1、立体几何( 综合提高)1.一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4cm，则该球的体积是【 】(A) 310cm (B) 3208cm (C) 350cm (D) 3416cm2.在正三棱柱 1ABC中，若 AB=2， 1A则点 A 到平面 1BC的距离为【 】A 43 B 23 C 43 D 33.设 ,为两两不重合的平面， nml,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若， ，则 |；若 ， ， |， |n，则 |；若 |， l，则 |l；若 l， m， n， |l，则 nm| 奎 屯王 新 敞新 疆 其中真命题的个数是 【 】A1 B2 C3 D44.两相同的正四
2、棱锥组成如图 1 所示的几何体，可放棱长为 1 的正方体内，使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有【 】（A）1 个 （B）2 个（C） 3 个 （D）无穷多个5.正三棱锥 PABC 高为 2，侧棱与底面所成角为 045，则点 A 到侧面PBC 的距离是 .6.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 .7.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题： 学科网（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；（
3、2）若 外一条直线 l与 内的一条直线平行，则 l和 平行；（3）设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；（4）直线 l与 垂直的充分必要条件是 l与 内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. 学科网8.如 图 ， 在 长 方 体 1ABCD中 ， 3cmABD， 12cA，则四棱锥1ABD的体积为 cm31.在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是正方形 A1B1C1D1 的中心，点 P 在棱 CC1上，且 CC1=4CP.()求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；()设 O 点
4、在平面 D1AP 上的射影是 H，求证：D 1HAP；()求点 P 到平面 ABD1 的距离 .2.如图，在五棱锥 SABCDE 中，SA 底面 ABCDE，SA=AB=AE=2， BCDE3，BAECDE120 奎 屯王 新 敞新 疆求异面直线 CD 与 SB 所成的角（用反三角函数值表示） ；（4 分）证明：BC平面 SAB；（4 分）用反三角函数值表示二面角 BSCD 的大小 奎 屯王 新 敞新 疆 （本小问不必写出解答过程） （4 分）B1PACDA1C1D1BOHAPFECBA1E FCPB图 1 图 23.在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足
5、AE:EBCF:FACP:PB 1:2（如图 1） 。将AEF 沿 EF 折起到 EFA1的位置，使二面角A1EFB 成直二面角，连结 A1B、A 1P（如图 2）（）求证：A 1E平面 BEP；（4 分）（）求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；（5 分）（）求二面角 BA 1PF 的大小（用反三角函数表示） （5 分）4.如图，已知 1ABCD是棱长为 3 的正方体，点 E 在 1A上，点 F在 1上，且 EF，（1）求证：E，B，F, 1四点共面；（4 分）（2）若点 G 在 C上， 2B3，点 M 在 1B上， GF，垂足为 H，求证： M面 1；（4 分）1D1ABCMEF
6、HGABCDEF（3）用 表示截面 1EBFD和面 1C所成锐二面角大小，求 tan。 （4 分）5.如图，在四面体 ABCD 中，CB=CD，ADBD，点 E，F 分别是 AB，BD 的中点求证： （1）直线 EF面 ACD；（2）平面 EFC面 BCDZXXK6如图，在直三棱柱 1ABC中，E，F 分别是 1AB、 C的中点，点 D 在 1上， 1。 学科网求证：（1）EF平面 ABC；（2）平面 1F平面 1.7.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1 ，AB=2，ABDC，BCD=90 0。(1)求证：PCBC；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离。
7、8.如图，在四棱锥 ABCDP中，平面 PAD平面 ABCD，AB=AD ，BAD=60 ，E、F分别是 AP、AD 的中点求证：（1）直线 EF/平面 PCD；（2）平面 BEF平面 PAD.9.如 图 ， 在 直 三 棱 柱 1ABC中 ， 11ABC， DE， 分 别 是 棱1BC，上 的 点 （ 点 D 不同于点 ） ，且 F， 为 1B的中点求证：（1）平面 E平面 1；（2）直线 1/AF平面 1【答案】C。【考点】球的体积。【分析】利用条件：球心到这个平面的距离是 4cm、截面圆的半径、球的半径、求出球的半径，然后求出球的体积：一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面，就是小圆的直
8、径为 6，又球心到这个平面的距离是4cm，球的半径是：5cm。球的体积是： 3450（cm 3） 。故选 C。2【答案】B。来源:学*科*网 Z*X*X*K【考点】棱柱的结构特征，点到平面的距离。【分析】过点 A 作 ADBC 于点 D，连接 A1D，过点 A 作 AD面 A1BC 于点 E，则点 E 在 A1D 上，AE 即为点 A 到平面 BC的距离。在 Rt ACD 中，AC=2 ，CD=1，AD= 3。在 Rt A1DA 中，1，AD= 3，tan A1DA= 3。A 1DA=300。在 Rt ADE 中，AE=ADsin30 0= 2。故选 B。3【答案】B。【考点】平面与平面之间的
9、位置关系，空中间直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系。【分析】由空间中面面平面关系的判定方法，线面平等的判定方法及线面平行的性质定理，逐一对四个答案进行分析，即可得到答案：若 ， ，则 与 可 能平行也可能相交，故错误；由于 m，n 不一定相交，故 不一定成立，故错误；由面面平行的性质定理，易得正确；由线面平行的性质定理，我们易得正确。故选 B。4【答案】D。【考点】正四棱锥的体积。【分析】由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 ABCD 中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形 ABCD 的面积.问题
10、转化为边长为 1 的正方形的内接正方形有多少种，易知无穷多个。故选 D。5【答案】 65。【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角。【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段。如图所示：设 P 在底面 ABC 上的射影为 O，则 PO平面 ABC，PO=2，且 O 是三角形 ABC 的中心。BCAM ，BCPO ，POAM=O。BC 平面 APM。又BC 平 面 ABC，平面
11、 ABC平面 APM。又平面 ABC平面 APM=PM，A 到侧面 PBC 的距离即为APM 中 PM 边上的高。设底面边长为 a，则 AM= 32a， 23AOa，由侧棱与底面所成角为 045和 PO=2，得 ， 23。设侧棱为 b，则等腰直角三角形的性质，得 b。则在 RtPBC 中，BM= 3，PB= 2，由勾股定理，得 PM= 5。由面积法得 A 到侧面 PBC 的距离 6523h。6【答案】1：8。【考点】类比的方法。【分析】在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：2 2，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 1：2 3。
12、7【答案】(1)(2)。【考点】立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。【分析】由面面平行的判定定理可知， （1）正确；由线面平行的判定定理可知， （2）正确；对于（3）来说， 内直线只垂直于 和 的交线 l，得不到其是 的垂线，故也得不出 ；对于（4）来说， l只有和 内的两条相交直线垂直，才能得到 l ，也就是说当 l垂直于 内的两条平行直线的话， l不一定垂直于 。 来源:Z xxk.Com8【答案】6。【考点】正 方 形 的 性 质 ， 棱锥的体积。【解析】 长 方 体 底 面 ABCD是 正 方 形 ， ABD中 =32 cm， BD边 上 的 高 是32cm（它也是 1中
13、 1上的高） 。 四棱锥 的体积为 326。1【答案】解：（I）连接 BP。AB平面 BCC1B1，AP 与平面 BCC1B1 所成的角就是APB。CC 1=4CP，CC 1=4，CP=1。在 Rt PBC 中，PCB 为直角，BC=4，CP=1，BP= 7。在 Rt APB 中，ABP 为直角， tanAPB= A41BP，APB= 417arctn。()证明：由已知 OH面 APD1，OHAP 。连接 B1D1，由于 O 是上底面的中心，故 OB 1D1。由正 方体的性质知 B1D1面 AA1C1C，又 AP面 AA1C1C，B 1D1AP。又 B1D1OH=O，AP 面 D1OH。D 1
14、HAP 。() 点 P 到平面 ABD1 的距离，即点 P 到平面 ABC1D1 的距离，连接 BC1，过点 P 作 PQBC 1 于点 Q， 则 PQ 即为点 P 到平面 ABD1 的距离。C 1P=3，BC=4，BC 1= 21BC+4，由C 1PQC 1BC，得 1PQ，即 32。 3PQ=2，即点 P 到面 ABD1 的距离为 。【考点】直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算。【分析】 （）由题设条件，连接 BP，即可得出 AP 与平面 BCC1B1 所成的角为PAC ，由勾股定理求出 BP，即可求出 tanAPB，从而求得APB。（）要证 D1HAP，只要证 AP 垂直于 D1H
15、 所在的平面 D1OH。一方面OHAP ，另一方面 B1D1AP 。从而得证。（）连接 BC1，过点 P 作 PQBC 1 于点 Q， 则 PQ 即为点 P 到平面 ABD1 的距离。由勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求出 PQ，即点 P 到平面 ABD1 的距离。2. 【答案】解：连接 BE，延长 BC、ED 交于点 F，则DCF= CDF=60 0，CDF 为正三角形， CF=DF。又BC=DE，BF=EF。BF E 为正三角形。FBE=FCD=60 0。B E/CD。SBE（或其补角）就是异面直线 CD 与 SB 所成的角。SA底面 ABCDE，SA=AB=AE=2，SB= 2。同理
16、 SE= 2。又BAE=120 0，BE= 3。cosSBE= 46。SBE=arccos 46。异面直线 CD 与 SB 所成的角是 arccos 。由题意，ABE 为等腰三角形，BAE=120 0，ABE=30 0。又FBE =60 0，ABC=90 0。BCBA。SA底面 ABCDE，BC 底面 ABCDE，SABC，又SABA=A。BC 平面 SAB。二面角 B-SC-D 的大小 827arcos。【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】 （1）连接 BE，延长 BC、ED 交于点 F，根据线面所成角的定义可知SBE （或其补角）就是异面直线 CD与 SB 所成的角，然后在三角形
17、 SBE 中求出此角即可。（2）欲证 BC平面 SAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 BC 与平面 SAB 内两相交直线垂直，而 BCBA，SABC，又 SABA=A，满足定理所需条件。（3）二面角，可利用空间向量法求解更方便。3. 【答案】解：不妨设正三角形 ABC 的边长为 3。（）证：在图 1 中，取 BE 中点 D，连结 DF，则 AE：EB=CF：FA=1：2。 AF=AD=2。而A=60 0 ，ADF 是正三角形。又 AE=DE=1，EFAD。在图 2 中，A 1EEF，BEEF, 来源:Zxxk.ComA 1EB 为二面角 A1 EFB 的平面角。由题设条件知此二面角为
18、 直二面角，A 1EBE，又 BEF，A 1E平面 BEF，即 A1E平面 BEP。（）在图 2 中，A 1E 不垂直 A1B，A 1E 是平面 A1BP 的垂线。又 A1E平面 BEP，A 1EBE。从而 BP 垂直于 A1E 在平面 A1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理） 。设 A1E 在平面 A1BP 内的射影为 A1Q，且 A1Q 交 BP 于点 Q。则E 1AQ 就是 A1E 与平面 A1BP 所成的角，且 BPA 1Q。在EBP 中，BE=EP=2 而EBP=60 0 ，EBP 是等边三角形。又 A1E平面 BEP ，A 1B=A1P,，Q 为 BP 的中点，且 E3。又 A1E
19、=1，在 RtA 1EQ 中， 1tanE3A，EA 1Q=60o。直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 600。（）在图 3 中，过 F 作 FM A 1P 于 M，连结 QM，QF。CP=CF=1，C=60 0,FCP 是正三角形。PF=1 。有 1PQB2，PF=PQ 。A 1E平面 BEP， EOF3，A 1E=A1Q。A 1FPA 1QPA 1PF=A 1PQ。由及 MP 为公共边知FMPQMP，QMP=FMP=90 o，且MF=MQ。FMQ 为二面角 BA 1PF 的平面角。在 Rt A1QP 中,A 1Q=A1F=2，PQ=1 ， 1AP5。又 MQA 1P， 1Q2M。
20、2MF。在FCQ 中， FC=1，QC=2 ，C=60 0，由余弦定理得 Q3。在FMQ 中，227FFcosQ8。二面角 BA 1PF 的大小为 arcos。【考点】直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，与二面角有关的立体几何综合题。【分析】本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。4. 【答案】解：（1）证明：在 DD 1上取一点 N 使得 DN=1，连接 CN，EN ，显然四边形 CFD 1N 是平行四边形，D F/CN。同理四边形 DNEA 是平行四边形，EN/AD，且 EN
21、=AD。又 BC/AD，且 AD=BC，EN/BC，EN=BC，四边形 CNEB是平行四边形。CN/BE。D 1F/BE。E，B，F, 1D四点共面。（ 2） GMF， BCF MBG。 MBGCF，即23。MB=1 。AE=1，四边形 ABME 是矩形。EMBB 1。又平面 ABB 1A 平面 BCC 1B ，且 EM 在平面 ABB 1A 内，EM面 1BC。（3） EM面 1BC， EBF， MMH， GBF。MHE 就是截面 FD和面 1B所成锐二面角的平面角。EMH= 90， tanH，ME=AB=3， BCF MHB。3：MH=BF：1。又BF= 231，MH= 31。 MEtan
22、H= 1。【考点】平面的基本性质及推论，直线与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题。来源:学|科|网【分析】 （1）四点共面问题通常我们 将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理 3 的推论 2、3 可知它们共面。（2）求出 MB 的长度。在正方体中，易知 AB面 BCC1B1，所以欲证 EM面BCC1B1，可以先证 ABEM；或者也可以从平面 ABB1A1平面 BCC1B1 入手去证明。（3）由第二问的证明可知，利用三垂线定理，MHE 就是截面 EBFD1 和面BCC1B1 所成锐二面角的平面角。5. 【答案】证： （1）E，F 分别是 AB，BD 的中点EF 是A
23、BD 的中位线，EFAD。EF 面 ACD，AD 面 ACD，直线 EF面 ACD。（2）ADBD，EFAD， EF BD。CB=CD，F 是 BD 的中点， CFBD。又 EFCF=F，BD面 EFC。BD 面 BCD，面 EFC面 BCD。【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定。【分析】 （1）根据线面平行关系的判定定理，在面 ACD 内找一条直线和直线 EF 平行即可，根据中位线可知 EFAD，又 EF面 ACD，AD 面 ACD，满足定理条件。（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知 BD面 EFC，而 BD 面
24、BCD，满足定理所需条件。 来源:学科网6. 【答案】证明：（1）E，F 分别是 A1B，A1C 的中点，EFBC 。又EF 面 ABC，BC 面 ABC，EF平面 ABC。（2）直三棱柱 1ABC，BB 1面 A1B1C1。BB 1A 1D。又A 1DB 1C，A 1D面 BB1C1C。又A 1D面 A1FD，平面 A1FD平面 BB1C1。【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定。【分析】 （1）要证明 EF平面 ABC，证明 EFBC 即可。（2）证明平面 1F平面 1BC，证明 A1D面 1B即可。7. 【答案】解：（1）证明：PD平面 ABCD，BC 平面 ABCD，PDB
25、C。由BCD=90 0，得 CDBC 。又 PDDC=D，PD、DC 平面 PCD，BC平面 PCD。PC 平面 PCD，PCBC。（2）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF ，则：易证 DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。由（1）知：BC平面 PCD，平面 PBC平面 PCD 于 PC。PD=DC，PF=FC，DF PC。DF平面 PBC 于 F。易知 DF= 2，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2。【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积空间想象能力
26、、推理论证能力和运算能力。【分析】 （1）要证明 PCBC，可以转化为证明 BC 垂直于 PC 所在的平面，由 PD平面ABCD，PD=DC=BC=1 ，AB=2，ABDC，BCD=90 ，容易证明 BC平面 PCD，从而得证。（2）注意到第一问证明的结论，取 AB 的中点 E，容易证明 DE平面 PBC，点D、E 到平面 PBC 的距离相等，而 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍，由第一问证明的结论知平面 PBC平面 PCD，交线是 PC，所以只求 D 到 PC 的距离即可，在等腰直角三角形 PDC 中易求。还可以用等体积法求解：连接 AC，则三棱锥 P-A
27、CB 与三棱锥 A-PBC 体积相等，而三棱锥 P-ACB 体积易求，三棱锥 A-PBC 的地面 PBC 的面积易求，其高即为点 A 到平面PBC 的距离，设为 h，则利用体积相等即求。8. 【答案】证明：(1) 在 PAD中， FE,分别是 ADP,的中点， /EF，又 平面 C，PD 平面 ，直线 /平面 。(2)连结 BD。 A， 60BD， A为等边三角形。 F分别是 的中点， F。平面 P平面 C， AC平 面，又 ADBD平 ， BF平 面。又 E平 面，平面 F平面 PA。【考点】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系。【分析】 （1）要证直线 /F平面 PCD，只需证明 /
28、ED， 不在平面 PCD中，PD平面 PCD即可。（2）连接 B，证明 A，说明 PABA平 ，得出ABF平 面，从而证明平面 EF平面 。9. 【答案】证明：（1） 1CB是 直 三 棱 柱 ， 1C平面 。又 D平面 A， 1AD。又 1E， ， 平面 11BE， ，AD平面 1B。又 A平面 ， 平面 AE平面 1C。（2） 11C， F为 1B的中点， 1FB。又 平面 ，且 平面 ， 1AF。又 1 ， 平面 1， 1C， 平面1ABC。由（1）知， AD平面 1BC， 1AF D。又 平面 , E平面 E， 直线 1/平面 AE【考点】直 线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】 （1）要证平面 AD平面 1BC，只要证平面 AD上的 平面 1BC即可。它可由已知 1BC是 直 三 棱 柱 和 E证得。（2）要证直线 /F平面 ，只要证 1F平面 上的 即可。
