1、三角函数解答题训练 利用边角关系求最值 1.(2017石家庄一模 )在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c 且 . sinCabABc(1)求角 B 的大小； (2)点 D 满足 ，且 AD 3，求 2a c 的最大值 2C【解析】 (1) ，由正弦定理可得 ， c(a c) (a b)(a b)， sinCsinA sinB a ba c ca b a ba c即 a2 c2 b2 ac.又 a2 c2 b2 2accosB， cosB .B(0， )， B . 12 3(2)方法 1：在 ABD 中，由余弦定理得 c2 (2a)2 22accos 32， (2a
2、 c)2 9 32ac. 32ac ( )2， (2a c)2 9 (2a c)2， 2a c2 34即 (2a c)236， 2a c 6，当且仅当 2a c，即 a ， c 3 时， 2a c 取得最大值，最大值为 6. 32方法 2：在 ABD 中，由正弦定理知 2 ， 2a 2 sinBAD， c 2 sin2asinBADcsinADB3sin33 3 3ADB， 2a c 2 sinBAD 2 sinADB 2 (sinBAD sinADB) 3 3 3 2 sinBAD sin( BAD) 6( sinBAD cosBAD) 6sin( BAD ) 3 2332126BAD (0
3、， )， BAD ( ， )， 236656当 BAD ，即 BAD 时， 2a c 取得最大值，最大值是 6. 6232 (2017乌鲁木齐三 ) ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知 (2a b)sinA (2b a)sinB2csinC. (1)求 C 的大小； (2)若 c ，求 ABC 周长的最大值 3解析 (1)由正弦定理及已知条件得 (2a b)a (2b a)b 2cc，即 a2 b2 c2 ab， cosC ， 0c， C . a2 b2 c22ab1223(2)c ， ， a 2sinA， b 2sinB，设 ABC 的周长为 l， 3 asi
4、nA bsinB 332则 l a b c 2sinA 2sinB 2sinA 2sin( A) 2sinA 2sin cosA 2cos sinA 3 3 3 3 3 3 sinA cosA 2sin(A ) ， 0A ， A ， 3 3 3 3 333232 2sin(A ) 2 ，当且仅当 A 时， l 有最大值， ABC 周长的最大值为 2 . 3 33 3 63利用边角关系求面积 2.(2017福建质检 )在四边形 ABCD 中， ADBC， AB 2， AD 1， A . 23(1)求 sinADB； (2)若 BDC ，求四边形 ABCD 的面积 23【解析】 (1)如图 ，在
5、ABD 中， AB 2， AD 1， A ， 23由余弦定理，得 BD2 AB2 AD2 2ABADcosA， 即 BD2 4 1 221cos ，解得 BD . 237在 ABD 中，由正弦定理，得 ，即 ，解得 sinADB . BDsinAABsinADB7sin232sinADB217(2)方法 1：设 CBD ，因为 AD BC，所以 ADB CBD ，所以 sin . 217因为 0 ，所以 cos ， 22 77因为 BDC ，所以 sinC sin( ) sin cos cos sin . 233332114在 BCD 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 BC 7.所以 SBCD
6、BDBCsin BDsinCBCsinBDC72114BCsin2312127 ， SABD ABADsinBAD 21sin .所以四边形 ABCD 的面积 7 217 7 32 12 12 2332S SBCD SABD 4 . 7 32 32 3方法 2：如图 ，由 (1)知， sinDBC . 217因为 DBC 为锐角，所以 cosDBC ，因为 BDC ， 2 77 23所以 sinC sin( DBC) sin cosDBC cos sinDBC . 3332114在 BCD 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 BC 7.过 D 作 DF BC，垂足为 F. BDsinCBCsinB
7、DC72114BCsin23则 DF BDsinDBC . 7 217 3所以四边形 ABCD 的面积 S (AD BC)DF (1 7) 4 . 12 12 3 3所以四边形 ABCD 的面积 S (AD BC)DF (1 7) 4 . 12 12 3 3方法 3：设 CBD ，因为 AD BC，所以 ADB CBD ，所以 sin . 217因为 0 ，所以 cos .因为 BDC ，所以 sinC sin( ) sin cos cos sin . 22 77233332114如图 ，过点 D 作 DF BC，垂足为 F，则 DF BDsin . 7 217 3在 RtCDF 中， CD
8、2 ， DFsinC321147所以 SBCD BDCDsinBDC 2 sin ， 12 12 7 7 237 32因为 SABD ABADsinA 21sin ， 12 12 2332所以四边形 ABCD 的面积 S SBCD SABD 4 . 7 32 32 33 (2017福州五校二次联考 )在 ABC 中， AD 是 BC 边的中线， AB2 AC2 ABAC BC2，且 ABC 的面积为 . 3(1)求 BAC 的大小及 的值； ABC(2)若 AB 4，求 AD 的长 解析 (1)在 ABC 中，由 AB2 AC2 ABAC BC2可得 cosBAC，故 BACAB2 AC2 B
9、C22 AB AC12 120. 因为 SABC ABACsinBAC ABACsin120 ， 12 12 3所以 ABAC ，解得 ABAC 4. 12 32 3所以 | | |cos120 | | |( ) 4( ) 2. ABACABACABAC1212(2)方法 1：由 AB 4， ABAC 4 得 AC 1. 在 ABC 中，由余弦定理得 BC2 AB2 AC2 2ABACcosBAC 16 1 241( ) 21， 12故 BC ，由正弦定理 ，得 sinABC . 21 BCsinBACACsinABCACsinBACBC1 32217140ABC60，故 cosABC . 3
10、 2114在 ABD 中， AD2 AB2 BD2 2ABBDcosABD 16 24 ，得 AD . 214 212 3 2114 134 132方法 2：由 AB 4， ABAC 4 得 AC 1. 在 ABC 中，由余弦定理得 BC2 AB2 AC2 2ABACcosBAC 16 1 241( ) 21， 12得 BC ， cosABC ， 21 AB2 BC2 AC22AB BC16 21 12 4 213 2114在 ABD 中， AD2 AB2 BD2 2ABBDcosABD 16 24 ，得 AD . 214 212 3 2114 134 1324 (2017石家庄质检一 )已知
11、 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 (a c)2 b2 ac. 34(1)求 cosB 的值； (2)若 b ，且 sinA， sinB， sinC 成等差数列，求 ABC 的面积 13解析 (1)由 (a c)2 b2 ac，可得 a2 c2 b2 ac. ，即 cosB . 34 54 a2 c2 b22ac5858(2) b ， cosB ， b2 13 a2 c2 ac (a c)2 ac， 13 58 54 134又 sinA， sinB， sinC 成等差数列，由正弦定理，得 a c 2b 2 ， 1313 52 ac， ac 12.由 cosB ，
12、得 sinB ， SABC acsinB 12 . 134 58 398 12 12 398 3 394证明、求角 5.(2017课标全国 ，理 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 ABC 的面积为 . a23sinA(1)求 sinBsinC； (2)若 6cosBcosC 1， a 3，求 ABC 的周长 【解析】 (1)由题设得 acsinB ，即 csinB .由正弦定理得 sinCsinB .故 sinBsinC12 a23sinA12a3sinA12sinA3sinA. 23(2)由题设及 (1)得 cosBcosC sinBsinC ，即 co
13、s(B C) . 12 12所以 B C ，故 A .由题设得 bcsinA ，即 bc 8. 23312a23sinA由余弦定理得 b2 c2 bc 9，即 (b c)2 3bc 9，得 b c .故 ABC 的周长为 3 . 33 336 (2017长沙二模 )已知 ABC 中， AC 2， A 120， cosB sinC. 3(1)求边 AB 的长； (2)设 D 是 BC 边上一点，且 ACD 的面积为 ，求 ADC 的正弦值 3 34解析 (1)因为 A 120，所以 C 60 B，由 cosB sinC，得 cosB sin(60 B) 3 3 ( cosB sinB) cosB
14、 sinB，即 cosB sinB，从而 tanB ， 3 32 12 32 32 3 33又 0B60，所以 B 30， C 60 B 30，所以 AB AC 2. (2)由已知得 ACCDsin30 ，所以 CD . 12 3 34 3 32在 ACD 中，由余弦定理得 AD2 AC2 CD2 2ACCDcosC ，即 AD ， 74 72再由正弦定理得 ，故 sinADC . ADsinCACsinADCACsinCAD2 77利用边角关系求范围 7.(2017云梳一检测二 )已知 a， b， c 分别是 ABC 的内角 A， B， C 对的边， b . 3(1)若 C ， ABC 的面
15、积为 ，求 c； 56 32(2)若 B ，求 2a c 的取值范围 3【解析】 (1) C ， ABC 的面积为 ， b ， absinC a . 5632 31212 31232a 2.由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC 4 3 22 ( ) 13.c . 3 32 13(2)由正弦定理得 .a 2sinA， c 2sinC. asinAbsinBcsinCbsinAsinBbsinCsinB2a c 4sinA 2sinC 4sin( C) 2sinC 4(sin cosC cos sinC) 2sinC 2 cosC. 2323233B ， 0C . cosC1. 2 co
16、sC2 .2a c 的取值范围为 ( ， 2 ) 32312 3 3 3 3 38 (2017兰州实战模拟 )在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c 若 tanA tanC (tanAtanC 1) 3(1)求 B； (2)如果 b 2，求 ABC 面积的最大值 解析 (1) tanA tanC (tanAtanC 1)，即 ， tan(A C) ， 3 tanA tanC1 tanAtanC3 3又 A B C ， tanB ， B 为三角形的内角， B . 3 3(2)在 ABC 中，由余弦定理得 cosB ， a2 c2 ac 4， a2 c2 b22ac12a2 c22ac， ac4，当且仅当 a c 2 时等号成立 ABC 的面积 S acsinB 4 ， ABC 面积的最大值为 . 12 12 32 3 3
