1、倾斜角与斜率【教学目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于 x 轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想.2.掌握经过两点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k= （x 1x2） ，培养2y学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.【重点难点】教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式 .教学难点:斜率公式的推导.【课
2、时安排】1 课时【教学过程】导入新课如图 1 所示，在直角坐标系中，过点 P 的一条直线绕 P 点旋转，不管旋转多少周，它对 x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.图 1推进新课新知探究提出问题怎样描述直线的倾斜程度呢？图 2 中标出的直线的倾斜角 对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图 2直线的倾斜角能不能是 0？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？正切函数的定义域是什么？任何直线都有斜率么？我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知 A(2，3
3、)、B(1，4)，则直线 AB 的斜率是多少?活动:与交角有关.当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了.考虑正方向.动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是 0180.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对 x 轴正方向的倾斜程度.规定：当直线和 x 轴平行或重合时，直线倾斜角为 0，所以倾斜角的范围是 0 180.联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率
4、定义，直线斜率的概念.倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即k=tan.教师介绍正切函数的相关知识.说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于 x 轴的直线没有斜率.（倾斜角是 90的直线没有斜率）已知直线 l 上的两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，且直线 l 与 x 轴不垂直，如何求直线 l 的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出.讨论结果:用倾斜角.都不对.与定义中的 x 轴正方向、直线向上方向相违背.直线的倾斜角能是 0，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角.有，常用的有坡度比.90的正切值不存在.倾斜角是
5、90的直线没有斜率.过两点 P1(x1,y1)、P 2(x2,y2)的直线的斜率公式 k= .12xy应用示例例 1 已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得 k 的值;而当 k=tan0 时,倾斜角 是钝角;而当 k=tan0 时,倾斜角 是锐角;而当 k=tan=0 时,倾斜角 是 0.解:直线 AB 的斜率 k1= 0,所以它的倾斜角 是锐角;7直线 BC 的斜率 k2=-0.50,所以它的倾斜角 是钝角 ;直线 CA 的斜率 k3=10,所以它的倾斜角
6、是锐角.变式训练已知 A(1,3 ),B(0,2 ),求直线 AB 的斜率及倾斜角.解:k AB= ,30123直线倾斜角的取值范围是 0180,直线 AB 的倾斜角为 60.例 2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,2 及-3 的直线 a,b,c,l.活动:要画出经过原点的直线 a,只要再找出 a 上的另外一点 M.而 M 的坐标可以根据直线 a 的斜率确定 .解:设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y), 根据斜率公式有：1= ,所以 x=y.0xy可令 x=1,则 y=1,于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1),可作直线 a.同理,可作
7、直线 b,c,l.变式训练1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)=0；（2）=60；(3)=90.活动:指导学生根据定义直接求解.解：(1) tan0=0，倾斜角为 0的直线斜率为 0.(2)tan60= ，倾斜角为 60的直线斜率为 .33(3)tan90不存在，倾斜角为 90的直线斜率不存在.点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C.平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或 ；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等D.直线斜率的范围是( ，)答案：D拓展提升已知点 A(-2,3)，B(3,2)，过点 P(0,-2)的直线 l 与线段 AB 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形.答案：(-, )(- ,+).3425课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率;（2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；（3）直线斜率的概念；（4）已知直线的倾斜角（或斜率） ，求直线的斜率（或倾斜角）的方法.作业习题 3.1 A 组 3、4、5.
