1、第三十八讲 函数的基本概念与性质函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究 1求函数值和函数表达式对于函数 y=f(x)，若任取 x=a(a 为一常数)，则可求出所对应的 y 值 f(a)，此时 y 的值就称为当 x=a 时的函数值我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题例 1 已知 f(x-1)=19x255x-44
2、，求 f(x)解法 1 令 y=x-1，则 x=y+1，代入原式有f(y)=19(y1) 255(y1)-4419y 293y 30 ，所以 f(x)=19x2+93x30解法 2 f(x-1)=19(x-1)293(x-1)+30 ，所以 f(x)=19x293x30 可例 3 已知函数 f(x)=ax5-bx3x5 ，其中 a，b 为常数若 f(5)=7，求 f(-5)解 由题设f(-x)=-ax 5 bx3-x5=-(ax5-bx3x5)+10=-f(x)+10，所以f(-5)=-f(5)10=3例 4 函数 f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数 x，y，有 f(x+y)=f(xy
3、)若 f(19)=99，求 f(1999)解 设 f(0)=k，令 y=0 代入已知条件得f(x)=f(x+0)=f(x0)=f(0)=k，即对任意实数 x，恒有 f(x)=k所以f(x)=f(19)=99，所以 f(1999)=99 2建立函数关系式例 5 直线 l1 过点 A(0， 2)，B(2，0)，直线 l2：y=mxb 过点 C(1，0)，且把AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图 31设此三角形的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并画出图像解 因为 l2 过点 C(1，0)，所以 mb=0，即 b=-m设 l2 与 y 轴交于点 D，则点 D 的坐标为(
4、0，-m)，且 0-m2(这是因为点 D 在线段OA 上，且不能与 O 点重合) ，即-2m0故 S 的函数解析式为例 6 已知矩形的长大于宽的 2 倍，周长为 12从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边x，试写出梯形面积 S 关于 x 的函数关系式解 设矩形 ABCD 的长 BC 大于宽 AB 的 2 倍由于周长为 12，故长与宽满足4BC 6，0AB 2由题意，有如下两种情形：CE 1x， BE1BC-x，ABCD2(BC-x)，所以(2ABx)+AB=6，所以3含绝对值的函数一次函数的图像是一条直线，含有绝对值符号的函数所对应的图像是由若干条线段和
5、射线所组成的折线；二次函数的图像是抛物线，而 y=|ax2bxc|的图像是将 y=ax2+bx+c 在 x 轴下方的图像按 x 轴为对称轴翻到 x 轴的上方对于一些其他的含绝对值符号的函数和方程的图像，需要按区间分段讨论例 7 作函数 y=|3-x|+|x-1|的图像解 当 x1 时，y=(3-x)+(1-x)=-2x+4；当 1x3 时，y=(3-x) (x-1)=2；当 x3 时，y=(x-3) (x-1)=2x-4所以它的图像如图 33 所示例 8 作函数 y=|x2-5x+6|的图像解 当 x2 或 x3 时，x 2-5x+60，于是 y=x2-5x+6；当 2x3 时，x 2-5x+
6、60，于是 y=-(x2-5x+6)所以于是，得图像如图 34 所示例 9 点(x，y)满足方程|x-1|+|y+2|=2，求它的图像所围成区域的面积解 当 x1，y-2 时，x-1y2=2，即y=-x+1当 x1，x-2 时，x-1-(y 2)=2，即y=x-5当 x1，y-2 时，-x+1+y2=2，即y=x-1当 x1，y-2 时，-x 1-(y2)=2，即y=-x-3于是，所得图像如图 35 所示由此可知，|x-1|+|y+2|=2 的图像是一个对角线长为 4，边长为 2例 10 m 是什么实数时，方程 x2-4|x|5=m 有四个互不相等的实数根？解法 1 将原方程变形为x2-4|x
7、|4=m-1令 y=x2-4|x|+4=m-1，则它的图像如图 36 ，而 y=m-1 是一条与 x 轴平行的直线原方程有四个互不相等的实根，即直线应与曲线有四个不同的交点由图像可知，当 0m-14，即1m 5 时，直线与曲线有四个不同的交点，所以，当 1m5 时，方程 x2-4|x|5=m 有四个互不相等的实数根说明 本题是一个方程问题，我们利用图形来研究，这是一种非常重要的思想方法数形结合法当然，本题不用图像也是可以解的，下面给出解法，请读者比较一下解法 2 原方程变形为(|x|-2)2m-1 ，练习五1填空：(1)已知 f(x-1)=19x255x-44，则 f(x)=_(2)对所有实数
8、 x，f(x 2+1)=x45x 23，那么对所有实数 x，f(x 2-1)=_(3)设 x 与 y2 成反比例，y 与 z2 成正比例当 x=24 时，y=2；当 y=18 时，z=3，则 z=1 时，x=_(4)已知 y=2x2mx5 的值恒为正，且 m 为实数，则 m 的范围是_函数，且当 x=2，x=3 时，y 的值都为 19，则 y 的解析式为 y=_(6)如果 ym 与 xn 成正比例，且当 x=1 时，y=2；当 x=-1 时，y=1，则 y与 x 间的函数关系式是 y=_2在平面直角坐标系里，点 A 的坐标是(4，0)，点 P 是第一象限内一次函数y=-x6 的图像上的点，原点是 O，如果OPA 的面积为 S，P 点坐标为(x，y) ，求 S 关于 x 的函数表达式3平面直角坐标上有点 P(-1，-2)和点 Q(4，2) ，取点 R(1，m)，试问当 m 为何值时，PRRQ 有最小值试求 k 的取值范围5设 y=|x+2|+|x-4|-|2x-6|，且 2x8，试求 y 的最大值与最小值之和6作 y=2|x-3|，y=x-a 的图像，问 a 取什么值时，它们可以围出一个平面区域，并求其面积7m 是什么实数时，方程|x 2-4x+3|=m 有三个互不相等的实数解
