1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（44）数的整除（二）甲内容提要第一讲介绍了能被 2，3，4，5，7，8，9，11，13，25 整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法则： n 个连续正整数的积能被 n！整除.（n 的阶乘：n！123n）.例如：a 为整数时，2 a(a+1)， 6 a(a+1)(a+2), 24 a(a+1)(a+2)(a+3)， 若 a b 且 a c, 则 a (bc). 若 a, b 互质，且 a c, b c ， 则 ab c . 反过来也成立：a, b 互质， ab c， 则 a c, b c.例如：8 和 15 互质，
2、8a, 15|a， 则 120a. 反过来也成立： 若 120a. 则 8a, 15|a.由乘法公式（n 为正整数）推得：由(ab)(a n-1+an-2b+abn-2+bn-1)=anb n . 得 (ab)|(a nb n).(a+b)(a2na 2n1 b+ab2n1 +b2n)=a2n+1+b2n+1 . (a+b)|(a 2n+1+b2n+1).(a+b)(a2n1 a 2n2 b+ab2n2 b 2n1 )=a2nb 2n . (a+b)|(a2nb 2n).概括起来：齐偶数次幂的差式 a2nb 2n 含有因式 ab 和 ab.齐奇数次幂的和或差式 a2n+1b 2n+1 或 a2
3、n+1b 2n+1 只分别含有因式 ab 或 ab.例如（a+b）| (a6b 6), (ab)| (a 8b 8)； (a+b)|(a5+b5)， (a b)|(a 5b 5).乙例题例 1. 已知:整数 n2. 求证： n55n 3+4n 能被 120 整除证明：n 55n 3+4nn(n 45n 2+4)=n(n1)(n+1)(n+2)(n2).(n2) (n 1)n(n+1) (n2)是五个连续整数，能被 n!整除， 120n 55n 3+4n.例 2. 已知：n 为正整数. 求证：n 3+ 2n2+ 1n 是 3 的倍数.证明：n 3+ 2n2+ 1n n（2n 2+3n+1）= n
4、(n+1)(2n+1)= n(n+1)(n+2+n1)= 21n(n+1)(n+2)+ 21n(n+1)(n1). 3！n(n+1)(n+2)， 且 3！n(n+1)(n1)学优中考网 3 21n(n+1)(n+2)+ 21n(n+1)(n1).即 n3+ n2+ n 是 3 的倍数.（上两例关鍵在于创造连续整数）例 3. 求证： 332 551； 1989（1990 19901988 1988）.证明： 2 5512 5111 1132 111 11.(321)|(32 11+111 ) ， 即 332 551. 1990 19901988 19881990 19901988 199019
5、88 19901988 1988.（添两项）（19901988）（1990 19901988 1990）. 即 19892（1990 19901988 1990）. 1988 19901988 1988=19881988(198821)1988 1988（19881） （19881）.即 1990 19901988 198819892N 19891988 19881987. （N 是整数） 19891990 19901988 1988.例 4 设 n 是正整数， 求证：7（3 2n+1+2n+2）.证明：3 2n+1+2n+233 2n+42n=39 n+42 n32 n 32 n （添两项）
6、（42 n32 n ）（39 n32 n ）（43）3（9 n2 n ）72 n3（92）N . （N 是整数）7（3 2n+1+2n+2）（例 3，4 是设法利用乘法公式）例 5. 已知 81xy能被 33 整除，求 x, y 的值.解：33311，19+x+y+8+7 其和是 3 的倍数， 即 x+y=3K25 (k 为整数).又（1x+8）(9+y+7) 其差是 11 的倍数，即 xy=11h+7(h 是整数).0x9， 0y9，0xy18，9xy9，x+yxy, 且 x+y 和 xy 同是奇数或偶数.符合条件的有 4817yx或或 .解得 62952yx或或 .例 6.设 N 78，且
7、 17N, 求 x解：N2078100x=17 1224176x2x17（1226x）+42x. 17N， 1742x ，当 42x=0. x=2.学优中考网 丙练习 441. 要使 2n+1 能被 3 整除，整数 n 应取，若 6（5 n1）, 则整数 n 应取.2. 求证： 4!| （n 4+2n3n 22n） ； 24n(n 21)(3n+2) ； 6（n 3+11n） ； 30（n 5n）.3. 求证： 10099 101） ； 57（2 33337 2222） ； 995（996 996994 994） ； 1992（997 997995 995）.4. 设 n 是正整数，求证 3
8、n+3n+2+62n 能被 33 整除.5. 求证：六位数 abc能被 7，11，13，整除.6. 已知：五位数 98xy能被 77 整除，求 x, y 的值.7. 已知：a, b, c 都是正整数，且 6（a+b+c ）.求证：6（a 3+b3+c3）.丙练习 44 参考答案：1. 正奇数；正偶数 2. ，分解为 4 个连续整数n(n-1)(n+1)+12n n(n-1)(n+1)(n 2-4+5)3. 8 111149 1111添项1，1添项 995997995 9974. 化为 3n(1+32)+36n=113n36 n3 n5. 711131001 六位数 105a+104b+103c+102a+10b+c=6. 仿例 57. 由 6（a+b+c）可知 a,b,c 中至少有一个是偶数，且 a3+b3+c33abc 含有因式 a+b+c学优中考网 学优 中 考，网
