1、2.3.2 抛物线的简单几何性质一、选择题1设抛物线的顶点在原点，其焦点 F 在 y 轴上，又抛物线上的点(k ，2)与 F 点的距离为 4，则 k 的值是( )A4 B4 或4C2 D2 或2答案 B解析 由题意，设抛物线的标准方程为：x 22py ，由题意得， 24，p4，x 28y.p2又点(k， 2)在抛物线上，k 216，k4.2抛物线 y x2(m0)，由题意，得56，p2，p2抛物线方程为 y24x .4直线 ykx2 交抛物线 y28x 于 A、B 两点，若 AB 中点的横坐标为 2，则 k( )A2 或2 B1C2 D3答案 C解析 由Error!得 k2x24(k2) x4
2、0，则 4，即 k2.4(k 2)k25(2010陕西文，9)已知抛物线 y22px( p0)的准线与圆( x3) 2y 216 相切，则 p的值为( )A. B112C2 D4答案 C解析 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系抛物线 y22px(p0)的准线方程是 x ，由题意知，3 4，p2.p2 p26等腰 RtAOB 内接于抛物线 y22px(p0)，O 为抛物线的顶点，OAOB，则AOB 的面积是 ( )A8p 2 B4p 2C2p 2 Dp 2答案 B解析 抛物线的对称轴为 x 轴，内接AOB 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性，知直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线
3、 OA 与 x 轴的夹角为 45.由方程组Error!，得Error! ，或Error!.A、B 两点的坐标分别为(2p,2p) 和(2p，2p)|AB| 4p.S AOB 4p2p4p 2.127抛物线 y22px 与直线 axy40 的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )A. B.323 255C. D.7510 172答案 B解析 由已知得抛物线方程为 y24x ，直线方程为 2xy40，抛物线 y24x 的焦点坐标是 F(1,0)，到直线 2xy40 的距离为 d .|2 0 4|22 1 2558过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，若 A、B
4、在抛物线准线上的射影是 A1、B 1，则 A 1FB1 等于 ( )A45 B60C90 D120答案 C解析 由抛物线的定义得，| AF|AA 1|，|BF| BB1|， 12，34，又1234A 1AFB 1BF360，且A 1AF B1BF180，1234180，2(24)180，即2490，故A 1FB90.9(2009全国，5)设双曲线 1(a0，b0)的渐近线与抛物线 yx 21 相切，x2a2 y2b2则该双曲线的离心率等于( )A. B23C. D.5 6答案 C解析 本题主要考查圆锥曲线的有关知识双曲线的渐近线方程为 y x.ba渐近线与 yx 21 相切，x 2 x10 有
5、两相等根，ba 40，b 24a 2，b2a2e .ca c2a2 a2 b2a2 510(2010辽宁理，7)设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PA l， A 为垂足如果直线 AF 的斜率为 ，那么| PF|( )3A4 B83C8 D163答案 B解析 如图，K AF ，3AFO60，|BF| 4，| AB|4 ，3即 P 点的纵坐标为 4 ，3(4 )28x，x6，|PA|8|PF| ，故选 B.3二、填空题11抛物线 y216x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是_答案 (2 ，4 )2解析 设抛物线 y216x 上的点 P(x，y)由题意，得(x4)
6、2x 2y 2x 216x，x2，y4 .212抛物线 y24x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 4 ，则焦点到 AB 的距离为3_答案 2解析 由题意，设 A 点坐标为 (x,2 )，则 x3，3又焦点 F(1,0)，焦点到 AB 的距离为 2.13已知 F 为抛物线 y22ax( a0)的焦点，点 P 是抛物线上任一点，O 为坐标原点，以下四个命题：(1)FOP 为正三角形(2)FOP 为等腰直角三角形(3)FOP 为直角三角形(4)FOP 为等腰三角形其中一定不正确的命题序号是_答案 解析 抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，错误若FOP 为等腰直角三角形，则
7、点 P 的横纵坐标相等，这显然不可能，故错误14(2009宁夏、海南)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 yx 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 P(2,2)为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为_答案 y 24x解析 设抛物线为 y2kx，与 yx 联立方程组，消去 y，得：x2kx 0，x 1x 2k22，故 y24x.三、解答题15已知抛物线 y24x 的内接三角形 OAB 的一个顶点 O 在原点，三边上的高都过焦点，求三角形 OAB 的外接圆的方程解析 OAB 的三个顶点都在抛物线上，且三条高都过焦点，ABx 轴，故 A、B 关于 x 轴对称，设 A ，则
8、B ，(y214，y1) (y214， y1)又 F(1,0)，由 OABF 得， 1，解得 y 20，y1y214 y1y214 1 21A(5,2 )，B(5，2 )，5 5因外接圆过原点，且圆心在 x 轴上，故可设方程为：x 2y 2Dx 0，把 A 点坐标代入得 D9，故所求圆的方程为 x2y 29x 0.16一抛物线拱桥跨度为 52m，拱顶离水面 6.5m，一竹排上载有一宽 4m，高 6m 的大木箱，问竹排能否安全通过？解析 如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 x22py ，则有 A(26，6.5)，B(2 ，y )，由 2622px( 6.5)，得 p52，抛物线方程为 x
9、2104y .当 x2 时，4104y ，y ，1266.5 6，能通过12617若抛物线 y22x 上两点 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)关于直线 yxb 对称，且y1y21，求实数 b 的值解析 因为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线上，所以 y 2x 1 y 2x 2 21 2并整理可得 k AB，y1 y2x1 x2 2y1 y2又因为 kAB 1，所以 y1y 22，所以 1，而 y1 y22 x1 x22 y21 y24 ，(y1 y2)2 2y1y24 ( 2)2 2( 1)4 32因为 在直线 yx b 上，(x1 x22 ，y1 y22 )所以1 b，即 b ，32 52所以 b 的值为 .5218设抛物线 y22px (p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴证明：直线 AC 经过原点 O.证明 如图，设直线方程为 yk ，(x p2)A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，C ，( p2，y2)由Error! 消去 x 得，y 2 p 20，2pyky 1y2p 2，k OA ，k OC ，y1x1 y2 p2 y1y2 p2y1 2py1又y 2px 1，k OC k OA，即 AC 经过原点 O.21y1x1当 k 不存在时，AB x 轴，同理可得 kOAk OC.
