1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（18）式的整除甲内容提要1 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。2 根据被除式除式商式余式，设 f(x),p(x),q(x)都是含 x 的整式，那么 式的整除的意义可以表示为：若 f(x)p(x)q(x)， 则称 f(x)能被 p(x)和 q(x)整除例如x 23x4（x4） （x +1）,x 23x4 能被（x4）和（x +1）整除。显然当 x=4 或 x=1 时 x23x40，3 一般地，若整式 f(x)含有 x a 的因式，则 f(a)=0反过来也成立，若 f(a)=0,则 xa 能整除 f
2、(x)。4 在二次三项式中若 x2+px+q=(x+a)(x+b)x 2+(a+b)x+ab 则 p=a+b,q=ab 在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。乙例题例 1 己知 x 25x+m 能被 x 2 整除，求 m 的值。 x3解法一：列竖式做除法 （如右） x2 x 25x+m由 余式 m60 得 m=6 x22x 解法二： x 25x+m 含有 x2 的因式 3x+m 以 x=2 代入 x25x+m 得 3x+62252 m=0 得 m=6 m6解法三：设 x25x+m 除以 x2 的商是 x+a (a 为待定系数) 那么 x 25x+m (x+a)(x 2)
3、 x 2+(a-2)x2a 根据左右两边同类项的系数相等，得ma5解得 63a （本题解法叫待定系数法）例 2 己知:x 45x 3+11x2+mx+n 能被 x22x+1 整除求：m、n 的值及商式 解：被除式除式商式 （整除时余式为 0）商式可设为 x2+ax+b 得 x45x 3+11x2+mx+n（x 22x+1） （x 2+ax+b）x 4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b 学优中考网 根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得 nbma125解得 413nmbam=11, n=4, 商式是 x23x+4 例 3 m 取什么值时，x 3+y3+z3+mxyz
4、(xyz0) 能被 x+y+z 整除? 解：当 x 3+y3+z3+mxyz 能被 x+y+z 整除时，它含有 x+y+z 因式令 x+y+z0，得 x=（y+z） ，代入原式其值必为 0即（y+z） 3+y3+z3myz(y+z)=0 把左边因式分解，得 yz(y+z)(m+3)=0, yz0, 当 y+z=0 或 m+3=0 时等式成立 当 x,y（或 y,z 或 x,z）互为相反数时，m 可取任何值 ，当 m=3 时， x,y,z 不论取什么值，原式都能被 x+y+z 整除。例 4 分解因式 x3x+6分析：为获得一次因式，可用 x=1，2，3，6（常数项 6 的约数）代入原式求值，只有
5、 x=2 时值为 0，可知有因式 x2， （以下可仿例 1）解：x 3x+6（x2） （x 22x+3）丙练习 181 若 x3+2x2+mx+10=x3+nx24x+10, 则 m=_, n=_2 x34x 2+3x+32 除以 x+2 的余式是，x4x 2+1 除以 x2x2 的余式是3 己知 x3+mx+4 能被 x+1 整除，求 m4 己知 x4+ax3+bx16 含有两个因式 x1 和 x 2,求 a 和 b 的值5 己知 13x3+mx2+11x+n 能被 13x26x+5 整除,求 m、n 及商式6 己知 ab0,m 取什么值时，a 36a 2b+mab2-8b3 有因式 a2b
6、.7 分解因式：x 3-7x+6, x 3-3x2+4, x 3-10x-3 8.选择题 x 2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz 因式分解的结果是（ ） (A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z) (c) (x-y)(y-z)(x+z) (D) (x-y)(y+z)(x+z)n 3+p 能被 n+q 整除(n,p,q 都是正整数)，对于下列各组的 p,q 值能使 n 的值为最大的是（ ）（A） p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.丙练习 18 参考答案：1. 4，2 2. 2；4x+5 3. 3 4. 05ba 5.519nm 商式 x-16. 12 7.(x-1)(x-2)(x+3), (x-2) 2(x+1) , (x+3)(x 2-3x-1)8. (A) (D)学优中考网 学(优中考，网
