1、 专题四 猜想与证明专 题 命 题 规 律1猜想与证明问题河北中考近 8 年共考查 8 次，为每年必考内容，都是以解答题的形式出现，分值为 914分2考查类型：(1)与图形的位似有关，探究两条边之间的关系，此类题在 2012 年考查过一次，主要是利用三角形的性质来解决，分值为 9 分；(2)与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图，此题在 2011 年考查过一次，分值为 9 分；(3)与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形，在 2010 年和 2009 年考查过，分值为 10 分，在 2013 年考查过，分值为 11 分；(4)折叠
2、问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，此题在 2014 年考查过，分值为 11 分；与图形的折叠、平移有关，2015 年考查，分值 14 分，平移问题主要是用到了平移前后的性质和三角形的性质，探究边与边之间的关系，在 2008 年考查过，分值为 10 分2016预 测预计 2016 年河北中考仍会重点考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题,中考重难点突破)与图形旋转有关的问题【经典导例】【例 1】(2010 河北中考)在图至图中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，1245.(1)如图，若 AOOB ，请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系
3、；(2)将图中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图，其中 AOOB.求证：ACBD，ACBD；(3)将图中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到图，求 的值BDAC【学生解答】【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直若平行，则常通过以下方法进行证解：平行线的判定定理；平行四边形对边平行；三角形中位线性质等若垂直，则可考虑以下途径
4、：证明两线段所在直线夹角为 90；两线段是矩形的邻边；两线段是菱形的对角线；勾股定理的逆定理；利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明1(2015 重庆中考)在ABC 中，ABAC，A 60，点 D 是线段 BC 的中点，EDF 120，DE 与线段 AB 相交于点 E，DF 与线段 AC(或 AC 的延长线)相交于点 F.(1)如图 1，若 DFAC，垂足为 F，AB4，求 BE 的长；(2)如图 2，将(1)中的EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段 AC 相交于点 F.求证：BECF AB；12(3)如图 3，将(2)中的EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF
5、 与线段 AC 的延长线交与点 F，作DNAC 于点 N，若 DNFN ，求证：BECF (BE CF)32(2015 龙东中考)已知ABC 中，M 为 BC 的中点，直线 m 绕点 A 旋转，过 B、M、C 分别作 BDm 于D，MEm 于 E，CFm 于 F.(1)当直线 m 经过 B 点时，如图，易证 EM CF(不需证明)；12(2)当直线 m 不经过 B 点，旋转到如图、图的位置时，线段 BD、ME、CF 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明与图形相似、位似有关的问题【经典导例】【例 2】(2014 河北中考)如图，点 E 是线段 BC 的中点，分别以 B
6、，C 为直角顶点的EAB 和EDC 均是等腰直角三角形，且在 BC 的同侧(1)AE 和 ED 的数量关系为_，AE 和 ED 的位置关系为 _；(2)在图中，以点 E 为位似中心，作EGF 与EAB 位似，点 H 是 BC 所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到了图和图.在图中，点 F 在 BE 上，EGF 与EAB 的相似比是 12，H 是 EC 的中点求证：GHHD，GHHD.在图中，点 F 在 BE 的延长线上，EGF 与EAB 的相似比是 k1，若 BC2，请直接写出 CH 的长为多少时，恰好使得 GHHD 且 GHHD(用含 k 的代数式表示)【解析】(1)由ABEDCE 可得
7、，AE DE.由 ABBEEC CD，可知AEBDEC45，所以AED 90，故 AEED.(2)由HGFDHC 可证 GHHD ，GH HD；由 BC2，可知 BEEC1，又EF k，当 CHk 时可得 CHFGk，从而证明 HFGDCH，得到 GHHD ，GH HD.【学生解答】【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用斜边的中线等于斜边的一半或 30角所对的直角边为斜边的一半进行等量代换(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直先观察图形
8、，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直若平行，则常通过以下方法进行证解：平行线判定的定理；平行四边形对边平行；三角形中位线性质等若垂直，则可考虑以下途径：证明两线段所在直线夹角为 90；两线段是矩形的邻边；两线段是菱形的对角线；勾股定理的逆定理；利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明3已知直线 MN 与线段 AB 交于点 O，点 C 在直线 MN 上，且ACN 135，以点 O 为位似中心，作BOD 与 AOC 位似(1)如图，若BOD 与AOC 的位似比为 13，写出 AC 与 BD 的数量关系和位置关系；(2)在图中，若BOD 与AOC 的位似比为 11，BEM 45，写出 AC 与
9、 BE 的数量关系和位置关系，并证明；(3)在图中，若BOD 与AOC 的位似比为 k1，BEM 45，求 BEAC 的值与图形折叠、平移有关的问题【经典导例】【例 3】(2014 河北中考)图和图中，优弧 所在O 的半径为 2，AB2 .点 P 为优弧 上一点(点 P 不AB 3 AB 与 A，B 重合)，将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A.(1)点 O 到弦 AB 的距离是_，当 BP 经过点 O 时，ABA _；(2)当 BA与O 相切时，如图，求折痕 BP 的长；(3)若线段 BA与优弧 只有一个公共点 B，设ABP，确定 的取值范围AB 【解析】(1)作垂线 OC，即为
10、O 到 AB 的距离根据垂径定理，构造直角三角形，利用直角三角形边角关系以及三角函数即可得解(2)由(1)得 OC 长度以及半径 OB 长度，即可求出OBC 的正弦值，从而求得OBC. 再利用ABP 与 OBC 的关系求出 OBP 的角度，根据直角三角形的边角关系计算即可 (3)如解图所示：在折叠过程中，BP 的 4 个特殊位置，点 A落在以 B 为圆心、 BA 为半径的虚线圆弧上，观察图形由线段 BA与圆心 O的位置可确定 的范围【学生解答】【方法指导】解本题第(3)问的关键在于折叠过程中对图形变化具体情况的分析，也是对第 (1)、(2)问情况的综合在分类讨论 的最大取值时，很难想象出优弧
11、完全折叠过去时的情况，即 P 点即将与 B 点重合时 的数AB 值，可以先在图中画出点 P、B 重合时的情况，重合时 为一个临界点，找到此临界点，再使 小于此临界点即可解决4(2015 天津中考)将一个直角三角形纸片 ABO 放置在平面直角坐标系中，点 A( ，0) ，点 B(0，1)，点3O(0，0)过边 OA 上的动点 M(点 M 不与点 O，A 重合) 作 MNAB 于点 N，沿着 MN 折叠该纸片，得顶点 A 的对应点为 A.设 OMm，折叠后的A MN 与四边形 OMNB 重叠部分的面积为 S.(1)如图，当点 A与顶点 B 重合时，求点 M 的坐标；(2)如图，当点 A落在第二象限
12、时，AM 与 OB 相交于点 C，试用含 m 的式子表示 S；(3)当 S 时，求点 M 的坐标( 直接写出结果即可)324与尺规作图有关的问题【经典导例】【例 4】(2014 河北中考)如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，K 分别在 BC，AB 上，点 G 在 BA 的延长线上，且 CEBKAG.(1)求证：DEDG；DEDG；(2)尺规作图：以线段 DE，DG 为边作出正方形 DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明 )；(3)连接(2)中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； (4)当 时，请直接写出 的值CECB 1n S正 方 形 AB
13、CDS正 方 形 DEFG【解析】(1)由已知证明 DE、 DG 所在的三角形全等，再通过等量代换证明 DEDG ；(2)根据正方形的性质分别以点 G、E 为圆心，以 DG 为半径画弧交于点 F，得到正方形 DEFG；(3)由已知首先证四边形 CKGD 是平行四边形，然后证明四边形 CEFK 为平行四边形；(4)设 CEx，由已知 ，表示出 CB 及 CD，利用勾股定理求CECB 1n出 DE2，进而得到 ，即为所求BC2DE2【学生解答】【方法指导】在判定四边形为平行四边形时，(1)若已知一组对边平行，可以考虑利用证明这组对边相等，或证明另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以考虑证明
14、这组对边平行或另一组对边相等； (3)若已知一组对角相等则需要证明另外一组对角也相等；(4)若已知一条对角线平分时则需证明另外一组对角线也平分在证明边相等时，将这两组对边放在两个三角形中，并证明这两个三角形全等；在证明边平行时，需要用题目中的条件找到角之间的关系再利用平行线的判定证明5(2015 丽水中考)如图，已知ABC，C90，ACBC，D 为 BC 上一点，且到 A，B 两点的距离相等(1)用直尺和圆规，作出点 D 的位置(不写作法，保留作图痕迹)；(2)连接 AD，若B 37，求CAD 的度数6(2015 济宁中考)如图，在ABC 中，ABAC，DAC 是ABC 的一个外角实践与操作：
15、根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法) (1)作DAC 的平分线 AM；(2)作线段 AC 的垂直平分线，与 AM 交于点 F，与 BC 边交于点 E；猜想并证明：判断四边形 AECF 的形状并加以证明7(2015 太原中考)如图，ABC 是直角三角形，ACB90.(1)尺规作图：作C ，使它与 AB 相切于点 D，与 AC 相交于点 E，保留作图痕迹，不写作法请标明字母(2)在你按(1)中要求所作的图中，若 BC3，A 30，求 的长DE 拓展类型一 与点的位置变化有关的问题1(2014 牡丹江中考)如图，在等边ABC 中，点 D 在直线 BC 上，连接 AD，作A
16、DN 60，直线 DN交射线 AB 于点 E，过点 C 作 CFAB 交直线 DN 于点 F.(1)当点 D 在线段 BC 上， NDB 为锐角时，如图，求证：CFBECD；(提示：过点 F 作 FMBC 交射线 AB 于点 M.)(2)当点 D 在线段 BC 的延长线上， NDB 为锐角时，如图，当点 D 在线段 CB 的延长线上，NDB 为钝角时，如图.请分别写出线段 CF，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明；(3)在(2)条件下，若ADC30，S ABC 4 ，则 BE_，CD_3拓展类型二 与图形变化有关的问题2(2015 石家庄模拟)探究并证明以下问题：(1)如图，矩形 ABC
17、D 的对角线 AC、BD 交于点 O，且 AOB 60，点 P 为线段 BO 上任意一点，以 AP为边作等边三角形 APF，连接 BF，求证：BFOP.(2)如图，在正方形 ABCD，点 P 为 BC 边上任意一点，以 AP 为边作正方形 APMN，F 为正方形 APMN 的中心，连接 BF，直接写出 BF 与 CP 的数量关系_ (3)如图，在菱形 ABCD 中， ABACmn，点 P 为 BC 边上一点，以 AP 为对角线作菱形AEPM，满足ABC AFP，连接 BF，猜想 BF 与 CP 的数量关系，并证明你的结论3(2014 河南中考)(1)问题发现如图，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A、D 、E 在同一直线上，连接 BE.填空：AEB 的度数为_；线段 AD、BE 之间的数量关系为 _(2)拓展探究如图，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点 A、D、E 在同一直线上，CM为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE.请判断AEB 的度数及线段 CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由(3)解决问题如图，在正方形 ABCD 中，CD .若点 P 满足 PD1，且BPD90，请直接写出点 A 到 BP 的距2离
