1、二次函数一、选择题1(2010 年山东宁阳一模)在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于 x 轴作轴2xy对称变换，再将所得抛物线关于 y 轴作轴对称变换，经过两次变换后所得的新抛物线解析式为（ ）A B C D2xy2x2xy2xy答案：C2(2010 年江西省统一考试样卷)若抛物线 y=2x2向左平移 1 个单位，则所得抛物线是（ ）A y=2x21 B y=2x21 C y=2（ x1） 2 D y=2（ x1） 2答案：C3. （2010 年河南中考模拟题 1）某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高 与水平的距离，则该运动员的成绩是( )A. 6m B. 10m C. 8m D.
2、 12m答案：D 4 （2010 年河南中考模拟题 4）二次函数 （2yaxbc）的图象如图所示，则正确的是( )0aAa0 Bb0 Cc0 D以答案上都不正确 答案：A 5.（2010 年河南中考模拟题 3）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列条件正确的是（ ）Aac0 B.b 2 4ac0 C. b0 D. a0、b0、c0答案：D 6(2010 年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)抛物线 y ax2 bx c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如表所示y x O x= 1 学优中考网 y1 33Ox第 9 题P1第 11 题xyO 1给出下列说法：抛物线与
3、 y 轴的交点为(0，6)； 抛物线的对称轴是在 y 轴的右侧；抛物线一定经过点(3，0)； 在对称轴左侧， y 随 x 增大而减小从表中可知，下列说法正确的个数有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7.（2010 天水模拟）二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论a0b 2-4ac0中，正确的结论有（ ）0abA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个答案：C8.(2010 年厦门湖里模拟)抛物线 = 与坐标轴交点为 （ ） y32xA二个交点 B一个交点 C无交点 D三个交点答案：B9(2010 年厦门湖里模拟)如图，抛物线的对)0(2ac
4、bxy 称轴是直线 ，x且经过点 （3，0） ，则 的值为 PA. 0 B. 1 C. 1 D. 2 答案：A10 （2010 年杭州月考）已知二次函数 y ax2 bx c(a0 )的图象如图所示，给出以下结论： 当 时，函数有最大值。当 时，0abc1x13x或函数 y 的值都等于 0. 其中正确结论的个数是（ 024cba）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C11 （2010 年厦门湖里模拟)如图，二次函数 的图像与32xayx 3 2 1 0 1 y 6 0 4 6 6 cba轴有一个交点在和之间（不含和） ，则 的取值范围是（ ）x a 31a10a 03且答案：C12 （2010
5、 年西湖区月考）关于二次函数 y =ax2+bx+c 的图象有下列命题：当 c=0 时，函数的图象经过原点；当 c0 时且函数的图象开口向下时，ax 2+bx+c=0 必有两个不等实根；函数图象最高点的纵坐标是 ；当 b=0 时，函数的图象关于 y 轴对称.ab42其中正确的个数是（ ）A.1 个 B、2 个 C、3 个 D. 4 个答案：C13.（2010 山东新泰）二次函数 yx 2的图象向下平移 2 个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ）Ayx 22 By(x2) 2 Cyx 22 Dy(x2) 2答案：A14.（2010 年广州市中考六模）若二次函数 y2 x22 mx2 m22
6、的图象的顶点在 y 轴上，则 m 的值是（ ）A.0 B.1 C.2 D.答案：A15.(2010 三亚市月考).抛物线 y= x2 向左平移 8 个单位，再向下平移 9 个单位后，所得1抛物线的表达式是（ ）A. y= (x+8)2-9 B. y= (x-8)2+9 C. y= (x-8)2-9 D. y= (x+8)2+91 1答案 A16.(2010 三亚市月考). 下列关于二次函数的说法错误的是（ ）A.抛物线 y=-2x23x1 的对称轴是直线 x= ；34B.点 A(3,0)不在抛物线 y=x2 -2x-3 的图象上；C.二次函数 y=(x2） 22 的顶点坐标是（-2，-2） ；
7、D.函数 y=2x24x-3 的图象的最低点在（-1，-5）答案 B学优中考网 17.（2010 教育联合体）二次函数 yx 2的图象向下平移 2 个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ）Ayx 22 By(x2) 2 Cyx 22 Dy(x2) 2答案：A18.（2010 年湖里区二次适应性考试）二次函数 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，12与 y 轴交于点 C，下列说法错误的是（ ）A点 C 的坐标是（0，1） B线段 AB 的长为 2 CABC 是等腰直角三角形 D当 x0 时，y 随 x 增大而增大答案：D二、填空题1.（2010 年河南省南阳市中考模拟数学试题) 二次函数 的图
8、像如图所示，点23yx位于坐标原点， ， ， ， 在 y 轴的正半轴上， ， ， ，0A1A23209A1B23在二次函数 第一象限的图像上，若 , ， ，29B3yx12AA， 都为等边三角形，计算出 的边长为 .08290 20890答：20093(2010 年山东宁阳一模)根据 的图象，思考下面五个结论 ；cbxay2 oc； ； ； 正确的结论有_0abc0cb0304答案：4( 2010 年山东菏泽全真模拟 1)请写出一个开口向上，与 y 轴交点纵坐标为-1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式 . 答案：y=x 2+3x-1 等 5.（2010 年河南中考模拟题 3）将抛物线 y=3
9、x 2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 。答案：y=3x 2+1 6 （2010 年吉林中考模拟题）如图，平行于 y 轴的直线 l 被抛物线 y 、 y21x21x所截当直线 l 向右平移 3 个单位时，直线 l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为平方单位答案：67(2010 年江苏省泰州市济川实验初中模拟)已知二次函数 ， 当 x_21yx时，y 随 x 的增大而增大.答案：28 （2010 福建模拟）抛物线 的对称轴是直线 32xy答案： 1x9. （2010 年杭州月考）将二次函数 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单2位后，所得图象的函数表达式是 。答案： 2
10、1xy10 （2010 年杭州月考）若一边长为 40的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 (铁丝粗细忽略不计)答案： 32011.（2010 河南模拟）已知二次函数 （ 为常数）图像上的三点：A23yax，B ，C ，其中， = ， ，则1,yx2,3,x1231,2a的大小关系是 。 ,23,答案：y 1y 2y12 （江西南昌一模）二次函数 的最小值是 142xy学优中考网 答案：-313.（10 年广州市中考七模） 、抛物线 +3 与坐标轴的交点共有 个。xy52答案：314.(2010 三亚市月考)Y=-2(x-1) 2 5 的图象开口向
11、，顶点坐标为 ，当x1 时，y 值随着 x 值的增大而 。答案：下 ， （1，5） ，减小 ；15 （2010 重庆市綦江中学模拟 1）抛物线 y=（ x1） 2+3 的顶点坐标为 答案 (1，3) ；16.（2010 年 湖里区 二次适应性考试）抛物线 的顶点坐标是 . 342xy答案：(1，5) 三、解答题1.(2010 年山东宁阳一模)某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 ，且 时， ； 时， bkxy65y75x4（1）若该商场获利为 w 元，试写出利润 w 与销
12、售单价 x 之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？（2）若该商场获利不低于 500 元，试确定销售单价 x 的范围答案：（1）将 代入 中56yx47yxbkbk74120120xy W = )6(xW = 82W = 90)(又60 x60（1+45%） 即 60 x87 则 x=87 时获利最多将 x=87 代入，得 W=（87-90） 2+900=891 元（2） 5072182x0)(10701xx（舍去）则 ，但 107x876x870x答：（1） x 为 87 元有最大利润为 891 元；（2）范围为2.（2010 年河南中考模拟题 1）如图，已知，抛
13、物线 的顶点 P 在 x 轴上，与 y 轴交于点 Q，过坐标原点 O 作 ，垂足为 A，且 (1)求 b 的值；(2)求抛物线的解析式。答案：(1) (2)3.（2010 年河南中考模拟题 3）如图，在 中， ， , ABC9010BC的面积为 ，点 为 边上的任意一点( 不与 、 重合)，过点 作ABC25DDD ，交 于点 设 以 为折线将 翻折，所得的 与DEExEEEA梯形 重叠部分的面积记为 y.（1） 用x表示 ADE的面积;（2） 求出 时y与x的函数关系式；05（3） 求出 时y与x的函数关系式；1（4） 当 取何值时， 的值最大？最大值是多少？x学优中考网 答案：（1）如图，
14、设直线 BC 与O 相切于点 D，连接 OA、OD，则 OA=OD= MN12在 RtABC 中，BC= =52ABCMNBC，AMN=B，ANM=CAMNABC， ， ，MNAB45xMN= x, OD= x5458过点 M 作 MQBC 于 Q，则 MQ=OD= x，58在 RtBMQ 和 RtBCA 中，B 是公共角RtBMQRtBCA， ，BM= = x，AB=BM+MA= x +x=4,x=BMQCA58324254964当 x= 时，O 与直线 BC 相切，964（3）随着点 M 的运动，当点 P 落在 BC 上时，连接 AP，则点 O 为 AP 的中点。MNBC，AMN=B，AO
15、M=APCAMOABP， = ，AM=BM=2AOBP12故以下分两种情况讨论： 当 0x2 时，y=S PMN = x2.38当 x=2 时,y 最大 = 22=38 当 2x4 时，设 PM、PN 分别交 BC 于 E、F四边形 AMPN 是矩形，PNAM，PN=AM=x又MNBC，四边形 MBFN 是平行四边形FN=BM=4x，PF=x（4x）=2x4，CBA又PEFACB，（ ） 2=PFABPEFABCSS PEF = （x2） 2,y= SPMN S PEF = x （x2） 2= x2+6x63 3898当 2x4 时，y= x2+6x6= （x ） 2+29893当 x= 时，
16、满足 2x4，y 最大 =2。83综合上述，当 x= 时，y 值最大，y 最大 =2。4 （2010 年河南中考模拟题 4）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3） 平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M、 N，直线 m 运动的时间为t（秒） （1）点 A 的坐标是_，点 C 的坐标是_；（2）设 OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；（3）探求（2）中得到的函数 S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由答案：（） （，
17、） （，） ()当 0t4 时， OM=t由 OMN OAC，得 OCNAM， ON= t43， S= OMON= 283t （6 分）12当 4t8 时，如图， OD=t， AD= t-4 由 DAM AOC，可得 AM= )4(3t （7 分）而 OND 的高是 3S= OND 的面积- OMD 的面积= t3- t )4(t12= t38 （ 10 分） (3) 有最大值方法一：学优中考网 当 0t4 时， 抛物线 S= 283t的开口向上，在对称轴 t=0 的右边， S 随 t 的增大而增大， 当 t=4 时，S 可取到最大值 2483=6； （11 分）当 4t8 时， 抛物线 S=
18、 t32的开口向下，它的顶点是（4，6） ， S6 综上，当 t=4 时，S 有最大值 6 方法二： S=230488ttt， ， 当 0t8 时，画出 S 与 t 的函数关系图像，如图所示 显然，当 t=4 时，S 有最大值 65.（2010 年河南中考模拟题 5）二次函数 的图象的一部分如图所示已知2yaxbc它的顶点 M 在第二象限，且经过点 A(1，0)和点 B(0，l)(1)试求 ， 所满足的关系式；ab(2)设此二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 C，当 AMC 的面积为 ABC 面积的 倍时，求 a 的值；54(3)是否存在实数 a，使得 ABC 为直角三角形若存在，请求出
19、a 的值；若不存在，请说明理由答案：解：(1)将 A（1，0） ， B（0，l）代入 得2yaxbc，可得：cba1b（2）由(1)可知： ，顶点 M 的纵坐标为2xay， aa41422因为 ，由同底可知： ，ABCAMCS51452a整理得： ，得：0132a32由图象可知： ，因为抛物线过点（0,1） ，顶点 M 在第二象限，其对称轴 x=, 102a , 舍去,从而253a352a（3） 由图可知， A 为直角顶点不可能； 若 C 为直角顶点，此时与原点 O 重合，不合题意； 若设 B 为直角顶点，则可知 ，得：22BCA令 ，可得： ，0y012xaax1,21得： ,12CA22(
20、1)(1)aa解得： ，由1a0，不合题意所以不存在综上所述：不存在.6.（2010 年河南中考模拟题 6）如图，在平面直角坐标系 x0y 中，半径为 1 的圆的圆心 O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于 A、B、C、D 四点。抛物线 与 y 轴交2ybxca于点 D，与直线 y=x 交于点 M、N，且 MA、NC 分别与圆O 相切与点 A 和点 C。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，连接 DE，并延长DE 交圆 O 于 F，求 EF 的长；（3）过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P，判断学优中考网 点 P 是否在抛物线上，说明理由。答案：（1） ，
21、21yx（2） ，350（3）点 P 在抛物线上，设 yDC=kx+b,将（0，1） ， （1，0） ，带入得 k=-1,b=1，直线 CD 为 y=-x+1， 过点 B 作O 的切线 BP 与 x 轴平行，P 点的纵坐标为-1，把 y=-1 带入 y=-x+1 得 x=2，P（2，-1） ，将 x=2 带入 ，得 y=-1，21yx点 P 在抛物线 上。7.（2010 年吉林中考模拟题）如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上，点 A、 C 的坐标分别为（0，1） 、 （2，4） 点 P 从点 A 出发，沿 A B C 以每秒 1 个单位的速度运动，到点 C 停止
22、；点 Q 在 x 轴上，横坐标为点 P 的横、纵坐标之和抛物线经过 A、 C 两点过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，交抛物线于点 R设cbxy24点 P 的运动时间为 t（秒） ， PQR 的面积为 S（平方单位） （1）求抛物线对应的函数关系式（2）分别求 t=1 和 t=4 时，点 Q 的坐标（3）当 0 5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式，并直接写出 S 的最大值t【参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ， 】2yaxbc2ba24c答案：（1）由抛物线经过点 A(0，1)， C(2，4)，yx12345-1-21 2 3-1-2 O得 解得21,4.4cbc2,1.bc抛物线对应
23、的函数关系式为： 214yx（2）当 时， P 点坐标为(1，1)， Q 点坐标为(2，0) 1t当 时， P 点坐标为(2，3)， Q 点坐标为(5，0)4（3）当 2 时， 0t21(1)4StS 8当 5 时， 2t1(5)21)tS 3当 时， S 的最大值为 23t8(2010 年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)已知抛物线 的部分cbx2图象如图所示.(1)求 b、c 的值； (2)求 y 的最大值；(3)写出当 时， x 的取值范围 .0答案：(1)b=2,c=3 (2) 4 (3) x3 或 x1 9(2010 年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题) 如图 1，把一个边长为
24、2 的正方形 ABCD 放在平面直角坐标系中，点 A 在坐标原点，点 C 在 y 轴的正半轴上，经过 B、C、D三点的抛物线 c1交 x 轴于点 M、N(M 在 N 的左边).(1)求抛物线 c1的解析式及点 M、N 的坐标；(2)如图 2，另一个边长为 2 的正方形 的中心 G 在点 M 上， 、 在 x 轴/DB/的负半轴上( 在 的左边)，点 在第三象限，当点 G 沿着抛物线 c1从点 M 移到点/D/B/A学优中考网 yxBADCNG(M)D BCO(A)IyxBADCNMD BCGO(A)IyxNMD BCO(A)N，正方形随之移动，移动中 始终与 x 轴平行./DB直接写出点 、
25、移动路线形成的抛物线 、 的函数关系式；/A/ /)(cA/)(B如图 3，当正方形 第一次移动到与正方形 ABCD 有一边在同一直线上时，/求点 G 的坐标答案：(1)y= x2+4, M( ,0),N( ,0) 12(2)y A= x2+2 , yB= (x2) 2+4 G(1 ，3 ) 11110(2010 年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题) 某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资 A 种产品，所获利润 y (万元)与投资金额 x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：x(万元) 1 2 2.5 3 5y (万元) 0.4 0.8 1 1.2 2信息二：如果单独投资
26、B 种产品，则所获利润 y (万元)与投资金额 x(万元)之间存在二次函 数 关 系 ： y ax2+bx， 且 投 资 2 万 元 时 获 利 润 2.4 万 元 ， 当 投 资 4 万 元 时 ， 可 获 利 润 3.2万 元 (1)求出 y 与 x 的函数关系式(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示 y 与 x 之间的关系，并求出 y 与 x 的函数关系式(3)如果企业同时对 A、B 两种产品共投资 15 万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：(1)y B=0.2x 2+1.6x,（2）一次函数,y A=0.4x
27、,（3）设投资 B 产品 x 万元，投资 A 产品（15x）万元，投资两种产品共获利 W 万元， 则 W=（0.2x 2+1.6x）+0.4（15x）=0.2x 2+1.2x+6=0.2(x3) 2+7.8, 当 x=3 时,W 最大值 =7.8,答:该企业投资 A 产品 12 万元,投资 B 产品 3 万元,可获得最大利润 5.8 万元.11 （2010 年铁岭市加速度辅导学校）已知：抛物线 2(1)yxbc经过点(12)Pb，（1）求 c的值；（2）若 3，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若 b，过点 P作直线 Ay轴，交 轴于点 A，交抛物线于另一点 B，且BPA，求这条抛物线所对应的二次
28、函数关系式 （提示：请画示意图思考）解：（1）依题意得： 2(1)(2bcb，2bc（2）当 3时， 5c， 2(1)6yxx抛物线的顶点坐标是 ， （3）当 b时，抛物线对称轴 12bx，对称轴在点 P的左侧因为抛物线是轴对称图形， ()， 且 BPA(32)Bb，15又 2bc， 7抛物线所对应的二次函数关系式 247yx解法 2：（3）当 3b时， 1b，对称轴在点 P的左侧因为抛物线是轴对称图形，(1)，且 2(32)BA， ，yxOB P A学优中考网 2(3)2bcb又 c，解得： 57，这条抛物线对应的二次函数关系式是 247yx解法 3：（3） 2bc， b，2(1)yx分BP
29、轴， 2x即： 2()0xb解得： 12()， ，即 (2)Bxb由 BPA， 157bc，这条抛物线对应的二次函数关系式 247yx12.（2010 天水模拟）已知:抛物线 y=-x2+4x-3 与 x 轴相交于 A、B，两点（A 点在 B 点的左侧） ，顶点为这。（1）求 A、B、P 三点坐标；（2）在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当 x 取何值时，函数值y 大于零；（3）确定此抛物线与直线 y=-2x+6 公共点的个数，并说明理由。解：（1）-x 2+4x-3=0 x2-4x+3=0 (x-1)(x-3)=0 x1=1,x2=3H= = =2 k= =ab4abc2
30、46A(1,0) B(3,0) P(2,1)(2)略（3） xy3462将代入中 -x 2+4x-3=-2x+6-x2+6x-9=0=36-4(-1)（-9）=36-36=0只有一个13.（2010 天水模拟）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0） ，且与 y 轴相交于负半轴。第（1）问：给出四个结论：a0；b0；c0；a+b+c=0；.其中正确结论的序号（答对得 3 分，少选、错选均不得分）第（2）问：给出四个结论：abc0a+c=1a1.其中正确结论的序号（答对得5 分，少选、错选均不得分）答案：a0; b0;2a+b0 2a-b 1 ab
31、2+得 2a+2c=2 a+c=1 a=1-ccba2014.（2010 福建模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 A，与3xyy 轴交于点 C. 抛物线 经过 A、C 两点，且与 x 轴cbxy2交于另一点 B(点 B 在点 A 右侧).（1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（2）若点 M 是线段 BC 上一动点，过点 M 的直线 EF 平行 y轴交 轴于点 F，交抛物线于点 E.求 ME 长的最大值； x（3）试探究当 ME 取最大值时，在抛物线 x 轴下方是否存在点 P，使以 M、F、B、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由.
32、解：(1) 当 y0 时， A(1, 0) 03- x1当 x0 时， C(0,3) y 抛物线的解析式是： 当 y0 时， 解得： x 11 x 23 B(3, 0) 032x13cb23bc学优中考网 （2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,3) 直线 BC 的解析式是： 3xy设 M（x,x-3）(0x3),则 E（x,x 2-2x-3）ME=(x-3)-( x 2-2x-3)=- x2+3x = 49)3-(当 时，ME 的最大值 3（3）答：不存在. 由（2）知 ME 取最大值时 ME ，E ，M49)415,23( )23 ,(MF ，BF=OB-OF= . 23设在抛物线
33、x 轴下方存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形，则 BPMF，BFPM. P 1 或 P 2 ),(0 )3,(当 P1 时，由（1）知 )23,(0P 1不在抛物线上. 当 P2 时，由（1）知 ),(P 1不在抛物线上. 综上所述：抛物线 x 轴下方不存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形.8(2010 年厦门湖里模拟)一次函数 y x3 的图象与 x 轴， y 轴分别交于点 A， B一个二次函数 y x2 bx c 的图象经过点 A， B（1）求点 A， B 的坐标，并画出一次函数 y x3 的图象；（2）求二次函数的解析式及它的最小值答案：
34、解：（1）令 0y，得 3x， 点 的坐标是 (0)，令 x，得 ， 点 B的坐标是 3，图象如右所示。（2） 二次函数 2ybxc的图象经过点 A， ，093bc，解得： 3 二次函数 2yx的解析式是 23yx，xy23022112Oxy1 2 3 4AB223(1)4yxx，函数 的最小值为 9.（2010 河南模拟）如图，曲线 C 是函数 在第一现象内的图像，抛物线是函数6yx的图像，点 （n=1,2）在曲线上，且 x,y 都是整数。24yx,nxp（1）求出所有的点 ；,ny（2）在 Pn中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；（3）从（2）中所有的直线中任取一直线，求所有直线与抛物
35、线有公共的的概率。答案：（1）x,y 都是整数且 ，6yxx=1，2，3，6，P 1（1，6） ， （2，3） ， （3，2） ， （6，1） ；（2）以 P1 ,P2， ， P3， P4中任取两点的直线有共六条；1234,pp（3）只有直线 与抛物线有公共点，234P= 。16310.（2010 广东省中考拟）如图 10，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点， )0(2acbxyA 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，OBOC ，tanACO 31（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴
36、交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度（4）如图 11，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，学优中考网 当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积.答案：（1）方法一：由已知得：C（0，3） ，A（1，0） 将 A、B、C 三点的坐标代入得 39cba解得： 321cba所以这个二次函
37、数的表达式为： 32xy方法二：由已知得：C（0，3） ，A（1，0） 设该表达式为： )(xay将 C 点的坐标代入得： 所以这个二次函数的表达式为： 32xy（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，3） 理由：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为： 3xyE 点的坐标为（3，0） 由 A、C、E、F 四点的坐标得：AECF2，AECF以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F，坐标为（2，3） 方法二：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为： 3xy_y_x_O_E_D_C_B_A图 10 _G_A _
38、B_C_D_O _x_y图 11E 点的坐标为（3，0） 以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形F 点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点 F，坐标为（2，3） （3）如图，当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为 R（R0） ，则 N（R+1，R） ，代入抛物线的表达式，解得 217R当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为 r（r0） ，则 N（r+1，r） ，代入抛物线的表达式，解得 217r圆的半径为 或 217（4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易得 G（2，3） ，直线 AG 为 1xy设
39、P（ x， ） ，则 Q（ x， x1） ，PQ 2x3)2(SSGPAQG当 时，APG 的面积最大21x此时 P 点的坐标为 ， 415, 87的 最 大 值 为APGS11 （济宁师专附中一模）已知抛物线 2yaxbc 经过（-1，0） ， （0，-3） ， （2，-3）三点求这条抛物线的表达式；用配方法求这条抛物线的对称轴和顶点坐标答案：解：由已知，得3042cab， ，解得 a=1， b=-2， c=-3RRrr11NNMMA BDO xy学优中考网 所以 y=x2-2x-3(2)对称轴 x=1，顶点(1，-4) 配方略12 （江西南昌一模）在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 纸片
40、如图放置， A（0，2） ， D(-1,0)，抛物线 经过点 C2ya（1）求点 B、 C 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）以直线 AD 为对称轴，将正方形 ABCD 纸片折叠，得到正方形 ADEF， 求出点 E 和点F 坐标，并判断点 E 和点 F 是否在抛物线上，并说明理由答案：提示：（1）过B作 轴于T，过C作 轴于P,可证得 .yBxPAODBT则 .1,2ODAT .3O B(-2,3).同理, ),(C(2)抛物线 经过点 C(-3,1)，则得到2yax，解得 ，1931所以抛物线解析式为 ；2yx(1)作 轴于 Q,作 轴于 P.EF通过 ,得AOD.1,2ODAQE E(
41、2,1).同理 F(1,-1)1当 时, F(1,-1)在抛物线上.x.y P T当 时, E(2,1)在抛物线上.2x.1y13.（2010 山东新泰）如图，直线 与 x 轴，y 轴分别交于 B，C 两点，抛物线3y经过点 B 和点 C，点 A 是抛物线与 x 轴的另一个交点.cbxy2（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点 Q 在抛物线的对称轴上，能使Q AC 的周长最小，请求出 Q 点的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，且 ，若存在，求 P 点的坐标，若不31： PABCS存在，请说明理由.答案：（1） ，顶点（1，4） ；32xy（2）Q（1，2） ；（3）设 P( ).当 0 时，P（ ）;当 0 3 时，P（ ）;,a5.41，a493，当 3 时，P 点不存在. 由得点 P 的坐标为（ ）或（ ）5.41，14.（2010 浙江杭州）二次函数 的图象的一部分如图所示已知它的顶点 M2yaxbc在第二象限，且经过点 A(1，0)和点 B(0，l)(1)试求 ， 所满足的关系式；ab(2)设此二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 C，当 AMC 的面积为 A
