1、第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理材拓展1几何法证正弦定理设 BD 为ABC 外接圆O 的直径，则 BD2R，下面按 A 为直角、锐角、钝角三种情况加以证明(1)若A 为直角，如图，则 BC 经过圆心 O，BC 为圆 O 的直径，BC2R ， BC 2R.asin A BCsin 90(2)若A 为锐角，如图，连结 CD，则BAC BDC，在 Rt BCD 中， ，BCsin BDC BCsin BAC BD2R， 2R.BCsin BDC BCsin BAC即 2R.asin A(3)若A 为钝角，如图，连结 CD，则BAC CDB，所以sinBACsinCDB，在 Rt BCD 中
2、， BD2R，BCsin CDB又 ，BCsin CDB BCsin BAC 2R，即 2R.BCsin BAC asin A可证得： 2R.同理可证： 2R， 2R .asin A bsin B csin C所以，不论ABC 是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形，都有： 2R (其中 R 为ABC 的外接圆的半径 )asin A bsin B csin C正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于其外接圆的直径2坐标法证余弦定理如图所示，以ABC 的顶点 A 为原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点 B 可作角 A 终边的一个点，它到原点的
3、距离 rc.设点 B 的坐标为( x， y)，由三角函数的定义可得：xccos A，y csin A，即点 B 为(ccos A，csin A)，又点 C 的坐标是(b,0)由两点间的距离公式，可得：aBC .b ccos A2 csin A2两边平方得：a 2(bccos A) 2(csin A) 2b 2c 22bccos A.以ABC 的顶点 B 或顶点 C 为原点，建立直角坐标系，同样可证b2a 2c 22accos B，c 2a 2b 22abcos C.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的积的 2 倍. 余弦定理的第二种形式是：cos A
4、 ，cos B ，b2 c2 a22bc a2 c2 b22accos C .a2 b2 c22ab易知：A 为锐角b 2c 2a 20；A 为直角b 2c 2a 20；A 为钝角b 2c 2a 2b ab解个数 一解 一解 两解 无解 一解 无解例 2 已知ABC 中，b3，c3 ，B30 ，求 a 的值3解 方法一 利用余弦定理求解先将 b3，c3 ，B 303代入 b2a 2c 22ac cos B，有 32a 2(3 )22a3 cos 30.3 3整理，得 a29a180.所以 a6 或 a3，经检验 6 和 3 均符合题意所以 a 的值为 6 或 3.方法二 利用正弦定理求解csi
5、n B ，c bcsin BABC 有两解323 6，sin C .csin C bsin B 32C60或 C120.当 C60时， A180 B C 90.由 6，解得：a6.asin A bsin B当 C120时， A180 B C 30.由 6，解得 a3.所以 a 的值为 6 或 3.asin A bsin B三、三角形的面积公式及应用方法链接：三角形面积的常用计算公式(1)S aha(ha 表示 a 边上的高 )；12(2)S absin C acsin B bcsin A；12 12 12(3)S r(ab c) (r 为三角形内切圆半径 )；12(4)S (可由正弦定理推得)
6、 ；abc4R(5)S2R 2sin Asin Bsin C (R 是三角形外接圆半径) ；(6)S (p 是三角形的半周长) pp ap bp c例 3 在ABC 中，已知B60，面积为 10 ，外接圆半径为 R ，求三边3733a，b，c.解 b2Rsin B2 7，733 32S ABC acsin B，10 ac ，12 3 12 32ac40，由 b2a 2c 22ac cos B，得 a2c 289.由Error! 解得Error! .Error! 或Error!.所以ABC 的三边长为a8，b7，c5 或 a5，b7，c8.四、利用正、余弦定理求三角形外接圆半径方法链接：利用正弦
7、定理 2R，(其中 R 是ABC 的外接圆半径) 可asin A bsin B csin C以推得以下结论：(1)R ；a2sin A b2sin B c2sin C(2)R ；a b c2sin A sin B sin C(3)R (其中 S 为ABC 的面积 )；abc4S(4)R (其中 p 为 (abc )，即ABC 的半周长)abc4pp ap bp c 12有了这些结论，我们可以容易解决涉及三角形外接圆的问题例 4 如图所示，已知POQ60，M 是POQ 内的一点，它到两边的距离分别为MA2，MB11，求 OM 的长解 如图所示，连接 AB，由已知 O，A，M ，B 四点都在以 O
8、M 为直径的圆上这个圆就是ABM 的外接圆POQ 60，AMB 120.在ABM 中， AB2MA 2MB 22MAMBcos 120.AB 22 211 22211 147AB 7 .( 12) 3由正弦定理得 OM 14.ABsin AMB ABsin 120 73sin 60五、利用正、余弦定理判断三角形形状方法链接：(1)判断三角形的形状，主要有以下两种途径：利用正、余弦定理，把已知条件转化为边边关系，然后通过因式分解，配方等方法，得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；利用正、余弦定理，把已知条件转化为角角关系，然后通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状(2)判断三角
9、形的形状时，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，以免漏解(3)常见的三角形有：正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、钝角三角形或锐角三角形例 5 在ABC 中，acos A bcos Bccos C，试判断三角形的形状解 方法一 由正弦定理，设 k 0，asin A bsin B csin Caksin A，b ksin B，c ksin C ，代入已知条件得ksin Acos Ak sin Bcos Bksin C cos C，即 sin Acos Asin Bcos Bsin Ccos C.根据二倍角公式得 sin 2Asin 2Bsin 2C ，即 sin(AB) (AB
10、)sin(AB)(AB)2sin Ccos C ，2sin(AB )cos(AB) 2sin Ccos C.ABC ，A BC，sin(AB )sin C0，cos(AB )cos C，又cos(AB )cos C，cos(AB )cos ( AB)0，2cos A cos B0，cos A0 或 cos B0，即 A90或 B90，ABC 是直角三角形方法二 由余弦定理知cos A ，cos B ，cos C ，b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab代入已知条件得a b c 0，b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac c2 a2 b22ab通分得 a2
11、(b2c 2a 2)b 2(a2c 2b 2)c 2(c2a 2b 2)0，展开整理得(a 2b 2)2c 4.a 2b 2c 2， 即 a2b 2c 2 或 b2a 2c 2.根据勾股定理知ABC 是直角三角形六、利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式方法链接：证明三角恒等式有三种方向：一种是从等式某一侧证到另一侧；一种是将式子的两侧同时整理化简得到相同的结果；最后一种是将要证的恒等式进行适当的等价变形，证明等价变形后的式子成立即可不论哪种方向都应遵循“从繁化简”的原则例 6 在ABC 中，A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，求证： 0.a2 b2cos A cos B b2 c2cos
12、B cos C c2 a2cos C cos A分析 利用正弦定理把边角统一为角的代数式，再结合三角公式求证证明 由正弦定理 2R.asin A bsin B csin Ca2Rsin A，b2Rsin B，C 2Rsin C. a2 b2cos A cos B 4R2sin2A sin2Bcos A cos B4R21 cos2A 1 cos2Bcos A cos B4R2cos2B cos2Acos A cos B4R 2(cos Bcos A) ；同理 4R 2(cos Ccos B)；b2 c2cos B cos C4R 2(cos Acos C)c2 a2cos C cos A左边
13、a2 b2cos A cos B b2 c2cos B cos C c2 a2cos C cos A4R 2(cos Bcos A) 4R 2(cos Ccos B)4R 2(cos Acos C)4R 2(cos Bcos Acos Ccos Bcos Acos C)0.左边右边即 0 成立a2 b2cos A cos B b2 c2cos B cos C c2 a2cos C cos A区突破1忽视构成三角形的条件而致错例 1 已知钝角三角形的三边 ak，bk2，c k4，求 k 的取值范围错解 cba 且ABC 为钝角三角形，C 为钝角由余弦定理得 cos Ca2 b2 c22ab 0.
14、综上所述，0k4.即 k2 而不是 k0.正解 cba，且ABC 为钝角三角形，C 为钝角由余弦定理得 cos C k4，k2，综上所述，k 的取值范围为 2180 ，故 B135不适合题意，是个增解这个增解产生的根源是忽视了 ab 这一条件，根据三角形的边角关系，角 B 应小于角 A，故 B135 应舍去正解 在ABC 中，由正弦定理可得sin B ，bsin Aa 2sin 606 22因为 ab，所以 AB，所以 B45.3忽视角之间的关系而致错例 3 在ABC 中， ，试判断三角形的形状tan Atan B a2b2错解 ，tan Atan B a2b2 sin Acos Bcos A
15、sin B sin2Asin2B ，cos Bcos A sin Asin Bsin Acos A sin Bcos B，sin 2Asin 2B，AB.ABC 是等腰三角形点拨 上述错解忽视了满足 sin 2Asin 2B 的另一个角之间的关系： 2A2B 180.正解 ，tan Atan B a2b2 sin Acos Bcos Asin B sin2Asin2B cos Bcos A sin Asin Bsin Acos A sin Bcos Bsin 2Asin 2B2A2B 或 2A2B.AB 或 A B .2ABC 是等腰三角形或直角三角形题多解例 已知ABC 中，AB 1，BC
16、2，则角 C 的取值范围是 ( )A0 C B0C 6 2C. C D. C6 2 6 3分析 数学中的许多问题可以从不同角度去考虑例如本题可以从正弦定理、余弦定理、构造图形等角度去考虑解析 方法一 (应用正弦定理 ) ，ABsin C BCsin A 1sin C 2sin Asin C sin A，120sin A1，0sin C .12ABBC，CA ，C 为锐角，0C .6方法二 (应用数形结合)如图所示，以 B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线 BC 上的点外，都可作为 A 点从点 C 向圆 B 作切线，设切点为 A1和 A2，当 A 与 A1、A 2 重合时，角 C 最大
17、，易知此时：BC2，AB1 ，ACAB ，C ，60C .6答案 A题赏析1(2009上海)已知ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m(a，b) ，n(sin B ，sin A)，p(b2， a2) (1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角 C ，求ABC 的面积3(1)证明 mn，asin A bsin B，即 a b ，a2R b2R其中 R 是ABC 外接圆半径，a 2b 2，ab.ABC 为等腰三角形(2)解 由题意知 mp0，即 a(b2) b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a 2b 2ab(ab) 23ab，即(a
18、b) 23ab40.ab4(舍去 ab1)，S ABC absin C 4sin .12 12 3 3赏析 在正、余弦定理与平面向量的交汇点上命题是近几年高考的热点题型之一，题目难度一般不大，以中、低档题为主2(2011大纲卷)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，asin Acsin C asin Cbsin B.2(1)求 B；(2)若 A 75，b2，求 a，c.解 (1)由正弦定理得 a2c 2 acb 2，2由余弦定理得 b2a 2c 22accos B，故 cos B .22又 B 为三角形的内角，因此 B45.(2)sin Asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45 .2 64故 a 1 ，bsin Asin B 2 62 3c 2 .bsin Csin B sin 60sin 45 6
