1、2.4 第 2 课时 抛物线的简单几何性质一、选择题1过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y 1) 、B(x 2，y 2)两点，如果x1x 26，那么，|AB|等于( )A8 B10 C6 D4答案 A解析 由题意，|AB|x 11x 21( x1x 2)2628，选 A.2到点(1,0)与直线 x3 的距离相等的点的轨迹方程为( )Ax 24y4 By 2 4x4Cx 2 8y8 Dy 28x8答案 D解析 由已知得 | x3|，(x 1)2 y2变形为：y 28x 8，故选 D.3(2010湖南文，5)设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该
2、抛物线焦点的距离是( )A4 B6 C8 D12答案 B解析 本题考查抛物线的定义由抛物线的定义可知，点 P 到抛物线焦点的距离是 426.4已知 A、B 在抛物线 y22px (p0)上，O 为坐标原点，如果|OA| OB|，且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点 F，则直线 AB 的方程是( )Axp0 B4x 3p0C2x 5p0 D2x3p0答案 C解析 如图所示：F 为垂心，F 为焦点，OA OB ，OF 垂直平分 AB.AB 为垂直于 x 轴的直线设 A 为(2 pt2,2pt)(t0)，B 为(2pt 2，2pt) ，F 为垂心，OBAFk OBkAF1，即 1，解得 t2(2pt)
3、2(2pt2 f(p,2)2pt2 54AB 为 x2pt 2 p，选 C.525过抛物线 y24x 的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点 O 为坐标原点，则 的OA OB 值是( )A12 B12C3 D3答案 D解析 设 A( ，y 1)，B( ，y 2)，则 ( ，y 1)， ( ，y 2)，y214 y24 OA y214 OB y24则 ( ，y 1)( ，y 2) y 1y2，又AB 过焦点，则有 y1y2p 24，OA OB y214 y24 y21y216 y 1y2 43，故选 D.OA OB (y1y2)216 ( 4)2166(2010中山市高二期末)若点 P 到直线 x
4、1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1，则点 P 的轨迹为( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案 D7在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线 x2y3 距离相等的点的轨迹是( )A直线 B抛物线C圆 D双曲线答案 A解析 点(1,1)在直线 x2y3 上，轨迹为过点(1,1)且与 x2y3 垂直的直线8抛物线 yx 2 上的点，到直线 4x3y80 距离的最小值是( )A. B. 43 75C. D385答案 A解析 抛物线 yx 2 上到直线 4x3y80 的距离最小的点也就是抛物线 yx 2的与 4x3y80 平行的切线的切点设切线方程为 4x3y b0，联立与 yx 2 组成的方程组
5、，解得切点为( ， )23 49最小距离为 d .|423 3( f(4,9) 8|42 32 439过抛物线 y24x 的焦点，作一条直线与抛物线交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线( )A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在答案 B解析 由定义|AB|527，|AB| min4，这样的直线有两条10直线 l 经过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，且与抛物线交于 P、Q 两点，由 P、Q分别向准线引垂线 PR、QS，垂足分别为 R、S.如果|PF| a，| QF|b，M 为 RS 的中点，则|MF|的值为 ( )Aab B. (ab)12Cab D.
6、ab答案 D解析 根据抛物线的定义，有| PF|PR |，|QF| QS|.RFOFRPRFP，SFO FSQSFQ，RFSRFPSFQ.RFS 为直角三角形，故|MF|为直角三角形斜边上的中线在直角梯形 PRSQ 中，|RS| 2 .(a b)2 (a b)2 ab故|FM | |RS| .12 ab二、填空题11已知点 A(2,0)、B(4,0) ，动点 P 在抛物线 y24x 上运动，则 取得最小值时AP BP 的点 P 的坐标是_答案 (0,0)解析 设 P ，则 ， ， ( y24 ，y) AP ( y24 2，y) BP ( y24 4，y) AP BP ( y24 2)y 2 y
7、28 8，当且仅当 y0 时取等号，此时点 P 的坐标为(0,0)( y24 4) y416 5212已知点 A(4,0)，M 是抛物线 y26x 上的动点，当点 M 到 A 距离最小时，M 点坐标为_答案 (1 ， )6解析 设 M ，则|MA| 2 2y(y216，y1) (y216 4) 21 y y 16 (y 6) 21515，13641 1321 136 21当且仅当 y 6，即 y1 ，x 1 1 时，| MA|取最小值 ，此时 M(1， )21 6y216 15 613(2010全国文，15)已知抛物线 C：y 22px(p0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为的直线与 l
8、 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若 A M ，则 p_.3 M B 答案 2解析 本题考查了抛物线与直线的位置关系由斜率为 ，M60，3又 ，M 为中点AM MB BPBM，M 为焦点，即 1，p2.p214已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，且抛物线上一点(3，m )到焦点的距离为 5，则抛物线的方程为_答案 x 22y ，x 22y，x 218y ，x 218y分析 应分焦点在 y 轴正半轴，负半轴两种情况考虑，利用抛物线的定义，结合待定系数法求抛物线方程解析 解法一：若焦点在 y 轴的正半轴上，则可设方程为 x22py(p0)准线方程为 y ，所以 m 5. p2 ( p2
9、)又因为 92pm，所以 m ，所以 5.92p 92p p2得 p1 或 p9.所以抛物线方程为 x22y ，或 x218y.若焦点在 y 轴负半轴上，则方程为 x22py (p0)，准线方程为 y ，所以 m 5，所以 5，得 p 1 或 p9，p2 p2 p2 92p所以抛物线的方程为 x22y，或 x218y.解法二：设抛物线的方程为 x22ay(a0)，则 p|a |，准线方程为 y .a2依题意有Error!解此方程组可得四组解：Error! Error!Error! Error!所以所求抛物线方程为：x22y，x 2 2y，x 218y ， x218y.点评 注意焦点在 x 轴或
10、 y 轴上的抛物线方程可统一设成 y22ax(a0) 或x22ay( a0) 的形式，以简化运算此题没要求求 m 的值，故解方程组可只求 a 即可，这样，解法二就更加简捷三、解答题15已知点 A 在平行于 y 轴的直线 l 上，且 l 与 x 轴的交点为(4,0)动点 P 满足 平AP 行于 x 轴，且 ，求 P 点的轨迹OA OP 解析 设动点 P 的坐标为(x，y)，则由已知有 A 的坐标为(4，y)，所以 (4，y)，OA (x，y) OP 因为 ，所以 0，因此 4xy 20，OA OP OA OP 即 P 的轨迹方程为 4xy 20. 轨迹是抛物线16(2010湖北文，20)已知一条
11、曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有 0)(x 1)2 y2化简得 y24x(x 0)(2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)设 l 的方程为 xty m，由Error!得 y24ty4m0，此时 16(t2 m)0.于是Error! 又 (x 11，y 1)， (x 21，y 2)FA FB 0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，且| AB|
12、 p，求52AB 所在的直线方程解析 解法 1：焦点 F( ，0)，设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，若 ABOx ，则| AB|2p0)的准线为 x ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，设p2A、B 到准线的距离分别为 dA，d B，由抛物线的定义知，|AF|d Ax 1 ，| BF|d Bx 2 ，p2 p2于是|AB|x 1x 2p p；x 1x 2 p.52 32当 x1x 2 时，|AB|2p p，直线 AB 与 Ox 不垂直52设直线 AB 的方程为 yk (x )p2由Error! 得 k2x2p(k 22)x k2p20.14x1x 2 ，即 p，解得 k2.p(k2 2)k2 p(k2 2)k2 32直线 AB 的方程为 y2(x )或 y2(x )p2 p2www.学优高考网.com www.学优高考网.comwww.学优高考网.com高考试题库%
