1、2.4 第 1 课时 抛物线及其标准方程一、选择题1抛物线 y x2 的焦点关于直线 xy10 的对称点的坐标是( )14A(2，1) B(1，1)C( ， ) D( ， )14 14 116 116答案 A解析 y x2x 24y，焦点为(0,1)，其关于 xy1 0 的对称点为(2，1)142抛物线 x24ay 的准线方程为( )Axa Bx aCy a Dya答案 C3抛物线 x24y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为( )A2 B3 C4 D5答案 D解析 解法一：y 4， x24 y16，x4，A(4,4) ，焦点坐标为(0,1) ，所求距离为 5.42 (
2、4 1)2 25解法二：抛物线的准线为 y1，A 到准线的距离为 5，又A 到准线的距离与 A到焦点的距离相等距离为 5.4抛物线 y2x 上一点 P 到焦点的距离是 2，则 P 点坐标为( )A. B.(32， 62) (74， 72)C. D.(94， 32) (52， 102)答案 B解析 设 P(x0，y 0)，则|PF|x 0 x 0 2，p2 14x 0 ，y 0 .74 725抛物线 y24x 上一点 M 到焦点的距离为 3，则点 M 的横坐标 x( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 抛物线 y24x ，焦点 F(1,0)，准线 x1，M 到准线的距离为 3，x M(1)3，
3、x M2.6双曲线 1(mn0)离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，则x2m y2nmn 的值为( )A. B. C. D.316 38 163 83答案 A解析 由条件知Error! ，解得 Error! .mn ，故选 A.3167已知抛物线 C1：y 2x 2 与抛物线 C2 关于直线 yx 对称，则 C2 的准线方程是( )Ax Bx 18 12Cx Dx18 12答案 C解析 抛物线 C1：y2x 2 的准线方程为 y ，其关于直线 yx 对称的抛物线18C2：y 2 x 的准线方程为 x .故应选 C.12 188已知抛物线 y22px (p0)上有一点 M(4
4、，y)，它到焦点 F 的距离为 5，则OFM 的面积( O 为原点)为( )A1 B. C 2 D22 2答案 C解析 抛物线准线方程为 x ，由于 M(4，y)到焦点 F 的距离为 5，故有p2|4 | 5，由于 p0，故 p 2，| OF|1，抛物线方程为 y24x，则 M(4，4)，于是 Sp2OFM 2.9动点 P 到直线 x40 的距离减去它到点 M(2,0)的距离之差等于 2，则点 P 的轨迹是( )A直线 B椭圆C双曲线 D抛物线答案 D解析 根据所给条件，结合图形可知动点 P 到定直线 x2 及定点 M(2,0)的距离相等，故选 D.10如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D
5、1 中，P 是侧面 BB1C1C 内一动点， 若 P 到直线BC 与直线 C1D1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ( )A直线 B圆C双曲线 D抛物线答案 D解析 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等，又 ABCDA 1B1C1D1 是正方体，D 1C1侧面 BCC1B1.D 1C1PC 1，PC 1 为 P 到直线 D1C1 的距离，即 PC1 等于 P 到直线 BC 的距离，由圆锥曲线的定义知，动点 P 的轨迹所在的曲线是抛物线二、填空题11(2010安徽文，12)抛物线 y28x 的焦点坐标是_答案 (2,0) 解析 该题考查抛物线的基础知识要认清形式：本题形如
6、y22px(p0)，焦点坐标为( ，0) ，故为(2,0) p212沿直线 y2 发出的光线经抛物线 y2ax 反射后，与 x 轴相交于点 A(2,0)，则抛物线的准线方程为_答案 x2解析 由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y2 平行于抛物线的轴知 A(2,0)为焦点，故准线方程为 x2.13在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A(2,1)若线段 OA 的垂直平分线过抛物线y22px ( p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_ 答案 x54解析 OA 的垂直平分线 y2x 交 x 轴于 ，此为焦点，故准线方程为 x52 (54，0).5414已知 F 是抛
7、物线 y24x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点， P(3,1)是一个定点，则| MP|MF| 的最小值是_答案 4解析 过 P 作垂直于准线的直线，垂足为 N，交抛物线于 M，则|MP| MF|MP |MN| PN|4 为所求最小值三、解答题15已知椭圆 C1： 1 的左、右两个焦点为 F1、F 2，离心率为 ，又抛物线x2a2 y2b2 12C2：y 2 4mx(m0)与椭圆 C1 有公共焦点 F2(1,0)求椭圆和抛物线的方程解析 椭圆中 c1，e ，所以 a2，b ，椭圆方程为： 1，12 a2 c2 3 x24 y23抛物线中 1，p2所以 p2，抛物线方程为：y 24x.16若
8、抛物线 y22px (p0)上一点 M 到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6，求 M 点的横坐标及抛物线方程解析 点 M 到对称轴的距离为 6，设点 M 的坐标为(x, 6)，6 22px(1)点 M 到准线的距离为 10，x 10(2)p2由(1)(2)解得Error!或Error!故当点 M 的横坐标为 9 时，抛物线方程为 y24x，当点 M 的横坐标为 1 时，抛物线方程为 y236x.17求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线 y22mx 的焦点 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 A、B 两点，且|AB|6.(2)抛物线顶点在原点，对称轴是 x 轴，点 P(5,2 )到焦
9、点的距离是 6.5解析 (1)设抛物线的准线为 l，交 x 轴于 K 点，l 的方程为 x ，如图，作m2AA l 于 A ，BBl 于 B，则|AF| AA| FK| |m|，同理|BF| m|.又|AB|6，则 2|m|6.m3，故所求抛物线方程为 y26x.(2)设焦点 F(a,0)，|PF| 6，即 a210a90，解得 a1 或 a9.(a 5)2 20当焦点为F(1，0) 时， p2，抛物线开口方向向左，其方程为 y24x；当焦点为 F(9,0) 时，p18，抛物线开口方向向左，其方程为 y236x.18一辆卡车高 3 米，宽 1.6 米，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍，若拱口宽为 a 米，求使卡车通过的 a 的最小整数值解析 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则 B 点的坐标为(， )，如图所示，设隧道所在抛物线方程为 x2my，则( )2m ( )，a2 a4 a2 a4ma，即抛物线方程为 x2ay.将(0.8，y) 代入抛物线方程，得 0.82ay ，即 y .0.82a欲使卡车通过隧道，应有 y( )3，a4即 3，由于 a0，得上述不等式的解为 a12.21，a 应取 13.a4 0.82awww.学优高考网.com www.学优高考网.comwww.学优高考网.com高考试题库%
