1、用心 爱心 专心立体几何部分专项训练一、选择题：1、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84，则圆台较小底面的半径为（ ） （A） 7 （） 6 （） 5 （）2、如图 1，在空间四边形 ABCD 中，点 E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、G 分别是边 BC、CD上的点，且 CFB GD 23，则（ ）（A）EF 与 GH 互相平行 （B）EF 与 GH 异面（C）EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上（D）EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上3、下列说法正确的是（ ）（A）直线 l平行于平面 内的无
2、数直线，则 l（B）若直线 在平面 外，则 l（C）若直线 b，直线 b，则 （D）若直线 lb，直线 b ，那么直线 l就平行平面 内的无数条直线4、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A 10B 2 C 13D 45、设 ba,是两条直线， ,是两个平面，则 ba的一个充分条件是（ ）A) ,/ B) /,a C) , D) /b6 如图所示，在正方体 1DCBA中， O是底面 ABCD的中心， E是 1C的中点。那么异面直线 EO和 1所成的角的余弦值等于（ ）A 12 B 32 C 63 D 37 已知直线 m， n，平面 ， ，给出下列命题： 若m，
3、，则 ； 若 /m， /，则 /； 若 m，图1俯视图 正(主)视图 侧(左)视图2322 OEA1 B1C1D1D CBA用心 爱心 专心/m，则 ； 若异面直线 m， n互相垂直，则存在过 m的平面与 n垂直. 其中正确的命题是（ ） A B C D8球 O 的截面把垂直于截面的直径分为 1:3两部分，若截面圆半径为 3，则球 O 的体积为（ ）A16 B 316 C 2 D 49在半径为 0cm的球面上有 A、 、 三点，如果 83AB， 60C，则球心O到平面 C的距离为（ ） A2cm B4cm C6cm D8cm10 一平面截球得到直径是 6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4
4、cm，则该球的体积是（ ）A 3cm10 B 3c208 C. 3cm50 D 3c41611设地球半径为 R，若甲地位于北纬 4东经 12，乙地位于南纬度 75东经 20，则甲、乙两地球面距离为（ ）A 3 B 6 C 56R D 23R12、在 ABC 中， 02,1.,2AB,若使绕直线 BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A. 32 B. 52 C. 7 D. 9213、如图，在长方体 1DCBA中，AB10，AD5， 1A4。分别过 BC、1DA的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 1EDFV，112DFCEBV， FBEV113。若 123:，则截面 的面积为
5、( ) （A） 04 （B ） 8 第 13 题图用心 爱心 专心（C ）20 2 （D） 16214、连结球面上两点的线段称为球的弦半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于 27、4 3，M 、N 分别为 AB、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦 AB、CD 可能相交于点 M 弦 AB、CD 可能相交于点 NMN 的最大值为 5 MN 的最小值为 l 其中真命题的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个15、某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和
6、 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ）A 2B 3C 4D 25二、填空题1、一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为 34，则该正方体的表面积为 .2、若 、 是两个不同的平面， m、n 是平面 及平面 之外的两条不同直线，给出四个论断：mn， ，m ，n ，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，你认为正确的一个命题是： 3、如图，正方体 1ABCD中，M 、N、P、Q、R 、S 分别是AB、 BC、 1、 、 、 的中点，则下列判断：（1 ） PQ 与 RS 共面；（2）MN 与 RS 共面；（3 ）PQ 与 MN 共面；则正确的结论是4、等边三角形 ABC与正方形
7、 E有一公共边 AB，二面角D的余弦值为 3， MN， 分别是 C， 的中点，则4 题用心 爱心 专心EMAN， 所成角的余弦值等于 三、解答题 1、在四棱锥 P-ABCD 中，PBC 为正三角形，AB平面 PBC，ABCD，AB= 21DC， 中 点为 PDE.(1)求证：AE平面 PBC； (2)求证：AE平面 PDC.2、如图， ,MNK分别是正方体 1ABCD的棱1,ABCD的中点（1 ）求证： A/平面 1；（2 ）求证：平面 B平面 AMK3、如图 1 所示，在边长为 12 的正方形 1A中，点 B、 C在线段 A上，且 3B，D1A1 B1C1KN CBA MD用心 爱心 专心4
8、BC，作 1 A，分别交 1、 1A于点 1B、 P，作 1C A，分别交 1、1A于点 、Q，将该正方形沿 1B、 C折叠，使得 1与 重合，构成如图 2 所示的三棱柱1BC（）在三棱柱 1A中，求证： AB平面 1C；（）求平面 PQ将三棱柱 1C分成上、下两部分几何体的体积之比4、如图，正四棱柱 1ABCD中， 124AB，点 E在 1C上且 EC31（）证明： 1平面 ； （）求二面角 1D的大小正切值图2图1PQA1 C1QPC1B1CBA1A1A AB CAB1A BCDEA1 B1C1D1用心 爱心 专心QMABDCOP5、如图所示,在直四棱柱 1DCBA中, B, DAC,点
9、M是棱 1B上一点.()求证： /1面 ；()求证：MDAC；()试确定点 的位置,使得平面 1M平面1. 6 （安徽 19） 如图，在四棱锥 OABCD中，底面 四边长为 1 的 菱形，4ABC, 于, 2, M为 的中点。（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。MABCDA1B1C1D1用心 爱心 专心7 （北京 16） ）如图，在三棱锥 PABC中， 2， 90ACB，APB， C（）求证： ； （）求二面角 P的大小的正弦值8 （福建 19）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PAPD= 2,底面ABCD 为直
10、角梯形，其中 BCAD, ABAD ,AD=2AB=2BC=2，O 为 AD 中点. ()求证:PO平面 ABCD； ()求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值； ()求点 A 到平面 PCD 的距离.9 （广东 18）如图 5 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD 是圆的直径， ABD=60,BDC=45 ,ADPBAD.ACBP用心 爱心 专心(1)求线段 PD 的长；(2)若 PC= 1R，求三棱锥 P-ABC 的体积.10 （宁夏 18）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图在下面画出（单
11、位：cm）（）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（）在所给直观图中连结 BC，证明： 面 EFG11 (山东 19)如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PA平面 BCD， A ，PAD是等边三角形，已知 28， 245（）设 M是 C上的一点，证明：平面 M平面 ；（）求四棱锥 的体积46422E DA BCFG 2AB CDPA BCMPD用心 爱心 专心ABCDEFPA BCDD1A1B1C111441第 14图12 (天津 19) 如图，在四棱锥 PABCD中，底面 B是矩形已知 3AB，2D， P， 2， 60 （）证明 平面
12、；（）求异面直线 与 A所成的角的正切值；（）求二面角 B的正切值13 （浙江 20）如图 ,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE/CF， BCF= CEF= 90,AD= 3,EF=2。 （）求证：AE/平面 DCF；（）当 AB 的长为何值时, 二面角 A-EF-C 的大小为 60？ 14. 如图， PABCD是正四棱锥, 1ABCD是正方体，其中 2,6 （）求证： 1P；用心 爱心 专心（）求 1B到平面 PAD的距离15 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，E、F 分别是 AB、PC 的中点 （1）求证： /EF平面 PAD
13、；（2）当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大二面角时， 直线 平面 PCD？16 已知，在如图所示的几何体 ABCED 中，EC面 ABC，DB面 ABC，CE=CA=CB=2DB ，ACB=90 ，M 为 AD 的中点。（1）证明：EM AB ；（2）求直线 BM 和平面 ADE 所成角的正弦值。17.如图，四面体 CABD，CB = CD，AB = AD， 用心 爱心 专心BAD = 90.E、F 分别是 BC、AC 的中点. （）求证：ACBD；（）如何在 AC 上找一点 M，使 BF平面 MED？并说明理由；（）若 CA = CB，求证：点 C 在底面 ABD 上的射影是线段 BD
14、 的中点.18.正方体 1ABCD-， 1A=2，E 为棱 1C的中点() 求证： ； () 求证： /平面 BDE；（）求三棱锥 -的体积参考答案（详解）一、选择题 1、A 2、D 3、D 4、B 5、C 6C 7D 8C 9C 10C 11 D12、A 13、C 14、C 15、C 15、C 解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为 ,mnk，由题意得227mnk， 261n1a， 1b，所以 22()()6ab28ab，nmkA11CBAE用心 爱心 专心222()816ababab 4ab当且仅当 2ab时取等号。二、填空题 1、24 2、 3、 （1
15、 ） 、 （3） 4、 . 解：设 AB，作COABDE面 ，H，则 ， CHO为二面角 ABD的平面角3,cos，结合等边三角形 C与正方形 可知此四棱锥为正四棱锥，则 3NEMH11(),22ANCBEMA, 11()()22AE12故 E， 所成角的余弦值 6三、解答题 1、(1)证明:取 PC 的中点 M,连接 EM, 则 EMCD，EM= 2DC,所以有 EMAB且 EM=AB, 则四边形 ABME 是平行四边形 .所以 AEBM, 因为 AE 不在平面 PBC 内,所以 AE平面 PBC. (2) 因为 AB平面 PBC，AB CD,所以 CD平面 PBC，CDBM. 由(1) 得
16、 ,BMPC, 所以 BM平面 PDC， 又 AEBM,所以 AE平面 PDC2证明：（1 ）证明：连结 NK. 在正方体 1ABCD中，四边形 11,ADC都为正方形， 1/,1/,.C,NK分别为 1,的中点，11NK1为平行四边形./,./,.AN 1AK为平行四边形A平面 M平面 ， /平面 1.AMK（2 ）连结 1B，在正方体 1BCD中， 1/,BCD,分别1,CD中点， 1/,.K 四边形 为平行四边形. 1/.BC 在正方体 A中， 1A平面 11,平面 1,1.A 1/,.MKBB为正方形， .B .MKB 1平面1平面 111,C K平面 1AC平面 K平面 M平面 1.
17、 D1A1 B1KN BA MDHoMBDECN4 题用心 爱心 专心3、解：（）证明：因为 3AB， 4C，所以 5A，从而有 22ACB，即ABC又因为 1，而 1，所以 B平面 1；（）因为 3PAB， 7Q，所以 ()(37)4202CQPBS，从而 112033ABCQPBCQPVS 又因为1147，所以平面 将三棱柱 1A分成上、下两部分几何体的体积之比为72053V上下4、解依题设知 2B， CE（）连结 交 D于点 F，则 BA由三垂线定理知， 1 在平面 1内，连结 EF交 1AC于点 G，由于 12AFCE， 故 Rtt ， E，与 1互余于是 1ACEF1与平面 BD内两
18、条相交直线 BD， 都垂直，所以 1AC平面 BD（）作 GHE，垂足为 ，连结 1H由三垂线定理知 HE， 故 1AG是二面角 1A的平面角 23FCE， 23FG，23EC3GF， 215EDH又2116A， 63AGCA B CDEA1 B1C1D1FHGMABCDA1B1C1D1NN1O用心 爱心 专心11tan5AGH 所以二面角 1ADEB的 tan5 5、 ()证明：由直四棱柱,得 11/,B且 ,所以 1BD是平行四边形,所以而 1A平 面 , 11AD平 面 ,所以 /1B面 DA()证明：因为 面 BC,面 , 所以 C又因为 B,且1BD，所以 1面 而 M1面 ，所以(
19、)当点 M为棱 1的中点时,平面 1D平面 D 取 DC 的中点 N,1C的 中 点 N,连结 交 1C于 O,连结 . 因为 N 是 DC 中点,BD=BC,所以BD；又因为 DC 是面 ABCD 与面 1的交线,而面 ABCD面 1C,所以1面又可证得 , 是 N的中点,所以 BMON 且 BM=ON,即 BMON 是平行四边形,所以 BNOM,所以 OM平面 DC1,因为 OM 面 DMC1,所以平面 1DM平面DC16、 （ 1） AB,M 为异面直线 AB与 M所成的角（或其补角 ）作 P于连接 P于于 O P 2,4A =2， 1cos,23DCDP所以 AB与 D所成角的大小为
20、3（） 于 OC,点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A 作QP于点 Q，,AP于 ,QOAPQCD于 又 ,ACD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离用心 爱心 专心2221324OPDOADP ， 2APD3PAQ，所以点 B 到平面 OCD 的距离为7、解：（）取 B中点 ，连结 C， A，P C， P，平面 D 平面 D， （） A， P， B 又 ， 又 90，即 ，且 CP，B平面 取 中点 E连结 C， A， BEAEC是 在平面 C内的射影， P 是二面角 的平面角在 中，90， 2， 36BA， 6sin3BE二面角 BAPC的
21、sin8、解：（）证明：在PAD 卡中 PAPD，O 为 AD 中点，所以 POAD.又侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PO 平面 PAD，所以 PO平面 ABCD.（）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中，BC AD, AD=2AB=2BC，有 ODBC 且 ODBC ，所以四边形 OBCD 是平行四边形，所以 OBDC. 由（）知 POOB，PBO 为锐角，所以PBO是异面直线 PB 与 CD 所成的角.因为 AD2AB 2 BC2，在 RtAOB 中，AB1 ，AO1，所以 OB 2，在 Rt POA 中，因为 AP ，AO1，所以 OP1，在 RtPBO 中
22、，PB32OBP,cosPBO= 6,所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 36.()由（）得 CDOB 2，在 RtPOC 中，PC2OPC，ACBEP用心 爱心 专心所以 PCCDDP ，S PCD = 432= 2.又 S= ,1ABD设点 A 到平面 PCD 的距离 h，由 VP-ACD=VA-PCD， 得 3SACD OP 3SPCD h，即 3111 23h，解得 h .9、解：（1 ） BD 是圆的直径 90BAD 又 ADPB,ADPB, 22 34sin613R;(2 ) 在 RtBCA中， cos5B 22291PCRPD 又 90 D底面 ABCD213213
23、1sin645224ABCSRRA三棱锥 P的体积为 231PBCBVSA.10、解：（）如图（）所求多面体体积 长 方 体 正 三 棱 锥 14623284(cm)3 （）证明：在长方体 ABCD中，连结 AD，则 BC 因为 EG， 分别为 A， 中点，所以 EG ， 从而 E 又 平面 F，所以BC面 EFG 11、解：（）证明：在 中，由于 4， 8， 45，所以 22DB故 A又平面 PA平面 BC，平面 PAD平面 A， 平面 CD，所以 B平面 ，又 平面 MB，故平面 M平面 P（）解：过 作 O交 于 ，由于平面 D平面 ，所以 O平面BC因此 为四棱锥 AB的高，又 PA
24、是边长为 4 的等边三角形4642224622（俯视图）（正视图） （侧视图） A BCDEFGA BCMPDO用心 爱心 专心因此 342PO在底面四边形 ABCD中， ， 2ABDC，所以四边形 ABCD是梯形，在 Rt 中，斜边 边上的高为 485，此即为梯形的高，所以四边形 的面积为 252S故124316PABCDV12、解：（）证明：在 PAD 中，由题设 2PA， D， 2P，可得22，于是 在矩形 BC中， AB， 又 A，所以 A平面 B（）解：由题设， C ，所以 （或其补角）是异面直线 C与 D所成的角在 P 中，由余弦定理得 2cos7PABPAB由（）知 AD平面 B
25、， 平面 ，所以 ，因而 ，于是 C 是直角三角形，故 7tan2C所以异面直线 与 D所成的角的正切值 （）解：过点 P作 H于 ，过点 H作 EB于 ，连结 PE因为 A平面 B， 平面 PAB，所以 P又 A，因而H平面 D，故 E为 在平面 内的射影由三垂线定理可知，BE从而 是二面角 的平面角由题设可得， sin603A， cos601，2， 2BD， 43ADHEB于是在 RtPHE 中， 9ta4PE所以二面角 P的正切值为 13：（ ）证明：过点 作 GCF交 于 ，连结 G，可得四边形 C为矩形，又 A为矩形，所以 AD ，从而四边形 D为平行四边形，故 AED 因为 E平面
26、 ， 平面 ，所以 平面 CFAB CDPHEDABEFCHG用心 爱心 专心（）解：过点 B作 HEF交 的延长线于 H，连结 A由平面 BCD平面EFC， A，得平面 ，从而 所以 B为二面角 EF的平面角在 RtG 中，因为 3AD， 2，所以 60C， 1G又因为，所以 4，从而 3BEC于是 3sin2BHE因为 tanABHB，所以当 A为 92时，二面角 AFC的大小为 6014 解： () 连结 AC , 交 BD 于点 O , 连结 PO , 则 PO面 ABCD , 又 CD , PBD, 1/, 1PBD （） 用体积法求解： 11BAV13xPADBPDhSO即有 11
27、125()332x DPBhSA 解得 65x，即 1到平面 PAD 的距离为 615证 ： （1）取 CD 中点 G，连结 EG、FG E 、F 分别是 AB、PC 的中点，EG/AD，FG/PD，平面 EFG/平面 PAD， EF/平面 PAD （2 ）当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45角时，直线 EF平面 PCD.证明：G 为 CD 中点，则 EGCD，PA 底面 ABCD AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影。 CD 平面 ABCD，且 CDAD，故 CDPD 又FGPDFG CD，故 EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角，即 EGF=45，从而得
28、 ADP=45， AD=AP.由 RtPAERtCBE，得 PE=CE.又 F 是 PC 的中点，EFPC.由 CDEG，CD FG， 得CD平面 EFG，CD EF，即 EFCD， 故 EF平面 PCD 16解： （1）如图，过 M 作 MNAB，由 DB面 ABC， 面， 得面， 面 CEBDNABCNA/用心 爱心 专心M 是 AD 中点，N 是 AB 中点，CA=CB，CNAB由三垂线定理，得 EMAB（2 ）设 CB 和 ED 延长线交于 F，不妨设 BD=1易求 52,;23,2, AFDBMABF,53sin,54cosAFSDA得勤设 B 到面 AEF 的距离为 h，由2,hV
29、DFBAD得设直线 BM 和平面 ADE 所成角为 94sin,Mh17解：（）取 BD 的中点 O，连接 AO，CO，在BCD 中， BC = DC，CO BD，同理 AOBD 而 AOCO = O，BD平面 AOC， 又 AC平面 AOC，ACBD . （）取 FC 的中点 M，连接 EM，DM， E 是 BC 的中点，BF EM， E平面 MED，BF 平面 MED， FC 的中点 M 即为所求. （）ABD 是等腰直角三角形， BAD = 90，AO = BO = DO；CA = CB = CD，CO是公共边，COACOBCOD；COA= 90，即 COAO，又 COBD，AOBD = O， CO平面 ABD即点 C 在底面 ABD 上的射影是线段 BD 的中点 。18 解： ()证明：连结 BD，则 / 1， ABD是正方形， A CE面 ABD，E又 C， 面 面 CE， 1BDA （）证明：作 1的中点 F，连结 ACFE、 、 EF、 是 C、 的中点， 1B，用心 爱心 专心四边形 1BFCE是平行四边形， 1CF/ BE ,是 1、 的中点， ，又 /AD， /四边形 EF是平行四边形， AF/ ED， C， 1B，平面 /A面 又 平面 F， /A面 1E （3 ） 12ABDS 112333ABDABABDABDVSCES
