解三角形专题复习.doc

1、1一、 解三角形专题复习1、正弦定理及其变形2(sinisinabcRABC为 三 角 形 外 接 圆 半 径 ）2,sinRC（ ） (边 化 角 公 式 ）iii2c（ ） 角 化 边 公 式 ）3:sn:sabc（ ） iiin(4),AbBBCc2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知 a， b 和 A，求 B 时的解的情况: 如果 sinAsin B，则 B 有唯一解；如果 sinA1，则 B 无解.3、余弦定理及其推论2222cosabAaBcC2222coscosbcaBabcC4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角

2、；（2）已知三边。5、常用的三角形面积公式（1） ；高底 21ABCS（2） （两边夹一角） ；BcaAbasin21sisin6、三角形中常用结论（1） ,(bcc即 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ）（2） sini(ABCab在 中 ， 即 大 边 对 大 角 ， 大 角 对 大 边 ）（3）在ABC 中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。 2ico,2ssinCBA2二、典型例题题型 1 边角互化例 1 在 中，若 ，则角 的度数为 ABC7:53sin:siCBAC例 2

3、 若 、 、 是 的三边， ，则函数abcAB 222)()( cxacbxf 的图象与 轴（ ）)(xfxA、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点 题型 2 三角形解的个数例 3在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）CA、 ， ， ； B、 ， ， ；7a14b30A25b30c15CC、 ， ， ； D、 ， ， 。5cB6a6B题型 3 面积问题例 4 的一个内角为 120，并且三边构成公差为 4 的等差数列，则 的面ABC ABC积为 题型 4 判断三角形形状例 5 在 中，已知 ,判断该三角形的形状。ABC22()sin()()sin()abA

4、BabAB3题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用例 6在 中， 分别为角 A，B，C 的对边，且 且ABC,abcsinsin()ACpBR214acb（1）当 时，求 的值；5,1p,c（2）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围。题型 6、解三角形的实际应用如图，甲船以每小时 302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 1A处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 1B处，此时两船相距 20海里，当甲船航行 2分钟到达 2处时，乙船航行到甲船的北偏西 20方向的 处，此时两船相距 0海里，问乙船每小时航行多少海里？北1B21A205甲乙4练习：1、在 b、c，向量

5、 ， ，且 。2sin,3mB2cos,1B/mn（I）求锐角 B 的大小； （II）如果 ，求 的面积 的最大值。bACABCS2、在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 .cos3osBaC（I）求 cosB 的值； （II）若 ，且 ，求 的值.2BA2和3、在 中， ， .ABC5cos10cosB（）求角 ； （）设 ，求 的面积.2ABC54、在ABC 中，A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，已知向量 ，(1,2sin)mA（I）求 A 的大小；（II）求 的值.(sin,1cos),/,3.mnbc满 足 i6B5、ABC 中， a，b，c 分

6、别是角 A，B，C 的对边，且有 sin2C+ cos（A+B）=0，.当3，求ABC 的面积。13,4a6、在ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a，b，c，已知 ，且最长边的1tan,t23AB边长为 l.求：（I）角 C 的大小； （II）ABC 最短边的长.67、在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5，c = ，且7(1) 求角 C 的大小； （2）求ABC 的面积27cos2sin48、在 中，角 的对边分别为 ，ABC、 、 abc、 、， ，且 。 求角 的大小； 当(2,)bcam(cos,)ACnmnA取最大值时，求角 的大小sii)6

7、yB9、在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 ).(RkBCA（）判断 ABC 的形状； （）若 的值.k求,2710、在 ABC 中， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边，且 .cosBCbac2（ I）求角 B 的大小； （ II）若 ，求 ABC 的面积. ba134，11、在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， ABC, ,abc25cosA3BAC（I）求 的面积； （II）若 ，求 的值612、在 中，角 的对边分别为 ， 。ABC, ,3abcB4os,35Ab（）求 的值； （）求 的面积.sinAC813、设ABC 的内角 A、

8、B、C 的对边长分别为a、b、c， , ，求 B.23cos)s(acb14、在 ABC 中， , sinB= .sin()1CA3（I）求 sinA 的值 ， (II)设 AC= ，求 ABC 的面积.615、在 中， 所对的边分别为 ， ， ABC, ,abc6A(13)2cb（1）求 ； （2）若 ，求 , ， 13BCA916、 中， 所对的边分别为 ， , .ABC, ,abcsintcoABCsin()cosAC（1）求 ； （2）若 ,求 . , 3ABCS17、在 中，ABCACAsin2i,3,5（）求 AB 的值。 （）求 的值。)4(18在 中，角 A，B,C 所对的边分

9、别为 a，b，c，已知 cos2C= - 。BCA 14（）求 sinC 的值； （）当 a=2，2sinA=sinC，求 b 及 c 的长。1019、设 是锐角三角形， 分别是内角 所对边长，并且ABC,abc,ABC。2 2sini() sin() sin3B()求角 的值； ()若 ，求 （其中 ） 。1,27a,bcc11二、 知识点复习1、正弦定理及其变形2(sinisinabcRABC为 三 角 形 外 接 圆 半 径 ）2,sinRC（ ） (边 化 角 公 式 ）iii2c（ ） 角 化 边 公 式 ）3:sn:sabc（ ） iiin(4),AbBBCc2、正弦定理适用情况：

10、（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知 a，b 和 A，求 B 时的解的情况: 如果 sinAsinB，则 B 有唯一解；如果 sinA1，则 B 无解.3、余弦定理及其推论2222cosabAaBcC2222coscosbcaBabcC4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。5、常用的三角形面积公式（1） ；高底 21ABCS（2） （两边夹一角） ；BcaAbasin21sisin6、三角形中常用结论（1） ,(bcc即 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ）（2） sini(ABCab在

11、中 ， 即 大 边 对 大 角 ， 大 角 对 大 边 ）（3）在ABC 中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)= cosC；tan(A+B)=tanC。122sinco,2ssinCBACBA二、典型例题题型 1 边角互化例 1 在 中，若 ，则角 的度数为 AB7:53sin:siBAC【解析】由正弦定理可得 a:b:c=3:5:7，,令 a、b、c 依次为 3、5、7，则 cosC= = =22abc23572因为 ，所以 C=0C23例 2 若 、 、 是 的三边， ，则函数 的图象与 轴【 abcABC 222)()( cxacbxf )(xfx】A、有

12、两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点 【解析】由余弦定理得 ，所以 =22cosbcabA22()cosfxbAx，因为 1,所以 0，因此 0 恒成立，所以其图2(cos)osbxA2cs()f像与 X 轴没有交点。题型 2 三角形解的个数例 3在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】ABCA、 ， ， ； B、 ， ， ；7a14b3025b30c15CC、 ， ， ； D、 ， ， 。5c 6a6B题型 3 面积问题例 4 的一个内角为 120，并且三边构成公差为 4 的等差数列，则 的面积为 B ABC【解析】设ABC 的三边分别： x4、x、x4，

13、C=120，由余弦定理得：x4= x4x 2 x4xcos120，解得：x=10ABC 三边分别为 6、10、14。13sin10522ABCSab题型 4 判断三角形形状例 5 在 中，已知 ,判断该三角形的形状。2()sin()()sin()abABabAB【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一： 2 2sin()si()i()i()aAB2coconb13由正弦定理，即知 22sincosiincosiABAsin()0AB2i由 ，得 或0,22即 为等腰三角形或直角三角形C方法二：同上可得 22cosincosinaABbA由正、余弦定理，即得：22acba2222

14、()()abcb即 0a或 22即 为等腰三角形或直角三角形ABC【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。 （边化角）题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用例 6在 中， 分别为角 A，B，C 的对边，且 且ABC,abcsinsin()ACpBR214acb（1）当 时，求 的值；,14p,（2）若角 B 为锐角，求 p 的取

15、值范围。【解析】 （1）由题设并由正弦定理，得 ，解得， 或51,4ac1,4ac,1ac（2）由余弦定理， =22osbB222()ososBpbB即 ，因为 ，所以 ，由题设知 ，所以31cospB0c123,p062p题型 6、解三角形的实际应用如图，甲船以每小时 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 1B处，此时两船相距 20海里，当甲船航行 20分钟到达2处时，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 2处，此时两船相距 1海里，问乙船每小时航行多少海里？14【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条

16、件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用 Svt求出边长,再进行进一步分析.解析如图，连结 1AB，由已知 210，12036A，1，又 2802B ，1A是等边三角形，2，由已知， 10B， 120564AB ，在 2A 中，由余弦定理， 2112cos45ABA0(1)00 120因此，乙船的速度的大小为 1263（海里/小时） 答：乙船每小时航行 30海里【点拨】解三角形时，通常会遇到两种情况：已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解

17、.三、课堂练习：1、满足 ，c= ，a=2 的 的个数为 m，则 为45A6ABCa2、已知 a=5，b= ， ，解三角形。30北1B21A205甲乙153、在 中，已知 ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则 的取值ABC4acmxbc60A x范围是【 】 A、 B、 C、 D、4x04x38384x4、在 中，若 则角 C= C),(4122cbaS5、设 是 外接圆的半径，且 ，试求 面积的最大值。RABC BbaCARsin)2()sin(i22AC6、在 中，D 为边 BC 上一点，BD=33， ， ，求 AD。ABC135sinB53cosADC167、在 中，已知 分别为

18、角 A，B，C 的对边，若 ，试确定 形状。ABC,abc cosaBbAC8、在 中， 分别为角 A，B，C 的对边，已知ABC,abc cos2ACcaBb（1）求 ；sin（2）若 求 的面积。1co,24四、课后作业1、在 中，若 ，且 ，则 是 ABCbcacba3)(CBAcosin2siAA、等边三角形 B、钝角三角形C、直角三角形 D、等腰直角三角形2、ABC 中若面积 S= 则角 C= )(4122cba3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔 ，在塔顶 处测得山下水平面上一点 的俯角为 ，AC在塔底 处测得点 的俯角为 ，若铁塔的高为 ，则清源山的高度为 。BChmm17

19、1、在 b、c，向量 ， ，且 。2sin,3mB2cos,1B/mn（I）求锐角 B 的大小； （II）如果 ，求 的面积 的最大值。2bACABCS(1)解：m n 2sinB(2cos2 1) cos2BB2 32sinBcosB cos2B tan2B 4 分3 3A、 B、)sin(coh )sin(cohC、 D、i i4、 的三个内角为 ，求当 A 为何值时， 取得最大值，并求出这个最大BAC、 、 cos2BCA值。5、在 中， 分别为角 A，B，C 的对边，且满足ABC,abc sincosAaC（1）求角 C 的大小（2）求 的最大值，并求取得最大值时角 A、B 的大小。3

20、sino()41802B ,2B ,锐角 B 2 分23 3(2)由 tan2B B 或3 3 56当 B 时，已知 b2，由余弦定理，得： 34a2c2ac2acacac(当且仅当 ac2 时等号成立 ) 3 分ABC 的面积 SABC acsinB ac12 34 3ABC 的面积最大值为 1 分3当 B 时，已知 b2，由余弦定理，得：564a2c2 ac2ac ac(2 )ac(当且仅当 ac 时等号成立)3 3 3 6 2ac4(2 ) 1 分3ABC 的面积 SABC acsinB ac212 14 3ABC 的面积最大值为 2 1 分35、在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别

21、为 a，b，c，且 .cos3cosBaC（I）求 cosB 的值； （II ）若 ，且 ，求 的值.2BCA2和解：（I）由正弦定理得 ，RcRasin,si,sin2,0sin.cosin3i,)s( ,cosi3iisi6cosin2ABACBBR又可 得即可 得故则因此 6 分.1co（II）解：由 ，2cos,2BaC可 得19,0)(12,cos6,3cos2aaBbaB即所 以可 得由 故又所以 ac 66、在 中， ， .ABC5cos10cosB（）求角 ； （）设 ，求 的面积.2ABC（）解：由 ， ，得 ，所以5cos10cos02、 ， 3 分23sinin.510A

22、B， 因为 6 分2cos()cos()cossinCABAB且 故 7 分0.4（）解：根据正弦定理得 ， sin6 sini 10ABCABC 10 分所以 的面积为ABC16sin.25AB7、在ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为 a、b、c，已知向量 ，(1,2sin)mA（I）求 A 的大小；（II）求 的值.(sin,1cos),/,3.mnbc满 足 i6B解：（1）由 m/n 得 2 分0os1i2即 4 分0cos2A1c或20舍去 6 分1cos,AABC的 内 角是3A（2） ab3由正弦定理， 8 分2sin3isn10 分3CB)(B26sin2sico2即

23、8、ABC 中， a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且有 sin2C+ cos（A+B）=0，.当3，求ABC 的面积。13,4ca解：由 C且0)cos(2sin有 6 分23sin0co,3iC或所 以由 ， 8 分,23sin,1,4 aca 则所 以 只 能有由余弦定理 31,04co22 bbCb或解 得有当.sin2,13sin1,3 CaSaSb 时当时9、在ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a，b ，c，已知 ，且最长边1t,ta23AB的边长为 l.求：（I）角 C 的大小； （II） ABC 最短边的长.9、解：（I）tanCtan （AB）tan（A B）

24、1tant231AB ， 5 分0C34（II）0tanBtanA，A、B 均为锐角, 则 BA，又 C 为钝角，最短边为 b ，最长边长为 c7 分21由 ，解得 9 分1tan3B10sinB由 ， 12 分sinibcBCsi510n2cbC10、在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5，c = ，且7.27cos2sin4(1) 求角 C 的大小； （2）求ABC 的面积 .10、解：(1) A+B+C=180由 1 分27cos427cos2sin42CBA得 3 分)1(1C整理，得 4 分 0cos4s2解 得： 5 分1co C=60 6 分80

25、C（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即 7=a2+b2ab 7 分 8 分 ab3)(72由条件 a+b=5 得 7=253ab 9 分 10 分ab=6 12 分23621sinCSABC2212、在 中，角 的对边分别为 ，ABC、 、 abc、 、， ，且 。(2,)bcam(cos,)ACnmn求角 的大小； 当 取最大值时，求角 的大小2isi()6yBB、解：由 ，得 ，从而0cos0bAaC由正弦定理得 2sincosicsinBAC2sinco(),2B， ， （6,(0,)A1sin0,cos3A分）2sini()(1cos2)incos2sin666y

26、BBB311icosi()6由 得， 时，()270,62B即 时， 取最大值 23y13、在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 ).(RkBCA（）判断 ABC 的形状； （）若 的值.k求,2解：（I） 1 分Bcacbos,osBaAbcCsos又3 分coini即 0ss5 分0)i(BA23BA为等腰三角形. 7 分C（II）由（I）知 ba10 分2cos2caAAB2c12 分1k14、在ABC 中，a、b、 c 分别是角 A、B、C 的对边，且 .cosBCbac2（I）求角 B 的大小； （II ）若 ，求 ABC 的面积. ba134，解：（

27、I）解法一：由正弦定理 得ABcRsinisin2aRAbcRC222sinsi， ，将上式代入已知coossinBCbaC2得即 2 0sinsicinB即 co()A BCCABA ， ， sinsisicosin20sinco ， ，012B 为三角形的内角， . B3解法二：由余弦定理得 coscosabCabc2222，将上式代入csBCb c2222得 24整理得 acbac22osB12B 为三角形内角， B3（II）将 代入余弦定理 得bac1342， ， bacB22os，acB22()os 13613ac()， . SacBABC 234sin17、 【解析】本题主要考查三

28、角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力（）A、B、C 为ABC 的内角，且 ，4,cos35BA ，23,sin35A .134siicosin20A（）由（）知 ，i,i51C又 ，在ABC 中，由正弦定理，得,3Bb .sin65bAaABC 的面积 .1634693sin25105SabC2518、解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到 sinB= (负值舍掉)，从而求出 B= 。233解：由 cos（A C）+cosB= 及 B= （A+C）得cos（A C） cos（A+

29、C）= ，32cosAcosC+sinAsinC （cosAcosC sinAsinC）= ,32sinAsinC= .34又由 =ac 及正弦定理得 21 世纪教育网 2bsinisn,BAC故 ，23i4或 （舍去） ，sinB3sin2B于是 B= 或 B= .3 又由 知 或2baccb所以 B= 。319、本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分 12 分解：（）由 ，且 ，2CAB ， ，4B2sin()(cosin)426 ，又 ，211sin(sin)3ABsin0A3si（）如图，由正弦定理得 iiCB ，又36sin21ACBs

30、ini()sincosinCABAB3263 116sin32ABCSC20、解：（1）由 得 (3)cb1sinBcC则有 =55sinsinosi666iC131cot22得 即 .cot14（2） 由 推出 ；而 ,3CBAcos13abC4即得 ,1ab则有 解得 23(1)sinicbaAC213abc21、解：(1) 因为 ，即 ，sintacoBsinisnocoCAB所以 ，sincoiiciAAA BC27即 ，sincosincosisncoCACB得 . 所以 ,或 (不成立).()()BAC)ABC即 , 得 ，所以.2A323又因为 ，则 ，或 （舍去） 1sin()

31、cos2BC6BA56得5,41A(2) ， 62sin328ABCSacac又 , 即 ，21 世纪教育网 sini2得 23.ac22、 【解析】 （1）解：在 中，根据正弦定理， ，于是ABCABCsini52sinBCA（2）解：在 中，根据余弦定理，得 ACB2cos2于是 = ，A2cos1sin5从而 53sinco2s,4ii 22A104in4cos2in)42sin(AA23、 【解析】由 sinC=2 sinB 结合正弦定理得： ，所以由于余弦定理得：323cb2cosbca22(3)osbcb28，所以 A=30，选 A。2(3)3bb215、 （2009 全国卷理）

32、在 中，内角 A、 B、C 的对边长分别为 、 、 ，已BCabc知 ，且 求 b 2acbsinco3sin,A15、解法一：在 中 则由正弦定理及余弦定理有:cosi,化简并整理得： .又由已知2223,caabbcAA22()acb2acb.解得 . 2440(或 舍 ）16、解析：（I）因为 ， ，又由 ，25cos234cos1,sin5A3ABC得 ， 21 世纪教育网 cos3,bAb1inABCSb（II）对于 ，又 ， 或 ，由余弦定理得56c5,c1,5c， 21 世纪教育网 22os20aca16、 （2009 浙江）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， ABC, ,

33、abc25cosA 3ABC（I）求 的面积； （II）若 ，求 的值6bc17、6.（2009 北京理）在 中，角 的对边分别为 ，ABC, ,3abcB。4cos,35Ab（）求 的值； （）求 的面积.in2918、 （2009 全国卷文）设ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，, ，求 B.23cos)cs(BCAacb19、 （2009 安徽卷理）在 ABC 中， , sinB= .sin()13（I）求 sinA 的值 ， (II)设 AC= ，求 ABC 的面积.620、 （2009 江西卷文）在 中， 所对的边分别为 ， ，ABC, ,abc6A(13)2cb

34、（1）求 ； （2）若 ，求 , ， C13abc21、 （2009 江西卷理） 中， 所对的边分别为 ， ,AB,C,sintacoABC.sin()cosBA（1）求 ； （2）若 ,求 . 21 世纪教育网 ,C3ABCSac22、 （2009 天津卷文）在 中， ACsin2i,35（）求 AB 的值。 （）求 的值。)42sin(23、(2010 年高考天津卷理科 7)在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若，sinC= 2 sinB，则 A=23abc3（A）30 （B）60 （C）120 （D ）15024(2010 年高考全国 2 卷理数 17） （本小题满

35、分 10 分）中， 为边 上的一点， ， ， ，求BCD3D5sin13B3cos5ACD25 （2010 年高考浙江卷理科 18）在 中，角 A，B,C 所对的边分别为 a，b，c，已CA知 cos2C= - 。14（）求 sinC 的值； （）当 a=2，2sinA=sinC，求 b 及 c 的长。26、 （2010 年高考广东卷理科 16）已知函数 在 时取得最大值 4 ()sin(3)0,(,)0fxAx12x30(1) 求 的最小正周期； (2) 求 的解析式； ()fx()fx(3) 若 ( + )= ,求 sin 231527、 （2010 年高考安徽卷理科 16） （本小题满分 12 分）设 是锐角三角形， 分别是内角 所对边长，并且ABC,abc,ABC。2 2sini() sin() sin3B( )求角 的值； ()若 ，求 （其中 ） 。1,27a,bcc5、6、7、8、11、解：依题意， ，113sin42sin,si2 2ABCSAA所以 或 ； （1 分）3A(1)当 时，BC=2 ,ABC 是直角三角形，其外接圆半径为 2，3面积为 ；. （3 分）24当 时，由余弦定理得 ，23A222cos164823BCABACBC=2 ,ABC 外接圆半径为 R= ，71sin3