1、第二章 检测试题(时间:90 分钟 满分:120 分)【选题明细表】知识点、方法 题号通项公式与递推关系式 1、2等差数列及其性质 6、7、11等比数列及其性质 5、12an与 Sn的关系 4、14数列求和 3、10、13、16综合问题 8、9、15、17、18一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)1.数列 3,5,9,17,33,的通项公式 an等于( B )(A)2n (B)2n+1 (C)2n-1 (D)2n+1解析:由于 3=2+1,5=22+1,9=23+1,所以通项公式是 an=2n+1,故选 B.2.数列a n满足 a1=1,an= (n2),则 a5的
2、值为( C )(A) (B) (C) (D) 解析:依题意 an0 且 n2 时, =1+ ,即 - =1,数列 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, =1+(5-1)1=5,a 5=.故选 C.3.(2014 淄博高二期末)数列a n的通项公式 an=n2+n,则数列 的前 10 项和为( B )(A) (B) (C) (D)解析: = =- ,S 10=-+-+ - = .故选 B.4.(2014 景德镇高二期末)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2an-2(nN +),则 an等于( A )(A)2n (B)2n+1(C)2n+1 (D)2n+2解析:当 n2 时,S
3、 n-1=2an-1-2.a n=2an-2an-1, =2.又 a1=2,a n=2n,故选 A.5.在等比数列a n中,若 a3a5a7a9a11=243,则 的值为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)9解析:因为a n是等比数列,所以 a3a11=a5a9= ,因此 a3a5a7a9a11= =243,解得 a7=3,又因为 =a7a11,所以 =a7=3.故选 C.6.(2014 宿州质检)已知a n为等差数列,其公差为-2,且 a7是 a3与 a9的等比中项,S n为a n的前 n 项和,nN *,则 S10的值为( D )(A)-110 (B)-90 (C)90 (D)1
4、10解析:由题意得(a 1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得 a1=20.S10=10a1+ (-2)=110.故选 D.7.(2014 南阳高二期末)已知等差数列a n,前 n 项和用 Sn表示,若2a5+3a7+2a9=14,则 S13等于( A )(A)26 (B)28 (C)52 (D)13解析:a 5+a9=2a7,2a 5+3a7+2a9=7a7=14,a 7=2,S 13= =a713=26.故选 A.8.(2014 九江高二检测)一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项和为34,最后 5 项和为 146,所有项的和为 234,则它的第 7 项等于( D )(A)22
5、(B)21 (C)19 (D)18解析:据题意知 a1+a2+a3+a4+a5=34,an-4+an-3+an-2+an-1+an=146,又a 1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=a5+an-4,a 1+an=36.又 Sn=n(a1+an)=234,n=13,a 1+a13=2a7=36,a 7=18.故选 D.9.已知公差不为零的等差数列a n满足 a1,a3,a4成等比数列,S n为a n的前 n 项和,则 的值为( A )(A)2 (B)3 (C) (D)4解析:设a n的公差为 d,则依题意有 =a1a4,即 =a1(a1+3d),整理得 a1d+4d2=0,
6、由于 d0,所以 a1=-4d.故 = = =2.故选 A.10.已知数列a n中,a 1=1,前 n 项和为 Sn,且点 P(an,an+1)(nN *)在直线 x-y+1=0 上,则 + + + 等于( A )(A) (B)(C) (D)解析:依题意有 an-an+1+1=0,即 an+1-an=1,所以a n是等差数列,且an=1+(n-1)=n,于是 Sn= ,所以 = =2(- ),所以 + + +=2(1-+-+- )= .故选 A.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)11.(2014 浙江嘉兴模拟)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且a1+a5=
7、3a3,a10=14,则 S12= . 解析:由 a1+a5=3a3,得 2a3=3a3,a 3=0.又 a10=14,S 12= = =614=84.答案:8412.设等比数列a n的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 = . 解析:设a n的首项为 a1,则 S4=15a1,a2=2a1, = .答案:13.(2014 青州高二检测)已知a n是等差数列,a 4=-20,a16=16,则|a1|+|a2|+|a20|= . 解析:a 16-a4=12d=36,d=3,a n=3n-32.当 n10 时,a n0.|a1|+|a2|+|a20|=-(a1+a2+a10)+(a11+a12
8、+a20)=(a20-a10)+(a19-a9)+(a11-a1)=100d=300.答案:30014.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,a1=2,nan+1=Sn+n(n+1),则a n的通项公式为 . 解析:na n+1=Sn+n(n+1),(n-1)a n=Sn-1+n(n-1)(n2) ,na n+1-(n-1)an=Sn+n(n+1)-Sn-1-n(n-1) (n2).S n-Sn-1=an,a n+1-an=2(n2),又当 n=1 时,a 2=S1+2,即 a2-a1=2,对于所有正整数 n 都有 an+1-an=2,数列a n是等差数列,其中 a1=2,公差 d=2, a
9、n=2n.答案:a n=2n三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分)15.(本小题满分 12 分)(2014 济南历城高二期末)已知数列a n为等差数列,且 a3=5,a7=13.(1)求数列a n的通项公式;(2)若数列b n满足 an=log4bn,求数列b n的前 n 项和 Tn.解:(1)设 an=a1+(n-1)d,则解得 a1=1,d=2.所以a n的通项公式为 an=1+(n-1)2=2n-1.(2)依题意得 bn= =42n-1,因为 = =16,所以b n是首项为 b1=41=4,公比为 16 的等比数列,所以b n的前 n 项和 Tn= = (16n-1).16.(本
10、小题满分 12 分)(2014 珠海高二期末)等差数列a n中,前三项分别为 x,2x,5x-4,前 n项和为 Sn,且 Sk=2550.(1)求 x 和 k 的值;(2)求 T= + + + 的值.解:(1)由 4x=x+5x-4 得 x=2,a n=2n,Sn=n(n+1),k(k+1)=2550 得 k=50.(2)S n=n(n+1), = =- ,T=(1-)+(-)+(- )=1- = .17.(本小题满分 12 分)(2014 菏泽高二期末)设数列a n为等差数列,且 a3=5,a5=9;数列b n的前 n 项和为 Sn,且 Sn=21-()n.(1)求数列a n,bn的通项公式
11、;(2)若 cn= (nN *),Tn为数列c n的前 n 项和,求 Tn.解:(1)数列a n为等差数列,则公差 d=(a5-a3)=2,因为 a3=5,所以 a1=1.故 an=2n-1,当 n=1 时,S 1=b1=1,当 n2 时,b n=Sn-Sn-1=21-()n-21-()n-1=()n-1,又 n=1 时,b 1=1 适合上式,b n=()n-1.(2)由(1)知 cn= =(2n-1)2n-1,T n=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Tn=12+322+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,-T n=1+221+222+22n-1-(2
12、n-1)2n=1+2 -(2n-1)2n=1-4+(3-2n)2n,T n=3+(2n-3)2n.18.(本小题满分 14 分)(2014 广州高二期末)已知数列a n满足 a1=,an+1= ,nN *.(1)求证:数列 -1为等比数列;(2)是否存在互不相等的正整数 m,s,t,使 m,s,t 成等差数列,且 am-1,as-1,at-1 成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的 m,s,t;如果不存在,请说明理由.解:(1)因为 an+1= ,所以 = +.所以 -1=( -1),因为 a1=,则 -1=,所以数列 -1是首项为,公比为的等比数列.(2)由(1)知, -1=()n-1= ,所以 an= .假设存在互不相等的正整数 m,s,t 满足条件,则有由 an= 与(a s-1)2=(am-1)(at-1),得( -1)2=( -1)( -1).即 3m+t+23m+23t=32s+43s.因为 m+t=2s,所以 3m+3t=23s.因为 3m+3t2 =23s,当且仅当 m=t 时等号成立,这与 m,s,t 互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数 m,s,t 满足条件.