1、专题三 规律探索与猜想专 题 命 题 规 律纵观怀化 7 年中考，规律探索与猜想题型共考查了 5 次，以选择、填空形式出现，3 分或 4 分，难度中等，考查类型有：1.数字规律；2.图形规律，常以图形变换中的规律探索为主善于发现图形变换的过程中的特点，抓住其周期性是解决此类问题的关键 2016预 测预计 2016 年怀化中考还会以类似方式和方法、难度来考查，故在学习中应突出训练、总结规律,中考重难点突破)数字规律【经典导例】【例 1】(2016 中考预测)正整数按如图所示的规律排列，请写出第 20 行第 21 列的数字【解析】首先应发现第 1 列中的数与所在行数的关系，再关注第 n 行的第 1
2、 个数与第(n1) 列的第 1 个数的关系，那么第 n 行第 n1 列这个数应该不难确定【学生解答】【方法指导】1.对于数阵类的规律问题，题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有求有序数对数值和表示某个数值的有序数对解题步骤为：(1)分析数阵中的数字排列方式，从以下方面寻找规律： 每行的个数，每列的个数，相邻数据的变化特点，并且观察是否某一行或者某一列的数具有某些特别的性质(如完全平方数、正整数) 等；(2) 找出该行或列上的数字与其所在的行数和列数的关系；(3)使用(1)中找出的具有特殊性质的数字根据(2)中的性质定位，求得答案2对于数字不循环变换类规律题，需要掌握如下方法：(1)当所给的
3、一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数数列、奇数列、偶数列还是正整数数列经过平方、平方加 1 或减 1 等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一个符号，如果是交替出现的用(1) n 表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；(2) 当数字规律题的数字是分数和整数结合的时候，把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数字规律其他方法同(1)，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第 n 项的规律3对于数字循环变换类规律题，求经过 N 次变换后对应的数字的解题步骤为：(1) 通过观察这组数字，得到该组数字经过一个循
4、环变换需要的次数，记为 n；(2)用 N 除以 n，当商 b 余 m(0m n) 时，第 N 次变换后对应的数字就是一个循环变换中第 m 次变换后对应的数字；(3)根据题意，找出第 m 次变换后对应的数字，推断出第N 次变换后对应的数字4对于数式的规律探究题，求第 n 个等式(式子的结果) 的解题步骤为： (1)先观察给出的等式式子(计算出给出式子的计算结果)；(2) 分析对比所得的结果，从结果与序数或结果与所给数式中数字的构成个数两方面进行对比，寻找不变的量和变化的量之间的变化关系，从而得到结果与各自等式或式子之间满足的关系式，求第 n 个数式直接套用关系式即可1(2015 安徽中考)按一定
5、规律排列的一列数：2 1，2 2，2 3，2 5，2 8，2 13，若 x、y、z 表示这列数中的连续三个数，猜测 x、y、z 满足的关系式是_2(2015 怀化二模)计算下列各式的值： ； ； ； .观察所得结果，92 19 992 199 9992 1999 99992 19999总结存在的规律，应用得到的规律可得Error!_3(2014 东营中考)将自然数按以下规律排列：第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 4 5 16 17 第二行 2 3 6 15 第三行 9 8 7 14 第四行 10 11 12 13 第五行 表中数 2 在第二行，第一列，与有序数对(2，1) 对应
6、；数 5 与(1，3)对应；数 14 与(3 ，4)对应；根据这一规律，数 2014 对应的有序数对为_4(2015 常德中考)已知： ； ；计算： _；猜2 122 12 13 4 3 2 142 32 22 12 15 6 5 4 3 2 162 52 42 32 22 12想： _（2n 2） （2n 1） （6 5） （4 3） （2 1）（2n 2）2 （2n 1）2 （62 52） （42 32） （22 12）5(2015 广东中考)观察下列一组数： ， ，根据该组数的排列规律，可推出第 10 个数是13253749 511_6(2015 乌鲁木齐中考)如图所示的数码叫“莱布尼茨
7、调和三角形 ”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有n 个数，且两端的数均为 ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第 8 行第 3 个数(从左往右数) 为( )1n1112 1213 16 1314 112 112 14A. B . C. D.160 1168 1252 12807(2015 武威中考)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15， 21，叫做三角形数，其中 1 是第一个三角形数，3 是第 2 个三角形数，6 是第 3 个三角形数，依此类推，那么第 9 个三角形数是_，2016 是第_个三角形数8(2015 临沂中考)观察下列关于 x 的单项式，探究其规律：x，3x 2，5x
8、3，7x 4，9x 5，11x 6，.按照上述规律，第 2015 个单项式是( )A2015x 2015 B4029x 2014C4029x 2015 D4031x 2015图形规律【经典导例】【例 2】(2015 娄底中考)如图是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个组成，第 2 个图案由 7 个组成，第 3 个图案由 10 个组成，第 4 个图案由 13 个组成，则第 n(n 为正整数) 个图案由_个组成【解析】观察发现：第 1 个图案有 32314 个三角形；第 2 个图案有 33317 个三角形；第 3 个图案有 343110 个三角形；第 n 个图案有 3(n1)31(3n1)
9、个三角形【学生解答】【方法指导】图形规律探索有以下几种类型：1求个数，方法为：(1)标序数：按图号标序；(2)找关系：找后一个图与前一个图中所求量之间的关系(一般是通过作差或作商的形式观察是否含有定量)或找出图中的所求量与序数之间的关系；(3) 算结果：计算每个给出图中所求量的个数；(4)找规律：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律； (5)归纳：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第 n 个图中所求量的个数；(6)验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确2求面积，方法为：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积为 S；(2) 通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积
10、，第三次变换后图形的面积，第四次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍数关系 n；(3) 第 M 次变换后，求得图形的面积为 nMS.1(2015 山西中考)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第 (1)个图案有 4 个三角形，第(2)个图案有 7 个三角形，第(3)个图案有 10 个三角形，依此规律，第 n 个图案有_个三角形(用含 n 的代数式表示 )2(2015 武汉中考)观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4 个点，第 2 个图中共有 10 个点，第 3 个图中共有 19 个点，按此规律第 5 个图中共有点
11、的个数是( )A31 B46 C51 D663.(2015 沧州模拟)如图，在第 1 个A 1BC 中，B30，A 1BCB；在边 A1B 上任取一点 D，延长 CA1 到A2，使 A1A2A 1D，得到第 2 个A 1A2D；在边 A2D 上任取一点 E，延长 A1A2 到 A3，使 A2A3A 2E，得到第 3个A 2A3E，按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度数是( )A( )n75 B( )n1 6512 12C( )n1 75 D( )n8512 124(2015 内江中考)如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第 2014 个图形是
12、_5(2015 衡阳中考)如图，A 1B1A2，A 2B2A3，A 3B3A4，A nBnAn1 都是等腰直角三角形，其中点A1，A 2，A n 在 x 轴上，点 B1，B 2，B n 在直线 yx 上，已知 OA11，则 OA2015 的长为_(第 5 题图)(第 7 题图)6(2014 深圳中考)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第 5 个图形中所有正三角形的个数有_7(2014 珠海中考)如图，在等腰 RtOAA 1 中，OAA 190，OA1，以 OA1 为直角边作等腰 RtOA1A2，以 OA2 为直角边作等腰 RtOA 2A3，则 OA6 的长度为_点的坐标规律【经典导例
13、】【例 3】(2015 威海中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，RtOA 1C1，RtOA 2C2，RtOA 3C3，RtOA4C4的斜边都在坐标轴上， A 1OC1A 2OC2A 3OC3A 4OC430，若点 A1 的坐标为(3 ，0)，OA1OC 2，OA 2OC 3，OA 3OC 4，则依此规律，点 A2015 的横坐标为( )A0 B3( )2014233C(2 )2015 D3( )20143233【解析】A 2OC230，OA 1OC 23，OA 2 OC23 ；OA 2OC 3 ，OA 323 233 3233OC3 3( )2；OA 3OC 43( )2，OA 4 OC
14、43( )3，OA 20153( )2014，而23 233 233 23 233 233201545033.点 A2015 在 x 轴的负半轴上，点 A2015 的横坐标为3( )2014.233【学生解答】【方法指导】求点坐标，根据图形点坐标的变换特点可知这类题有两种考查形式：一类是点坐标变换是在同一象限递推变化；另一类是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化；解决这类题的方法如下：(1)若第一个点的坐标未给出，可先由所给信息求出坐标(a，b) ；(2)根据题目中给出的线段的数量关系及角度，通过勾股定理或直角三角形的边角关系得到第二个，第三个，第四个的坐标，观察它们之间存在的比例关系，比
15、值记为n；(3)当点坐标在同一象限变换时，通过第 M 次变换后，图形的点坐标为 (nMa，n Mb)；(4)当点坐标在整个平面直角坐标系里变换，先观察点的变换规律为顺时针循环还是逆时针循环，通过第 M 次变换后，用M4w q(0q4)，当 q 0 时，点坐标所在象限与起点相同，依此类推，当确定出点坐标落在 x 轴正半轴时，点坐标为(n Mc， 0)，点坐标落在 y 轴正半轴时，点坐标为 (0，n Mc)，点坐标落在 x 轴负半轴时，点坐标为(n Mc，0) ，点坐标落在 y 轴负半轴时，点坐标为 (0，n Mc)1.(2015 靖州模拟)如图，以 O(0，0) 、A(2，0)为顶点作正OAP
16、1，以点 P1 和线段 P1A 的中点 B 为顶点作正P1BP2，再以点 P2 和线段 P2B 的中点 C 为顶点作正P 2CP3，如此继续下去则第六个正三角形中，不在第五个正三角形边上的顶点 P6 的坐标是_2(2015 聊城中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点 A1(0，1)，A 2(1，1) ，A 3(1，0) ，A 4(2，0)，那么点 A4n1 (n 是自然数) 的坐标为_3.(2015 齐齐哈尔中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，有一个等腰直角三角形 AOB，OAB90，直角边 AO 在
17、 x 轴上，且 AO1.将 RtAOB 绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰直角三角形 A1OB1，且 A1O2AO ，再将 RtA 1OB1 绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰直角三角形 A2OB2，且 A2O2A 1O，依此规律，得到等腰直角三角形A 2015OB2015，则点 A2015 的坐标为_4(2015 河北中考)如图，BOC9，点 A 在 OB 上，且 OA1，按下列要求画图：以 A 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A1，得第 1 条线段 AA1；再以 A1 为圆心，1 为半径向右画弧交 OB 于点 A，得第 2 条线段A1A2；再以 A2 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A3，得第 3 条线段 A2A3；这样画下去，直到得第 n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则 n_
