1、3.3.1 函数的单调性与导数问题导学一、利用导数研究简单函数的单调性及求单调区间活动与探究 1(1)函数 yxcos xsin x 在下面哪个区间内是增函数( )A B(，2)(2，32)C D(2，3)(32，52)(2)求函数 f(x) x2ln x 的单调区间迁移与应用1证明函数 f(x) 在区间(0,2)上是单调递增函数ln xx2求函数 f(x) 的单调区间exx 2(1)求函数 f(x)单调区间的步骤是：先确定定义域，再求出 f(x)，最后通过解不等式 f(x)0和 f(x)0 求出单调区间正确运用求导公式对函数进行求导，准确熟练地解出不等式是求函数单调区间的基本功(2)当函数的
2、增减区间有多个时，区间之间不能用并集符号合并，也不能用“或”，应该用“，”隔开或用“和”(3)如果在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)是常数函数如果在某个区间内只有有限个点使f(x)0，其余点恒有 f(x)0，则 f(x)仍为增函数(减函数的情形与增函数的情形类似 )二、原函数和导函数图象之间的关系活动与探究 2函数 yf( x)在定义域 内可导，其图象如图所示，记 yf (x)的导函数为 yf (x)，则( 32，3)不等式 f(x)0 的解集是( )A 2,3) 13，1B 1，12 43，83C 1,2( 32，12D ( 32， 1 12，43 83，3迁移与应用已知导函数 f(
3、x)的下列信息：当1x3 时，f(x )0；当 x3 和 x1 时，f(x)0；当 x1 和 x3 时，f(x)0试画出函数 f(x)图象的大致形状注意图形语言、符号语言之间的转化及应用在某个区间内导函数值的正负影响着原函数的单调性，即在某个区间内 f(x)0(或 f(x)0)也就是 f(x)的图象在 x 轴的上方(或下方) ，则函数在该区间内是增函数(或减函数)三、求含参数的函数的单调区间活动与探究 3(1)已知 a，b 为常数，且 a0，函数 f(x)axbaxln x，f(e)2(e 2.718 28是自然对数的底数)求实数 b 的值；求函数 f(x)的单调区间(2)已知函数 f(x)2
4、x 3 tx23 t2x (t0)，求 f(x)的单调区间32 t 12迁移与应用已知函数 f(x) ax2ln x (aR)，求 f(x)的单调区间12讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准四、已知函数的单调性求参数的取值范围活动与探究 4已知函数 f(x)x 2 (x0，常数 aR)若函数 f(x)在 x2 ，)上是单调递增的，求实ax数 a 的取值范围迁移与应用1已知函数 f(x)x 3ax 在1，)上是单调减函数，则 a 的最大值为( )A1 B2 C3 D42若函数
5、f(x)x 3mx 22m 25 的单调减区间是(9,0)，则 m_(1)由函数的单调性求参数范围时的注意事项：函数的单调性是函数的重要性质，也是高中阶段研究的重点若函数 f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系如下：以增函数为例来说明：f(x )0 能推出 f(x)为增函数，但反之不一定即 f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件f(x)0 时，f(x )0 是 f(x)为增函数的充分必要条件f(x)为增函数，一定可以推出 f(x)0，但反之不一定，即 f(x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件(2)mf( x)恒成立 mf( x)max，mf(x)恒成立mf(x )min答案
6、：课前预习导学【预习导引】1f(x)0 f(x )0 f( x)0预习交流 1 提示：在某个区间内 f(x)0(f(x) 0)是函数 f(x)在此区间内为增(减) 函数的充分不必要条件如果出现个别点使 f(x)0，不会影响函数 f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性例如函数 f(x)x 3 在定义域(，)上是增函数，但由 f(x)3x 2 知，f (0)0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足 f(x)0从而可导函数 f(x)在(a，b) 上递增(递减) 的充要条件是 f(x) 0(f(x)0)在( a，b)上恒成立，且 f(x)在(a，b )的任意子区间内都不恒等于零2(1)定义域 (
7、2) f(x)0 (4)符号预习交流 2 提示：(，1)和(1，) ( 1,1)3(1)导数的绝对值较大 (2)大于 锐角 递增 小于 钝角 递减预习交流 3 提示：(0，) (，0)课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1 (1)思路分析：只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可B 解析：y cos xx sin xcos xx sin x，若 yf(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内 y恒大于零即可只有选项 B 符合题意，当 x(，2)时，y0 恒成立(2)思路分析：求函数的单调区间，即求定义域上满足 f(x)0 或 f(x)0 的区间解：函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x
8、1x 2x 1 2x 1xx0， x102令 f(x)0，得 x 22f(x)的单调递增区间为 (22， )由 f(x)0，得 x 22又x(0 ， )，f(x)的单调递减区间是 (0，22)迁移与应用 1证明：f (x) ，ln xxf(x) ln x x ln xxx2 1xx ln xx2 1 ln xx2又x(0,2)，ln xln 21 故 f(x) 01 ln xx2即函数在区间(0,2)上是单调递增函数2解：函数 f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x) exx 2 exx 22 exx 3x 22因为 x( ， 2)(2，)，所以 ex 0，(x2) 20由 f(x)0 得
9、x3，所以函数 f(x)的单调递增区间为(3 ，)；由 f(x)0 得 x3又函数 f(x)的定义域为(，2)(2，)，所以函数 f(x)的单调递减区间为( ，2)和(2,3)活动与探究 2 思路分析：当 f(x)0 时，f(x)递减，从而由图象找出递减区间即可A 解析：求 f(x)0 的解集，即求函数 f(x)在 上的单调减区间( 32，3)由图象可知 yf( x)的单调减区间为 ，2,3) 13，1迁移与应用 解：当1x3 时，f( x)0，可知 f(x)在此区间内单调递减；当 x3 和 x1 时，f(x)0，可知 f(x)在此区间内单调递增；当 x1 和 x3 时，f(x)0，这两点比较
10、特殊，我们称它们为“临界点”综上，函数 f(x)图象的大致形状如图所示活动与探究 3 (1)思路分析：准确求出函数的导函数，并对参数 a 的正负进行讨论，进而确定 f(x)0，f(x )0 的解集解：由 f(e)2 得 b2由可得 f(x)ax 2axln x从而 f(x)aln x，因为 a0，故：当 a0 时，由 f(x)0 得 x1，由 f(x)0 得 0 x1；当 a0 时，由 f(x)0 得 0x1，由 f(x)0 得 x1综上，当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(1 ，)，单调递减区间为(0,1)；当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,1) ，单调递减区间为(
11、1，) (2)思路分析：正确对函数 f(x)进行求导，求出 f(x)0 的根，对根的大小进行讨论，进而求出 f(x)0，f(x )0 的解集解：f(x) 6x 23tx3t 23(2xt)(xt) 令 f(x)0，得 xt 或 x t2t0，以下分两种情况进行讨论：若 t0，则 tt2由 f(x)0，得 x 或 xt；t2由 f(x)0，得 x tt2若 t0，则 tt2由 f(x)0，得 xt 或 x ；t2由 f(x)0，得 tx t2当 t0 时，f(x )的递增区间为 ，(t，)，递减区间为 ；( ，t2) (t2， t)当 t0 时，f(x)的递增区间为(，t)， ，递减区间为 (t
12、2， ) ( t，t2)迁移与应用 解：f(x )的定义域为(0 ，)，f(x)ax 1x ax2 1x当 a0 时，f(x)0 恒成立，则 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，由 f(x)0，得 x 1a 1a又x0，0x 1a由 f(x)0，得 x 或 x 1a 1a又x0，x 1a综上所述，当 a0 时，f(x )的递增区间为(0 ，)；当 a0 时，f(x )的递增区间为 ，递减区间为 (0， 1a) ( 1a， )活动与探究 4 思路分析：先求出 f(x)，则由题意知 f(x)0 在区间2 ，)上恒成立，从而转化为恒成立问题解：要使 f(x)在2，)上是增函数，则 f(x)0
13、 在 x2，)时恒成立，即 0，2x 3a0，2x3 ax2当 x2 ， )时，a2x 3 恒成立a(2x 3)minx2 ，)，y2x 3 是增函数，(2x 3)min16，a16当 a16 时，f(x) 0 且只有 f(2)0，2x3 16x2实数 a 的取值范围是 a16迁移与应用 1C 解析：由已知 f(x)3x 2a0 在1，)上恒成立，即 a3x 2 在x1， )上恒成立，a 3，a 的最大值为 32 解析：f(x)3x 22mx，令 f(x)3x 22mx0，272则(9,0)是 3x22mx 0 的解集，3(9) 22( 9)m0 ，m 272当堂检测1yxln x 在(0,5
14、)上是( )A单调增函数B单调减函数C在 上单调递减，在 上单调递增0,e1,5eD在 上单调递增，在 上单调递减1, ,答案：C 解析：y x ln x1ln x，令 y0 可得 ，e令 y0 可得 故选 Cx2函数 y x2ln x 的单调递减区间为 ( )1A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)答案：B 解析：对函数 求导，得 (x0) ，令21=ln yx21=yx解得 x(0,1因此函数 y x2ln x 的单调递减区间为(0,1故选 B210x，3设函数 f(x)在定义域内可导，y f(x)的图象如图所示，则导函数 yf(x)的图象可能为( )答案：D 解析：由已知 f(x)在
15、 (，0)上递增，在(0，)上，f(x) 先增后减再增f( x)在( ，0)上的函数值为正，f(x )在(0，)上的函数值先正后负再正，故 D 正确4已知 f(x)x2sin x 在(0，)上的单调递增区间为_ 答案： 解析：令 f(x)12cos x0，则 cos x 又x (0，)，x 3， 12，5若函数 f(x)x 3x 2mx1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是_答案： 解析：由 f(x) x3x 2mx1 在 R 上单调，又 f(x)3x 22xm ，则 f(x)m在 R 上只能单调递增412m0， 提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记
