1、Page 1 of 7中考要求考试要求板块A 级要求 B 级要求 C 级要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；知识点睛一、二次函数与一元二次方程的联系1. 直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为 .y2yaxbc0c，（2） 与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点 .h2yaxb2
2、habc，（3） 抛物线与 轴的交点: 二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对x1x2应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方2xc程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；0x有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；0x没有交点 抛物线与 轴相离.（4） 平行于 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两x交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kabck（5） 抛物线与 轴两交点之间的距离若抛物线 与 轴两交点为 ，yxx120AxB， ， ，由于 、 是方程 的
3、两个根，故1x22axbc1212ca，212121144bbABxa2. 二次函数常用的解题方法（1） 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x（2） 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；（3） 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ， ， 的2yaxbcabcabc符号判断图象的位置，要数形结合；（4） 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.x（5） 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母 的二次函2(
4、0)axbcx数；以 时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下：0a二次函数与方程、不等式综合Page 2 of 70抛物线与 轴有x两个交点二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根抛物线与 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与 轴无x交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.3. 二次函数与一元二次方程根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与 轴的交点问题） ，因此，二次方程x的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究
5、是非常有益的设 的二实根为 ， ， ， ，且 是预先20fxabc1x21224bac，给定的两个实数（1） 当两根都在区间 内，方程系数所满足的充要条件：， ，对应的二次函数 的图象有下列两种情形：12xfx x1 x2a0O xyyxO x2 x1当 时的充要条件是： ， ， ， 0a02ba0ff当 时的充要条件是： ， ， ， 两种情形合并后的充要条件是：020baff， ，（2） 当两根中有且仅有一根在区间 内，方程系数所满足的充要条件；， 或 ，对应的函数 的图象有下列四种情形：1x2xfx x1 xyOx1 xyOxyx1Oxyx1O从四种情形得充要条件是：Page 3 of 7
6、0f（3） 当两根都不在区间 内方程系数所满足的充要条件：，当两根分别在区间 的两旁时；， 对应的函数 的图象有下列两种情形：12xxfx xy x2x1OO x1 x2yx当 时的充要条件是： ， 0a0ff当 时充要条件是： ， 两种情形合并后的充要条件是：， ()f()f当两根分别在区间 之外的同侧时：， 或 ，对应函数 的图象有下列四种情形：12x12xfx xy x1x2Oxyx1 x2Oxy x1 x2Oxy x1 x2O当 时的充要条件是：12x， ， 0ba0f当 时的充要条件是：12， ， f（3）区间根定理如果在区间 上有 ，则至少存在一个 ，使得 ab， 0fabxab，
7、 0fx此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力f(b)f(a)baPage 4 of 7例题精讲一、二次函数与方程、不等式综合【例 1】 已知二次函数 ，且方程 与 有相同的非零实根2fxpq0fx20fx（1）求 的值；2qp（2）若 ，解方程 .8f0fx【例 2】 已知二次函数 ，当自变量 取 时，其相应的函数值小于 ，那么下列结论2yxa()xm0中正确的是（ ）. 的函数值小于 . 的函数值大于A1m0B10. 的函数值等于 . 的函数值与 的大小关系不确定CD【例 3】 小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式 的值的情况他们作了如下分工：小明
8、245x负责找值为 时 的值，小亮负责找值为 0 时 的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大1x值几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）小明认为只有当 时， 的值为 .A. 2245x1小亮认为找不到实数 ，使 的值为 .B小梅发现 的值随 的变化而变化，因此认为没有最小值C.245x小花发现当 取大于 的实数时， 的值随 的增大而增大，因此认为没有最大值.D2xx【例 4】 已知关于 的一元二次方程 有实数根， 为正整数.x2410kk（1）求 的值；k（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 的二次函数 的图象向下平移x241yxk8 个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（
9、2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图2yxbk象有两个公共点时， 的取值范围.b【例 5】 已知函数 ， ， 为方程 的两个根，点 在函数 的1yx2xc、120yMtT、2y图象上（1）若 ，求函数 的解析式；3、2y（2）在（1）的条件下，若函数 与 的图象的两个交点为 ，当 的面积为 时，1 AB、312求 的值；t（3）若 ，当 时，试确定 三者之间的大小关系，并说明理由010tT、【例 6】 已知方程 的两个实根一个小于 ，一个大于 ，求 的取值范围2xp11p【例 7】
10、已知方程 的两根均大于 ，求 的关系式20ab2ab、Page 5 of 7【例 8】 设二次方程 有一根比 大，另一根比 小，试确定实数 的范围2120xax11a【例 9】 若二次方程 在区间 内仅有较大实根，另一根不等于 ，求 的取值范23、 1围【例 10】 已知方程 有两个实数根 ，并且 证明：20xbcst、2xt、（1） ；4c（2） 【例 11】 若 的二次方程 ，因为方程 的解都位于 的范围中，求正整数x24xmn0fx01x的mn、值【例 12】 设有整系数二次函数 ，其图像开口方向朝上，且与 轴有两个交点，分2fxabcx别在、 内，且 的判别式等于 ，试求 的值1005
11、abc， ，【例 13】 已知方程 有两个大于 的实根，求 的取值范围21xk2k【例 14】 若关于 的二次方程 的两根 、 满足 ，求227130xpxp012实数 的取值范围p【例 15】 方程 有两实根，且两根都大于 ，证明 2130xa504a【例 16】 已知方程 的两实根为 、 ，方程 的两实根为 、24xb01x223xb（1）若 、 均为负整数，且 ，求 、 的值；a|ab（2）若 ， ，求证： 12x12x【例 17】 设 是实数，二次方程 的一个根属于区间 ，另一个根属于区间ab、 20ab1，求 的取值范围12， 【例 18】 已知 、 均为正整数，若关于 的方程 的两
12、个实数根都大于 且小于 ，mnx240mxn12求 、 的值【例 19】 实数 在什么范围内取值时，关于 的方程 的一个根大于 而小于 ，ax2()5ax0另一个根大于 而小于 ？46Page 6 of 7【例 20】 已知方程 有两个不同实根，求证：方程 至少有一20axbc2 02baxbckxa个根，在前一个方程的两根之间 （此处 ）0k【例 21】 试证：若实数 满足条件 ，这里 时正数，那么方程abc， ， 21abcmm有一个根介于 和 之间20axbc01【例 22】 阅读材料，解答问题例：用图象法解一元二次不等式： 230x解：设 ，则 是 的二次函数23yxy ，抛物线开口向
13、上10a又当 时， ，解得 0x12x，由此得抛物线 的大致图象如图所示2观察函数图象可知：当 或 时， 30y 的解集是 或 230xx（1）观察图象，直接写出一元二次不等式： 的解集是_；23x（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式： 1【例 23】 阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定0例如：考查代数式 的值与 的大小12x0当 时， ，1x、12x当 时， ，20当 时， ，0x、综上：当 时， ；当 或 时，120x120x（1）填写下表：（用“ ”或“ ”填入空格处）x134x2x134xx（2）由上表可知，当 满足 时， ；21340x
14、x（3）运用你发现的规律，直接写出当 满足 时， 789x【例 24】 如图所示，抛物线 与 轴的两个交点分别为 和 ，当20yaxbcx10A、2B、时， 的取值范围是 0yxPage 7 of 7-1 21O xyBA【例 25】 如下右图是抛物线 的一部分，其对称轴 为直线 ，若其与 轴一交点为2yaxbcxx，则 由图象可知，不等式 的解集是 30B、 20x31xyO B【例 26】 解不等式： 2xx【例 27】 对于满足 的所有实数 ，求使不等式 成立的 的取值范围04p p243xpx【例 28】 已知二次函数 2(1)yxm（1）求证：不论 为任何实数，这个函数的图象与 轴总有交点，x（2） 为何实数时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？m【例 29】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式 290x解： ，293x 30由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1） （2）x3x解不等式组（1） ，得 ，解不等式组（2） ，得 ，故 的解集为 或 ，30x3即一元二次不等式 的解集为 或 29x问题：求分式不等式 的解集513【例 30】 不等式 的解为 ，求 的最小值2xaxm
