BB1 BC， AB BB1 B， AB， BB1平面 AB
13、B1A1， BC平面 ABB1A1，同理 AB平面 BCC1B1，又 BM平面 ABB1A1， BC BM， S NBC BCBB1 35 ，12 12 152 S MBC BCBM12 3 ，12 412 34149又点 M 到平面 BCN 的距离为 h AB2，12设点 N 到平面 MBC 的距离为 h，由 V 三棱锥 M NBC V 三棱锥 N MBC，可得 S NBCh S MBCh，13 13即 2 h，13 152 13 3414解得 h ，204141即点 N 到平面 MBC 的距离为 .20414121(12 分)某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个
14、式子均是正确的： 1.41，2 2.82， 2.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题(1)解 因为 f( x)e x1 k，10当 k0 时，令 f( x)0，得 xln k1，所以当 x(，ln k1)时， f( x)0，所以函数 f(x)在区间(，ln k1)上单调递减，在区间(ln k1，)上单调递增；当 k0 时， f( x)e x1 k0 恒成立，故此时函数 f(x)在 R 上单调递增(2)证明 当 k0 时，由(1)知函数 f(x)单调递增，不存在两个零点，所以 k0，设函数 f(x)的两个零点为 x1， x2，且 x1x2，则 1e k(x12)， 2e k(x22)，
15、所以 x120， x220，所以 x1 x2ln ，x1 2x2 2设 t，则 t1，且Error!x1 2x2 2解得 x12 ， x22 ，tln tt 1 ln tt 1所以 x1 x24 ，t 1ln tt 1欲证 x1 x22，只需证明 2，t 1ln tt 1即证( t1)ln t2( t1)0，设 g(t)( t1)ln t2( t1)， t1，所以 g( t)ln t (t1)2ln t 1，1t 1t设 h(t)ln t 1，1t所以 h( t) 0， h(t)单调递增，1t 1t2所以 g( t)g(1)0，所以 g(t)在区间(1，)上单调递增，所以 g(t)g(1)0，所以 2，故 x1 x22 成立t 1ln tt 1
