1、北京航空航天大学附中 2012届高三数学二轮复习专题训练：圆与方程I 卷一、选择题1已知圆 C： 4)2()(2yax及直线 l： 03yx，当直线 l被 C截得的弦长为32时，则 等于（ ）A B 3C 12D 12【答案】C2若直线 l1： y2 x3，直线 l2与 l1关于直线 y x对称，则直线 l2的斜率为( )A B12 12C2 D2【答案】A3过点(1,3)作直线 l，使 l过点( a,0)与(0， b)， a， bN*，则可作出的直线 l的条数为( )A1 条 B2 条C3 条 D多于 3条【答案】B4把直线 x2 y 0 向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位后，所得直线
2、正好与圆x2 y22 x4 y0 相切，则实数 的值为( )A3 或 13 B3 或 13C3 或13 D3 或13【答案】A5圆 x2 y250 与圆 x2 y212 x6 y400 的公共弦长为( )A B 5 6C2 D25 6【答案】C6若直线 3x y a0 过圆 x2 y22 x4 y0 的圆心，则 a的值为( )A1 B1 C3 D3【答案】B7若直线 b与曲线 cos,iny（ ,2)）有两个不同的公共点，则实数 b的取值范围为（ ）A (2,1)B , C (2,)D (2)【答案】D8圆 x2 y22 的圆心到直线 3x4 y10 的距离为( )A B55 5C D515【
3、答案】C9设两圆 C1、 C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离| C1C2|( )A4 B4 2C8 D8 2【答案】C10若直线 yxb与曲线 234yx有公共点，则 b的取值范围是（ ）A 12， B 1，3 C-1， 12D，3【答案】D11 若直线 02myx按向量 )2,1(a平移后与 042:2yx相切，则实数 m的值等于 ( )A 3或 13 B 3或-13 C -3或 7 D -3或-13【答案】D12点 2,1P为圆 25xy内弦 AB的中点，则直线 AB的方程为（ ）A 0xyB 30C 30xyD 250xy【答案】CII卷二、填空题13已知圆 C经过
4、 A(5,1)， B(1,3)两点，圆心在 x轴上，则 C的方程为_【答案】( x2) 2 y21014 若集合 A( x， y)|y1 ， B( x， y)|y k(x2)4. 当集合 A B有 4个4 x2子集时，实数 k的取值范围是_. 【答案】 (512， 3415 已知 0yx，则 2yx的最小值为 【答案】 316过点 )2,1(P向圆 )5(22ryx引两条切线 PBA, 为切点,则三角形AB的外接圆面积为 【答案】 45 三、解答题17 已知圆 C经过 (4,2)P, (13)Q两点，且在 y轴上截得的线段长为 43，半径小于5(1）求直线 PQ与圆 C的方程；(2）若直线 l
5、 ,且 l与圆 C交于点 A,B,且以线段 AB为直径的圆经过坐标原点，求直线 l的方程【答案】 (1）直线 PQ的方程为：x+y-2=0 设圆心 C（a,b） ，半径为 r由于线段 PQ的垂直平分线的方程是 y- 21=x-3即 y=x-1 所以 b=a-1 又由在 y轴上截得的线段长为 4 3知（a+1） 2+（b-3） 2=12+a2 由得：a=1,b=0 或 a=5,b=4 当 a=1,b=0时，r 2=13 满足题意当 a=5,b=4时，r 2=37不满足题意故圆 C的方程为（x-1） 2+y2=13 (2）设直线 l的方程为 y=-x+m A（x 1,m-x1）,B（x 2,m-x
6、2）则，由题意可知 OAOB，即 kOAkOB=-1()(21mx1+x2=1+m,x1x2=m即 m2-m（1+m）+m 2-12=0m=4 或 m=-3 y=-x+4 或 y=-x-318 设方程 x2 y22( m3) x2(14 m2)y16 m490.若该方程表示一个圆，求 m的取值范围【答案】圆的方程化为 x-(m+3)2+y-(1-4m2)2=1+6m-7m2，则有 1+6m-7m20，解得 m(-17， 1)19设 R,在平面直角坐标系中 ,已知向量 (,1)axy,向量 (,1)bxy,ab,动点 ()Mxy的轨迹为 E.(1）求轨迹 E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
7、 (2）已知 41m,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E恒有两个交点A,B,且 OAB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知 ,设直线 l与圆 C: 22xyR(1R2)相切于 A1,且 l与轨迹 E只有一个公共点B1,当 R为何值时,|A 1B1|取得最大值?并求最大值.【答案】 （1）因为 ab, (,1)m, (,)bxy, 所以 210abmxy, 即 21mxy. 当 m=0时,方程表示两直线,方程为 ;当 1时, 方程表示的是圆当 0且 时,方程表示的是椭圆; 当 时,方程表示的是双曲线.(2).当 4m时 , 轨迹 E的方程为214xy,设圆心在原
8、点的圆的一条切线为 ykxt,解方程组 21ykxt得 22()kxt,即 22(4)840kxt,要使切线与轨迹 E恒有两个交点 A,B, 则使= 22264(4)16()0ktktkt,即 210t,即 2t, 且12284ktx22221212112()84()()141ktkttkykxtkxtxt ,要使 OAB, 需使 120y,即2250tt,所以 2540tk, 即 254tk且 241tk, 即 2245k恒成立.所以又因为直线 yx为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 21trk,22(1)45ktr, 所求的圆为 245xy.当切线的斜率不存在时,切线为 5x,与
9、24xy交于点 ),5(或)52,(也满足 OAB.综上, 存在圆心在原点的圆 25xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且 OAB.(3)当 41m时 ,轨迹 E的方程为214xy,设直线 l的方程为 ykxt,因为直线 l与圆 C:22xyR(1R2)相切于 A1, 由（2）知 2tRk, 即 22(1)tR ,因为 l与轨迹 E只有一个公共点 B1,由（2）知 24kxty得 224()kxt, 即 22(1)80kxt有唯一解则= 26(1)16(4)0tktkt, 即 2410kt, 由得222341Rtk, 此时 A,B重合为 B1(x1,y1)点, 由122
10、84txk中 21x,所以,2214163tRk, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以222114yxR,所以 221124| 5OBxyR,在直角三角形 OA1B1中, 2222211144|55()AOBA因为24R当且仅当 (,)时取等号,所以 1|1,即当 (,)时|A 1B1|取得最大值 ,最大值为 1.20已知 AC中，AB=AC, D是 AC外接圆劣弧 A上的点（不与点 A,C重合） ，延长BD至 E。(1） 求证：AD 的延长线平分 CDE；(2） 若 BAC=30， ABC中 BC边上的高为 2+ 3，求 BC外接圆的面积。 【答案】 （）如图，设 F为 AD延长线上一点A，
11、B，C，D 四点共圆，CDF=ABC又 AB=AC ABC=ACB,且ADB=ACB, ADB=CDF,对顶角EDF=ADB, 故EDF=CDF,即 AD的延长线平分CDE (）设 O为外接圆圆心，连接 AO交 BC于 H,则 AHBC连接 OC,A由题意OAC=OCA=15 0, ACB=75 0,OCH=60 0设圆半径为 r,则 r+ 23r=2+ ,解得 r=2,外接圆的面积为 4。 21 已知动圆 2)()(:rbyaxP( 0)被 y轴所截的弦长为 2，被 x轴分成两段弧，且弧长之比等于 31， O|(其中点 ,baP为圆心， o为坐标原点)(1)求 ba,所满足的关系；(2)点
12、P在直线 02yx上的投影为 A,求事件“在圆 内随机地投入一点，使这一点恰好落在 OA内”的概率的最大值。【答案】 （1）由题意知：221rba所以得到 2211bab或 者(2）点 P到直线 20xy的距离 |5aPA2()xyba 得出 2()5abxy所以 A点坐标是 ()2,5b所以 |Oa 则22|3|10APbS，圆的面积是 2=Srb圆所以2| |()OAPaS圆令 atb， 22 13,2()|3| ,ttgt t或因为 22，所以 1t所以当 34t时， ()gt取到最大值，即当 ab时，事件“在圆 P内随机地投入一点，使这一点恰好落在 POA内”的概率的最大为 53222
13、已知圆 C方程为： 24xy.(）直线 l过点 1,P，且与圆 C交于 A、 B两点，若 |23A，求直线 l的方程;(）过圆 上一动点 M作平行于 x轴的直线 m，设 与 y轴的交点为 N，若向量OQN，求动点 Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.【答案】 （）当直线 l垂直于 轴时，则此时直线方程为 1x， l与圆的两个交点坐标为3,1和 ,，其距离为 32 满足题意 若直线 l不垂直于 x轴，设其方程为 ky，即 02ky 设圆心到此直线的距离为 d，则 2432d，得 1 1|2|k， 34， 故所求直线方程为 50xy 综上所述，所求直线为 3或 1x (）设点 M的坐标为 0,yx（ ） ， Q点坐标为 yx,则 N点坐标是 0, OQ， 0,2xy 即 x0， 20y 又 402，24()y Q点的轨迹方程是21(0)6x， 轨迹是一个焦点在 轴上的椭圆，除去短轴端点。
