1、 / 16- 1 -专题 18：反比例函数的图像和性质一、选择题1. （2012 广东湛江 4 分）已知长方形的面积为 20cm2，设该长方形一边长为 ycm，另一边的长为 xcm，则 y 与 x 之间的函数图象大致是【 】A B C D【答案】B。【考点】反比例函数的性质和图象。【分析】根据题意，得 xy=20， 。故选 B。20y=x, 2. （2012 浙江台州 4 分）点（1，y 1） ， （2，y 2） ， （3，y 3）均在函数 的图象上，则6y=xy1，y 2，y 3 的大小关系是【 】Ay 3y 2y 1 By 2y 3y 1 C y1y 2y 3 Dy 1y 3y 2【答案】
2、D。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，有理数的大小比较。【分析】由点（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）均在函数 的图象上，得6y=xy1=6，y 2=3，y 3=2。根据有理数的大小关系， 623，从而 y1y 3y 2。故选 D。3. （2012 江苏淮安 3 分）已知反比例函数 的图象如图所示，则实数 m 的取值范m1x围是【 】A、m1 B、m0 C、m1。故选 A。m1yx14. （2012 江苏南通 3 分）已知点 A(1，y 1)、B(2，y 2)都在双曲线 y 上，且3 2mxy1y 2，则 m 的取值范围是【 】Am0 Bm0 Cm Dm32 32【答案】D。【考
3、点】曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式。【分析】将 A（1，y 1）， B（2，y 2）两点分别代入双曲线 y= ，求出 y1 与 y2 的表3 2mx达式：。123m，由 y1y 2 得， ，解得 m 。故选 D。 325. （2012 福建南平 4 分）已知反比例函数 的图象上有两点 A（1，m） 、1yxB（2，n） 则 m 与 n 的大小关系为【 】Amn Bmn Cm=n D不能确定 【答案】A。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】反比例函数 中 k=10，此函数的图象在一、三象限。1yx012，A、B 两点均在第一象限。在第一象限内 y 随 x 的增大而减小，m
4、n。故选 A。6. （2012 湖北荆门 3 分）已知：多项式 x2kx+1 是一个完全平方式，则反比例函数的解析式为【 】k1y=xA B C 或 D 或y=x1y=x32y=x【答案】C。【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。/ 16- 3 -【分析】多项式 x2kx+1 是一个完全平方式，k=2。把 k=2 分别代入反比例函数 的解析式得： 或 。故选 C。k1y=x1y=x37. （2012 湖北荆州 3 分）如图，点 A 是反比例函数 （x0）的图象上任意一点，2ABx 轴交反比例函数 的图象于点 B，以 AB 为边作ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，y=x则 SAB
5、CD为【 】A 2 B 3 C 4 D 5【答案】D。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。【分析】设 A 的纵坐标是 a，则 B 的纵坐标也是 a把 y=a 代入 得， ，则 ， ，即 A 的横坐标是 ；同理可得：B 的横2y=x2x=2a坐标是： 。3aAB= 。S ABCD= a=5。故选 D。25=a5a8. （2012 湖北孝感 3 分）若正比例函数 y2x 与反比例函数 的图象的一个交点坐ky=x标为(1，2)，则另一个交点的坐标为【 】A(2，1) B(1，2) C( 2，1) D (2，1)【答案】B。【考点】反比例函数图象的对称性。【分析】根
6、据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，两函数的交点关于原点对称。一个交点的坐标是（1，2） ，另一个交点的坐标是（1，2） 。故选 B。9. （2012 湖南常德 3 分）对于函数 ，下列说法错误的是【 】6yxA. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形C. 当 x0 时，y 的值随 x 的增大而增大 D. 当 x例函数 的图象上，ABx 轴于点 M，且 AM：MB=1：2，则 k 的值为【 ky=0】A 3 B6 C 2 D6【答案】B。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】如图，连接 O
7、A、OB点 A 在反比例函数 的图象上，点 B 在反比例函数 的图3y=x0ky=x0象上，AB x 轴于点 M，S AOM = ，S BOM = 。S AOM ：S BOM = ： =3：|k|。32k232kS AOM ：S BOM =AM：MB=1：2，3：|k|=1 ：2。 |k|=6。反比例函数 的图象在第四象限，k0。k=6。故选 B。yx14. （2012 辽宁本溪 3 分） 如图，已知点 A 在反比例函数 图象上，点 B 在反比例函4y=x数 (k0)的图象上，ABx 轴，分别过点 A、B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 C、D，若ky=OC= OD，则 k 的值为【 】13A、
8、10 B、12 C、14 D、16【答案】B。【考点】反比例函数的图象和性质。【分析】由已知，设点 A（x ， ） ，OC= OD，B （3x， ） 。413k3x ，解得 k=12。故选 B。4k=x315. （2012 山东菏泽 3 分）反比例函数 的两个点为 1(,)xy、 2(,)，且 12x，则2=yx下式关系成立的是【 】A 12y B 12y C 12y D不能确定【答案】D。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】反比例函数 中， =20，2=yxk函数的图象在一、三象限，在每个象限内，函数值随自变量的增加而减小。/ 16- 7 -当 时，若两点在同一象限内，则 ；若两点
9、不在同一象限内，12x21y。2y根据反比例函数 的性质：当 时，图象分别位于第一、三象限；ky0xk当 时，图象分别位于第二、四象限，得反比例函数 图象的两个分支分别k02ay= x在第一、三象限。故选 A。二、填空题1. （2012 广东佛山 3 分）若 A（x 1，y 1）和 B（x 2，y 2）在反比例函数 的图象上，且2yx0x 1x 2，则 y1 与 y2 的大小关系是 y1 y2；【答案】。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】反比例函数 中，k=20，此函数图象的两个分支在一、三象限。2yx0x 1x 2，A、B 两点在第一象限。在第一象限内 y 的值随 x 的增大而减
10、小，y 1y 2。2. （2012 江苏连云港 3 分）已知反比例函数 y 的图象经过点 A(m，1)，则 m 的值为 x 【答案】2。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】反比例函数 y 的图象经过点 A(m，1) ， 2 ，即 m2。2x13. （2012 江苏盐城 3 分）若反比例函数的图象经过点 ,则它的函数关系式是 (4)P .【答案】 。4yx【考点】待定系数法，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设函数解析式为 ，将 代入解析式得 。故函数解析式为kyx(1,4)P4k。4yx4. （2012 江苏镇江 2 分）写出一个你喜欢
11、的实数 k 的值 ，使得反比例函数的图象在第一象限内，y 随 x 的增大而增大。k2=【答案】1（答案不唯一） 。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数 的性质：当 时函数图象的每一支上，y 随 xmy=0xm0的增大而减小；当 时，函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大。因此，0若反比例函数 的图象在第一象限内，y 随 x 的增大而增大，则 ，k2 k20即 。k2/ 16- 11 -只要取 的任一实数即可，如 （答案不唯一） 。k2 k=15. （2012 湖北荆州 3 分）已知：多项式 x2kx+1 是一个完全平方式，则反比例函数的解析式为k1y=x 【答案】 或 。3y
12、=x【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。【分析】多项式 x2kx+1 是一个完全平方式，k=2。把 k=2 分别代入反比例函数 的解析式得： 或 。k1y=x1y=x36. （2012 湖南衡阳 3 分）如图，反比例函数 的图象经过点 P，则 k= k【答案】6。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据图象写出 P 点坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，把 P 点坐标代入反比例函数解析式中即可得到 k 的值：根据图象可得 P（3，2） ，把 P（3，2）代入反比例函数 中得：ky=xk=xy= 6。 7. （2012 四川凉山 4 分）如图，已知点 A 在反比例
13、函数图象上，AMx 轴于点 M，且AOM 的面积为 1，则反比例函数的解析式为 。【答案】 。2yx【考点】反比例函数系数 k 的几何意义.【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值，即 S= |k|，又反比例函数的图象在二、四象限，k0。则由121= |k|得 k= 2。所以这个反比例函数的解析式是 。1 2yx8. （2012 辽宁沈阳 4 分）已知点 A 为双曲线 y= 图象上的点，点 O 为坐标原点过点 Ak 作 ABx 轴于点 B，连接 OA.若AOB 的面积为 5，则 k 的值为 .【答案】10 或10。【考点】反比例函数
14、系数 k 的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】点 A 为双曲线 y= 图象上的点，设点 A 的坐标为（x， ） 。 x kx又AOB 的面积为 5， ，即|k|=10，解得，k=10 或AOB1kS=52k=10。9. （2012 贵州黔西南 3 分）已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（2，3） ，则 m的值为 。【答案】3。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】根据反比例函数图象上点的横、纵坐标的积是一个定值即可求：反比例函数的图象经过点（m ，2）和（2，3） ，23=2m ，解得 m=3。10. （2012 贵州铜仁 4 分）当 x 时，二次根式 有意义1x【答案
15、】x0。【考点】二次根式和分式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为 0 的条件，要使 在实数1x范围内有意义，必须 0，即 x0。1/ 16- 13 -11. （2012 山东滨州 4 分）下列函数：y=2x1； ；y=x 2+8x2； ； ； 中，y 是 x 的反比5y=x2y=x1a=例函数的有 （填序号）【答案】。【考点】反比例函数的定义。【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：y=2x1 是一次函数，不是反比例函数； 是反比例函数；5y=xy=x 2+8x2 是二次函数，不是反比例函数； 不是反比例函数；2 是反比例函数； 中，a0 时，是反比例函数，
16、没有此条件则不是y=xay=x反比例函数。故答案为：。12. （2012 山东济宁 3 分）如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于给出的k2y=x下列说法：常数 k 的取值范围是 k2；另一个分支在第三象限；在函数图象上取点 A（a 1，b 1）和点 B（a 2，b 2） ，当 a1a 2 时，则 b1b 2；在函数图象的某一个分支上取点 A（a 1，b 1）和点 B（a 2，b 2） ，当 a1a 2 时，则b1b 2；其中正确的是 （在横线上填出正确的序号）【答案】。【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】根据函数图象在第一象限可得 k20，故
17、 k2，故正确；根据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故正确；根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上 y 随 x 的增大而减小，A、B 不一定在图象的同一支上，故错误；根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上 y 随 x 的增大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点 A（a 1， b1）和点 B（a 2，b 2） ，当 a1a 2时，则 b1b 2 正确。故正确的说法为：。13. （ 2012 山东潍坊 3 分）点 P 在反比例函数 (k0)的图象上，点 Q(2，4) 与点 P 关ky=x于 y 轴对称，则反比例函数的解析式为 .【答案】 。
18、8=x【考点】关于 y 轴对称的点的坐标特征，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据轴对称的定义，利用点 Q（2，4） ，求出 P 点坐标，将 P 点坐标代入解析式，即可求出反比例函数解析式：点 Q（2，4）和点 P 关于 y 轴对称，关于 y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数P 点坐标为（2，4） 。将（2，4）解析式 得，k=xy=24=8。ky=x函数解析式为 。814. （2012 青海西宁 2 分）如图，反比例函数 y 的图象与经过原点的直线交于点kxA、B，已知点 A 的坐标为(2，1)，则点 B 的坐标是 【答案】(2，1)。【考点】反比例函数图象的对称性，关
19、于原点对称的点的坐标特征。【分析】因为反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称。因此，根据关于原点对称的点的坐标横、纵坐标都互为相反数的性质，得点A(2， 1)关于原点对称的点 B 的坐标是(2 ，1)。/ 16- 15 -15. （2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 3 分）如图，点 A 在双曲线 y= 上，1x点 B 在双曲线y= 上，且 ABx 轴，点 C、D 在 x 轴上，若四边形 ABDC 为矩形， 则它的面积为 3 【答案】2。【考点】反比例函数系数 k 的几何意义。【分析】过 A 点作 AEy 轴，垂足为 E，点 A 在双曲线 y=
20、 上，四边形 AEOD 的面积为 1。1x点 B 在双曲线 y= 上，且 ABx 轴，3四边形 BEOC 的面积为 3。四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 31=2。三、解答题1. （2012 浙江湖州 6 分）如图，已知反比例函数 （k0）的图象经过点（2，8） kyx（1）求这个反比例函数的解析式；（2）若（2，y 1） ， （4，y 2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较 y1、y 2 的大小，并说明理由【答案】解：（1）把（2，8）代入 ，得 ，解得：k= 16。kyx82这个反比例函数的解析式为 。16yx（2）y 1y 2。理由如下：k=160，在每一个象限内，函数值 y
21、随 x 的增大而增大。点（2，y 1） ， （4，y 2）都在第四象限，且 24，y 1y 2。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】 （1）把经过的点的坐标代入解析式进行计算即可得解。 （2）根据反比例函数图象的性质，在每一个象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大解答。2. （2012 山东烟台 8 分）如图，在平面直角坐标系中，A，B 两点的纵坐标分别为 7 和1，直线 AB 与 y 轴所夹锐角为 60（1）求线段 AB 的长；（2）求经过 A，B 两点的反比例函数的解析式【答案】解：（1）分别过点 A，B 作 ACx 轴，BDAC，垂足分别为点C，D，由题意，知BAC=60，AD=71=6， 。0D612cos/ 16- 17 -
