1、北京市人大附中 2012 届高三数学尖子生专题训练：导数及其应用I 卷一、选择题1曲线 y x33 x2在点(1,2)处的切线方程为( )A y3 x1 B y3 x5C y3 x5 D y2 x【答案】A2函数 f(x) x3 ax23 x9，已知 f(x)在 x3 时取得极值，则 a ( )A2 B3 C4 D5【答案】D3 曲线 y=x+ln x 在点（ 2e, +2)处的切线在 y 轴上的截距为（ ）A1 B-1 C 2eD- 2e【答案】A4曲线 xy43在点 (1,3)处的切线倾斜角为( )A B 2C 4D 6答案：A 5若 )(0xf，则 kxffk)(lim00等于（ ）A1
2、 B2 C1 D 21【答案】A6 已知 ()(3),ff=-则 3()lixfx-的值为 ( ） A 4 B 0 C 8 D 不存在【答案】C7 设曲线 1xy在点（3，2）处的切线与直线 10axy垂直，则 a ( ）A2 B C 2D 2【答案】B8若函数 f(x)2 x2ln x 在其定义域内的一个子区间( k1， k1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A1，) B 1，32)C1,2) D 32， 2)【答案】B9设函数 ，其中 ，则导数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D10设函数 axfm)(的导函数是 12)(xf，则数列 )(nf)*N的前 n项和为（
3、）A 21nB 1nC nD 1【答案】B11已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y x381 x234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )13A13 万件 B11 万件C9 万件 D7 万件【答案】C12已知 (),fxg在 m,n上可导，且 ()fxg，则当 mxn时，有 ( ）A B ()fC ()()fxxfD ()xgxf【答案】C13 若 ()sincof,则 ()f等于（ ）A B cosC sincoD 2i【答案】A14设函数 f(x)( x1) 2(x2)，则 等于( )limx 1f (x)x 1A6 B2C0 D6
4、【答案】DII 卷二、填空题15 函数 f(x) 在 x2 处的导数为_ex1 x ex1 x【答案】016 若函数 y f(x)在 R 上可导且满足的不等式 xf( x) f(x)恒成立，且常数 a， b 满足a b，则下列不等式不一定成立的是_(填序号) af(b) bf(a)； af(a) bf(b)； af(b) bf(a)【答案】17设 101,exmdnx，则 m 与 n 的大小关系为 。【答案】18某名牌电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有如下关系： y x3 x240 x(x0)，为使13 392耗电量最小，则速度应定为_【答案】4019 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为
5、20cm，要使体积为最大，则其高应为_.【答案】 32020已知函数 3221()(1)1fxaxa，若 ()0fx在（0，2 上有解，则实数a的取值范围为 。【答案】 72三、解答题21已知函数 2()()fxalnxR(1）当 4a时，求 的最小值 ;(2）若函数 ()fx在区间 (0,1)上为单调函数,求实数 a的取值范围 ;(3）当 1t时,不等式 2()3ftft恒成立,求实数 的取值范围【答案】 （1） 当 4a时, 24lnxx 2()1)xf当 x时 函数 ()f取最小值 3(2） 2()0)xf设 2g(x=a 依题意 0(1g或 得 4a或 (3） 当 1t时 (2)3ft
6、ft恒成立 当 时 24ln0t 恒成立设 21()gtta 则 12(21)()()tt tat()tt(1）当 2a时， 1()0gt则 ()t在 1,单调递增1()tgt时(2）当 时，设 ()2)htta()20ha有两个根，一个根大于 1，一个根小于 1不妨设 1t 当 2,时 ()ht 即 ()0gt ()t在 2,单调递减 ()0gt不满足已知条件综上: a的取值范围为 2a22已知曲线 y = x3 + x2 在点 P0 处的切线 1l 平行直线 4x y1=0，且点 P0 在第三象限,求 P0的坐标; 若直线 1l , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.【答案】由
7、 y=x3+x2，得 y=3 x2+1，由已知得 3x2+1=4，解之得 x=1.当 x=1 时， y=0;当 x=1 时， y=4.又点 P0在第三象限,切点 P0的坐标为 (1,4).直线 1l, 的斜率为 4, 直线 l 的斜率为 4, l 过切点 P0,点 P0的坐标为 (1,4)直线 l 的方程为 14()yx即 170y.23已知函数 f(x) ax33 x21 (aR 且 a0)，试求函数 f(x)的极大值与极小值3a【答案】由题设知 a0， f( x)3 ax26 x3 ax(x )2a令 f( x)0，解之得 x0 或 x 2a当 a0 时，随 x 的变化， f( x)与 f
8、(x)的变化情况如下： f(x)极大值 f(0)1 ，3af(x)极小值 f( ) 1.2a 4a2 3a当 a0 时，随 x 的变化， f( x)与 f(x)的变化情况如下： f(x)极大值 f(0)1 ，3af(x)极小值 f( ) 1.2a 4a2 3a综上，当 aR，且 a0 时， f(x)极大值 f(0)1 ，3af(x)极小值 f( ) 1.2a 4a2 3a24已知函数 lnxR. (）当 0时，求函数 ()f的最小值；(）若函数 ()yfx的图像在点 (2,)f处的切线的倾斜角为 45，对于任意 1,2t，函数 32/mgx在区间 ,3t上总不是单调函数，求 m的取值范围；(）
9、求证： 2,1ln4lnl nN .【答案】 （）当 1x时，函数 ()fx的最小值 a(） /(2),2af由 32/2ln()(), ()3(4)2xxmggxmx令 /0x得， 240故 /()g两个根一正一负，即有且只有一个正根函数 32/()mxfx在区间 (,3)t上总不是单调函数/()0在 (,)t上有且只有实数根 / /02,()0,(3)ggt27 43mt故 4t，而 yt在 12单调减9，综合得 9m(）令 1,a此时 ln3fxx(1)2f25已知函数 f (x) 13x3 ax2 bx， a , bR() 曲线 C： y f (x) 经过点 P (1，2)，且曲线 C
10、 在点 P 处的切线平行于直线 y2 x1，求a， b 的值；() 已知 f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0 a b2【答案】() )(f 2ab，由题设知：1()2,3fab解得2,37.ab()因为 ()fx在区间 (1,)内存在两个极值点 ，所以 0，即 20axb在 (1,2)内有两个不等的实根故 2(1),()4,3()0.(4)fab由 (1)+(3)得 .由（4）得 2，因 21a，故 21()4a，从而 2ab.所以 0b 26函数 R,)ln()(2bxxf(I）当 3时，求函数 f的极值；(II）设 xfxg2)(，若 ，求证：对任意 ),1(,21x
11、，且 21x，都有)(121.【答案】 （1）当3b时，,2)1ln(3)(2xxf函数定义域为（ ,）且),()()( f令02)1(32x，解得 21x或当 变化时， (,f的变化情况如下表：x)2,1)21,(),21()(f+ 0 - 0 +)(xf增函数 极大值 减函数 极小值 增函数所以当 21时，2ln345)1()(fxf极 大 值，当x时，l)2()(ff极 小 值； (2）因为 xbxf1ln2，所以 )1()( 2xf，因为 2b，所以 0)(xf（当且仅当 0,xb时等号成立） ，所以 )(xf在区间),1(上是增函数，从而对任意 ),1(,21，当 21时， 21，即
12、 21)(xgxg，所以 )(12.27已知定义在正实数集上的函数 221(),()3lnfxaxgxb，其中 0a。设两曲线 (),yfxg有公共点，且在公共点处的切线相同。(1）若 1a，求 b的值；(2）用 表示 ，并求 的最大值。【答案】 （1）设 ()yfx与 ()0x在公共点 0(,)xy处的切线相同3()2,fxg由题意知 000(),()fxfgx，200013lnxxb由 0032x得， 1x，或 03（舍去）即有 5b(2）设 ()yfx与 ()0gx在公共点 0(,)xy处的切线相同23()2,()afxgx由题意知 000(),()fxfxg，2200013lnxaxb
13、由2003ax得， 0x，或 03a（舍去）即有 22215lnlnb令 5()3()htt，则 ()13)htt，于是当 21ln0tt，即13te时， 0t；当 (3)，即 时， ()h故 ht在 0,的最大值为123e，故 b的最大值为23e28 已知曲线 y = x3 + x2 在点 P0 处的切线 1l 平行直线 4x y1=0，且点 P0 在第三象限,求 P0的坐标; 若直线 1l , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.答案：由 y=x3+x2，得 y=3 x2+1，由已知得 3x2+1=4，解之得 x=1.当 x=1 时， y=0;当x=1 时， y=4.又点 P0在第三象限,切点 P0的坐标为 (1,4).直线 1l, 的斜率为 4, 直线 l 的斜率为 4, l 过切点 P0,点 P0的坐标为 (1,4)直线 l 的方程为 14()x即 17y.
