1、北京航空航天大学附中 2012届高三数学二轮复习专题训练：导数及其应用I 卷一、选择题1函数 23xy在点（1,2）处的切线方程为（ ）A 1B 53xyC 53xyD xy2【答案】A2函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f( x)的图象如图所示，则函数 f(x)( )A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、两个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点【答案】C3若 a2，则函数 f(x) x3 ax21 在区间(0,2)上恰好有( )13A0 个零点 B1 个零点C2 个零点 D3 个零点【答案】B4放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含
2、量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯 137的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时间 t(单位：年)满足函数关系： M(t) M02 ，其中 M0为 t0 时铯 137的含量已知 t30 时，铯t30137含量的变化率是10ln2(太贝克年)，则 M(60)( )A5 太贝克 B75ln2 太贝克C150ln2 太贝克 D150 太贝克【答案】D5设 )(xf是一个三次函数， )(xf其导函数，如图所示是函数y的图像的一部分，则 的极大值与极小值分别为（ ）A )1(f与 B )1(f与 fC 2与 )(f D 2与【答案】C6 如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f( x
3、)的图象,则下面判断正确的是 ( ）xyO12345-3 23-A在区间(2,1)内 f(x)是增函数 B在(1,3)内 f(x)是减函数C在(4,5)内 f(x)是增函数 D在 x=2时, f(x)取到极小值【答案】C7若函数2()1af在 x=2处取得极值，则 a= ( ）A5B6C7 D8【答案】D8 式子20xd的值是 ( ）A 3B3 C 83D8 【答案】C9函数 2,sin2xy的大致图象是 ( ）【答案】D解析：因为 yx2sin是奇函数，可排除 A、B，由 y12cosx0得 3时函数取得极值，故选 D.10曲线 y= 32有一条切线与直线 3 x+y=0平行，则此切线方程为
4、 ( ）A x-3y+l=0 B 3x+y-5=0C 3x - y -l = 0 D 3x+ y -l= O【答案】D11已知 )1(3)(2fxf则 2f为 ( )A1 B2 C4 D8 【答案】A12 一个物体的运动方程为 2st其中 s的单位是米， t的单位是秒，那么物体在 3秒末的瞬时速度是（ ）A 5米秒 B 6米秒 C 7米秒 D 米秒【答案】AII卷二、填空题13函数 f(x)2 mcos2 1 的导函数的最大值等于 1，则实数 m的值为_x【答案】114由曲线 y， 围成的封闭图形面积为_.【答案】 315若函数 f(x) 在 x1 处取极值，则 a_.x2 ax 1【答案】3
5、16设曲线 2y在点 ),(处的切线与直线 062yx平行，则 a .【答案】1三、解答题17已知函数 32()461,fxtxtxRt， 其 中 ，(1）当 t1 时，求曲线 ()0()yff在 点 处的切线方程；(2）当 t0 时，求的单调区间；(3）证明：对任意的 (0,)(tfx在区间（0，1）内均存在零点。【答案】 （1）当 t1 时，32 2()46,6,(0)6,fxxfff ()().y yx所 以 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为(2） 22(,02tftfx 令 ， 解 得 或因为 t0，以下分两种情况讨论：若 0,()tt f则 当 变 化 时 ， 的变化情况如
6、下表：x (,2t(,)2t（t，）()f x所以， ()f的单调递增区间是 (,)2t， （t，） ； ()fx的单调递减区间是 (,)2t。若 0,x(2tt fx则 当 变 化 时 ， 的变化情况如下表：所以， ()fx的单调递增区间是（，t） ， (,)2t； (fx的单调递减区间是 (,)2t。综上可得：当 t0时, ()fx的单调递增区间是（，t） ， (,)2t； (fx的单调递减区间是(,)t。(3）由（2）可知，当 t0 时， ()fx在 0,2t内的单调递减，在 (,)2t内单调递增，以下分两种情况讨论：当 1()tf即 时 ， 在（0，1）内单调递减，2(0),64364
7、30.f t所以对任意 tfx在区间（0，1）内均存在零点。当 12t即 时， ()在 ,t内的单调递减，在 (,1)2t内单调递增，3323377(0,)0,44)662(,1).77,(1)0,()10,244()0,tfttftxtfttfttx若所 以 在 内 存 在 零 点若所 以 在 内 存 在 零 点 .18 如图，长方形物体 E在雨中沿面 P（面积为 S）的垂直方向作匀速移动，速度为 (0)v，雨速沿 E移动方向的分速度为 ()cR.E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或 P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 vcS成正比，比例系数为10；（2）其它面的淋
8、雨量之和，其值为 2，记 y为 E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 d=100，面积 S=32时.(1）写出 y的表达式(2）设 0v10,0c5，试根据 c的不同取值范围，确定移动速度 v，使总淋雨量 y最少.【答案】 （1）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31|20vc，故10315(|)(3|10)2yvcvc.(2）由(1)知，当 时，5(310)()cyv；当 10cv时，510(3)yvcv.故(3),51,0ycvv.当03时， y是关于 的减函数.故当 10v时，min320cy.当15c时，在 (,c上， y是关于 的减函数；在 (,c上， 是关于 v的增函数；故当
9、 v时，min0y.19设函数 f(x) x3 x26 x a.92(1)对于任意实数 x， f( x) m恒成立，求 m的最大值；(2)若方程 f(x)0 有且仅有一个实根，求 a的取值范围【答案】(1) f( x)3 x29 x63( x1)( x2)，因为 x(，)， f( x) m，即 3x29 x(6 m)0 恒成立，所以 8112(6 m)0，得 m ，34即 m的最大值为 34(2)因为当 x1 时， f( x)0；当 1 x2 时， f( x)0；当 x2 时， f( x)0.所以当 x1 时， f( x)取极大值 f(1) a，52当 x2 时， f(x)取极小值 f(2)2
10、 a，故当 f(2)0 或 f(1)0 时，方程 f(x)0 仅有一个实根解得 a2 或 a 5220已知函数 163)(2.当 时，函数 )(xf取得极值.(I）求实数 a的值；(II）若 1x时，方程 0)(mxf有两个根，求实数 m的取值范围.【答案】 （I）由 1631)(2xaxf ，则 62)(axxf因在 时， )(f取到极值所以 0)2(f 04解得, 25a (II）由（I）得 3215()61fxx且 3x则 )65)(2xf由 0，解得 或 3x；)(xf，解得 或 2；，解得 x)(xf的递增区间为 : ),(和 ),3(； (xf递减区间为: )3,2(又 27126
11、71fff要 0)(mxf有两个根,则 mx)(有两解，由图知 2731m21已知函数 f(x) x3 ax23 x.(1)若 f(x)在区间 1，)上是增函数，求实数 a的取值范围；(2)若 x 是 f(x)的极值点，求 f(x)在 1， a上的最大值；13(3)在(2)的条件下，是否存在实数 b，使得函数 g(x) bx的图象与函数 f(x)的图象恰有 3个交点？若存在，请求出实数 b的取值范围；若不存在，试说明理由【答案】 (1) f( x)3 x22 ax3. f(x)在 1，)是增函数， f( x)在 1，)上恒有 f( x)0，即3x22 ax30 在 1，)上恒成立，则必有 1
12、且 f(1)2 a0. a0. a3(2)依题意， f( )0，13即 a30.13 23 a4， f(x) x34 x23 x.令 f( x)3 x28 x30，得 x1 ， x23.13则当 x变化时， f( x)与 f(x)变化情况如下表x 1 (1,3) 3 (3,4) 4f( x) 0 f(x) 6 18 12 f(x)在 1,4上的最大值是 f(1)6. (3)函数 g(x) bx的图象与函数 f(x)的图象恰有 3个交点，即方程 x34 x23 x bx恰有 3个不等实根 x34 x23 x bx0， x0 是其中一个根，方程 x24 x3 b0 有两个非零不等实根Error! b7 且 b3.存在满足条件的 b值， b的取值范围是 b7 且 b3. 22已知函数 fx247， 0,1x.(1）求函数 f的单调区间和值域.(2）设 1a，函数 gx23ax， 0,1，若对于任意 10,x 总存在0,x使 01f成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） 24670xf72x且 20,x f的增区间 1,2 减区间 1,.72f, 3f, 4f fx的值域 4,3(2） gxa 1 0g ,1在 0,1上是减函数 . 值域为 23,a由题意使 fx需 4,
