1、2012 年北京市中考数学二模分类汇编几何综合与中点有关的问题1.(昌平 24) 如图，D 是ABC 中 AB 边的中点， BCE 和 ACF 都是等边三角形，M、N 分别是 CE、CF 的中点.（1）求证：DMN 是等边三角形；（2）连接 EF，Q 是 EF 中点，CPEF 于点 P. 求证：DPDQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到
2、了所需构造的三角形的位置.2.（丰台 24）在ABC 中，D 为 BC 边的中点，在三角形内部取一点 P，使得ABP=ACP 过点 P 作 PEAC 于点 E，PFAB 于点 F （1）如图 1，当 AB=AC 时，判断的 DE 与 DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图 2，当 AB AC，其它条件不变时， （1）中的结论是否发生改变？请说明理由图 1 图 2AEFPB DCCEBADFPNMDEFA BC/ 923.(海淀 25.)在矩形 ABCD 中, 点 F 在 AD 延长线上，且 DF= DC, M 为 AB 边上一点, N 为MD 的中点 , 点 E 在直线 CF 上（点
3、E、C 不重合）.（1）如图 1, 若 AB=BC, 点 M、A 重合, E 为 CF 的中点，试探究 BN 与 NE 的位置关系及 的值, 并证明你的结论;BMC（2）如图 2，且若 AB=BC, 点 M、A 不重合, BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立 , 请说明理由; （3）如图 3，若点 M、A 不重合，BN=NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图 1 图 2 图 33.（密云 25）已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为 1， ， 等 边 AEF 两 边 分 别60ADC交 DC、 CB 于 点 E、 F（1
4、）特殊发现：如图 1，若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点，求证：菱形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点 O 即为等边 AEF 的外心；（2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动，记等边AEF 的外心为 P猜想验证：如图 2，猜想AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图 3，当 E、F 分别是边 DC、CB 的中点时，过点 P 任作一直线，分别 交DA 边 于 点 M， BC 边 于 点 G， DC 边 的 延 长 线 于 点 N， 请 你 直 接 写 出值1NFA(M) DN DA A CE DNMB FECB FNM ECB旋转变换在几何证明应用1
5、.（延庆 24） （1）如图 1：在ABC 中，AB=AC ，当 ABD=ACD=60时，猜想 AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ； （2）如图 2：在ABC 中，AB=AC ，当 ABD=ACD=45时，猜想 AB 与 BD+CD 数量关系并证明你的结论；（3）如图 3：在ABC 中，AB=AC ，当 ABD=ACD= （20 70）时，直接写出 AB 与 BD+CD 数量关系( 用含 的式子表示)。2.（通州 23） （1）已知：如图 1， 是 的内接正三角形，点 为弧 BC 上一动ABCOP点，求证： PA（2）如图 2，四边形 是 的内接正方形，点 为弧 BC 上一动点，D
6、求证： 2P（3）如图 3，六边形 是 的内接正六边形，点 为弧 BC 上一动点，EF请你写出 PA，PB ，PC 三者之间的数量关系表达式 （不需要证明）图1DABC 图2DACB 图3DABC图 2 图 3图 1/ 943.（平谷 24）如图 1，若四边形 ABCD、GFED 都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE（1）当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 2 的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（2）当 正 方 形 GFED 绕 D 旋 转 到 B， D， G 在 一 条 直 线 （ 如 图 3） 上 时 ， 连 结 CE， 设 CE分 别 交
7、 AG、 AD 于 P、 H 求证：AGCE； 如果 AD=4，DG= ，求 CE 的长 24.（东城 24） 已知：等边 中，点 O 是边 AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N 分别在ABC直线 AC, BC 上，且 60MN(1) 如图 1，当 CM=CN 时， M、N 分别在边 AC、BC 上时，请写出 AM、CN 、MN三者之间的数量关系；（2） 如图 2，当 CMCN 时，M、N 分别在边 AC、BC 上时， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图 3，当点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN
8、、MN 三者之间的数量关系AB CDEFG图 2AB CDEFG图 1PHACDBGEF图 3纯添辅助线（特殊情况可用旋转变换）1 （石景山）在 中， , 是底边 上一点， 是线段 上一点,且ABCDBCEAD EDB2(1) 如图 1,若 ,猜想 与 的数量关系为 ；90(2) 如图 2,若 ，猜想 与 的数量关系，并证明你的结论；6（3）若 ，请直接写出 与 的数量关系.2.（顺义 24）已知：如图，D 为线段 AB 上一点（不与点 A、B 重合） ，CDAB，且CD=AB，AE AB，BFAB ，且 AE=BD，BF=AD（1）如图 1，当点 D 恰是 AB 的中点时，请你猜想并证明 A
9、CE 与 BCF 的数量关系；（2）如图 2，当点 D 不是 AB 的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若ACB= ，直接写出ECF 的度数（用含 的式子表示） 图 1 图 2AB CDEAEB CD图 1 图 2FEDCBAFE DCBA/ 96平移变换1.（大兴 23）在ABC 中，AB=AC ，点 P 为ABC 所在平面内一点，过点 P 分别作 PEAC交 AB 于点 E， PFAB 交 BC 于点 D，交 AC 于点 F(1)如图 1，若点 P 在 BC 边上，此时 PD=0，易证 PD，PE，PF 与 AB 满足的数量关系是 PD+PE+PF=AB
10、；当点 P 在 ABC 内时，先在图 2 中作出相应的图形，并写出PD，PE，PF 与 AB 满足的数量关系，然后证明你的结论；(2)如图 3，当点 P 在ABC 外时，先在图 3 中作出相应的图形，然后写出PD，PE，PF 与 AB 满足的数量关系 （不用说明理由）相似1.（昌平 25）如图，在 Rt ABC 中，ABC=90 ，过点 B 作 BDAC 于 D，BE 平分DBC，交 AC 于 E，过点 A 作 AFBE 于 G，交 BC 于 F，交 BD 于 H （1）若BAC=45 ，求证：AF 平分BAC ；FC =2HD（2）若BAC=30 ，请直接写出 FC 与 HD 的等量关系 G
11、ABDEFHC HGEDCFBAODEAB C2.（房山 24）探究问题：已知 AD、BE 分别为ABC 的边 BC、AC 上的中线，且 AD、BE 交于点 O.ABC 为等边三角形，如图 1，则 AOOD= ；当小明做完问后继续探究发现，若ABC 为一般三角形（如图 2） ，中的结论仍成立，请你给予证明.运用上述探究的结果，解决下列问题：如图 3，在ABC 中，点 E 是边 AC 的中点，AD 平分BAC, ADBE 于点 F，若AD=BE=4.求：ABC 的周长.图 1 图 2 图 3代数中方程、函数与几何1.（门头沟 24） 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点 A 顺时针旋转
12、90后得到矩形 AMEF（如图 1） ，连结 BD、MF，此时他测得 BD8cm，ADB 30（1）在图 1 中，请你判断直线 FM 和 BD 是否垂直？并证明你的结论；（2）小红同学用剪刀将BCD 与 MEF 剪去，与小亮同学继续探究他们将 ABD 绕点 A顺时针旋转得AB 1D1，AD 1 交 FM 于点 K（如图 2） ，设旋转角为 （0 90） ，当AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角 的度数；（3）若将AFM 沿 AB 方向平移得到A 2F2M2（如图 3） ，F 2M2 与 AD 交于点 P，A 2M2 与BD 交于点 N，当 NPAB 时，求平移的距离是多少.D CFBEA
13、OEDB CAC DMAB FE图 1DMAB F图 3NF2PA2M2DMAB FD1图 2B1 K/ 982.（西城区 24）如图，在 RtABC 中，C=90，AC= 6，BC=8动点 P 从点 A 开始沿折线 AC CB BA 运动，点 P 在 AC，CB，BA 边上运动的速度分别为每秒 3，4，5 个单位直线 l 从与 AC 重合的位置开始，以每秒 个单位的速度沿 CB 方向平行移动，即移动34过程中保持 lAC，且分别与 CB，AB 边交于 E，F 两点，点 P 与直线 l 同时出发，设运动的时间为 t 秒，当点 P 第一次回到点 A 时，点 P 和直线 l 同时停止运动(1)当
14、t = 5 秒时，点 P 走过的路径长为 ；当 t = 秒时，点 P 与点 E 重合；(2)当点 P 在 AC 边上运动时，将PEF 绕点 E 逆时针旋转，使得点 P 的对应点 M 落在EF 上，点 F 的对应点记为点 N，当 ENAB 时，求 t 的值；(3)当点 P 在折线 AC CB BA 上运动时，作点 P 关于直线 EF 的对称点，记为点Q在点 P 与直线 l 运动的过程中，若形成的四边形 PEQF 为菱形，请直接写出 t 的值3.（朝阳 23）正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 是 BC 边上的动点，点 E 在 AB 边上 ， 且EPB= 60，沿 PE 翻折EBP 得到 EB
15、. F 是 CD 边上一点，沿 PF 翻折FCP得到 PFC，使点 落在射线 上（1）如图，当 BP=1 时，四边形 C的面积为 ；（2）若 BP=m，则四边形 FEB的面积为 （要求：用含 m 的代数式表示，并写出m 的取值范围） DACBFCBPEDACB备用图 4.（怀柔 24） 如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，点 D 为 AB 边上的一动点（D不与 A、B 重合） ， 过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E把ADE 沿直线 DE 折叠，点A 落在点 处连结 ，A设 AD ，ADE 的边 DE 上的高为 xy（1）求出 与 的函数关系式；y（2）若以点 、B 、D 为顶点的三角形与 ABC 相似，求 的值； x（3）当 取何值时， 是直角三角形第 24 题图AB CD Ex AB C第 24 题备用图
