1、专题五 线段最短问题考情分析：考察背景有：二次函数，几何图形，常考察应用“轴对称”求线段和最小值和“垂线段最短”求最小值【学法指导】利用轴对称求线段最值模型：线段和最小值模型 图形 解题策略 解题所用原理1.已知直线 l 的同一侧有两定点 A、B ，求在该直线 l 上找一点 C，使 ACBC 的值最小.作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接AB，则 AB 与直线 l的交点 C 即为所求两点之间线段最短2.已知AOB 内有一定点 P，求在角两边各找一点，使这三个点围成的三角形的周长最小. 来源:gkstk.Com分别作点 P 关于OA、OB 的对称点P1， P2， 连接 P1P2 分别交 O
2、A、OB 于点M、N，则点 M、N即为所求两点之间线段最短3.已知AOB 内有两定点 P、Q， 求在AOB 两边各找一点，使这四个点围成的四边形的周长最小分别作点 P、Q 关于OA、OB 的对称点P1，Q 1，连接 P1Q1分别交 OA、OB 于点M、N，则点 M、N即为所求两点之间线段最短4.一直线 l 上有一定长的移动线段 CD，在该直线上方有两定点 A、B(A 、C 分别在B、D 的左侧 )，求四边形 ACDB 的周长的最小值.作点 A 关于直线 l 的对称点 A，将点 B沿 DC 方向移动 DC的长得 B，连接 AB交直线 l 于点 P，将点 C 移动到 P，此时点 P 即为所求两点之
3、间线段最短5.在ABC 内找一点P，使该点到三顶点的距离之和最小.这个点即为费马点，分别以ABC 的边AB、AC 向外侧作正三角形，则这两个正三角形的外接圆的交点 P 即为所求.两点之间线段最短来源:gkstk.Com6.已知 l1l 2，在l1、l 2 间有一移动且垂直于 l1 的线段CD，求从一定点 A经过 CD 到另一定点B 的最短路径长.作点 A 关于直线 l1 的对称点 A，连接 AB交 l2 于点 P，将点 D平移到点 P，则点 P即为所求两点之间线段最短1.(2017乌鲁木齐) 如图，点 A(a，3)，B(b，1) 都在双曲线 y 上，点 C，D 分别是 x3x轴，y 轴上的动点
4、，则四边形 ABCD 周长的最小值为(B)A5 B62 2C2 2 D8 10 2 2第 1 题图第 2 题图2(2017安徽)如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD3. 动点 P 满足 SPAB S 矩形13ABCD.则点 P 到 A、B 两点距离之和 PAPB 的最小值为(D)A. B. C5 D . 29 34 2 41(导学号 12734028)来源:学优高考网第 3 题图3(2017天水)如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是边 BC 上的一点，且BE1，P 是对角线 AC 上的一动点，连接 PB、PE ，当点 P 在 AC 上运动时，PBE 周长的最小值是 6. 4.
5、在平面直角坐标系中，A、 B 两点的坐标分别为 A(3， 2)，B(1，5)(1)若点 P 的坐标为(0，m)，当 m 时，PAB 的周长最短；174(2)若点 C、D 的坐标分别为 (0，a)、(0，a4)，则当 a 时，四边形 ABDC 的周长最54短第 5 题图5(2017玉林)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，ACBC 4，D是 AB 的中点，E，F 分别是 AC，BC 上的点(点 E 不与端点 A，C 重合)，且 AECF，连接 EF 并取 EF 的中点 O，连接 DO 并延长至点 G，使 GOOD ，连接 DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形 EDFG 是正方形
6、；(2)当点 E 在什么位置时，四边形 EDFG 的面积最小？并求四边形 EDFG 面积的最小值(1)证明：点 O 是 EF 的中点 ，OE OF，又GOOD ，四边形 EDFG 是平行四边形，ABC 是等腰直角三角形，点 D 是 AB 的中点，CDADDB，CD AB， A DCB45，在ADE 和 CDF 中， AE CF， A DCB，AD CD， )ADE CDF(SAS)，ADE CDF，DEDF，四边形 EDFG 是菱形，又ADE CDE90，CDF CDE 90，即EDF90，四边形 EDFG 是正方形；(2)解：由(1)知，四边形 EDFG 是正方形，当正方形 EDFG 的边长
7、 DE 最小时，即 DEAC 时，四边形 EDFG 面积最小，ADCD，DEAECE AC2，12当点 E 是 AC 的中点时，四边形 EDFG 的面积最小，其最小值为 4.6. (2017达州)探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，可通过构造直角三角形利用图得到结论：P 1P2，他还利用图证明了线段 P1P2 的中点 P(x，y)的坐标公式：x（x2 x1）2 （y2 y1）2，y .x1 x22 y1 y22(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：(2)已知点 M(2，1)，N(3，5) ，则线段
8、 MN 长度为 ；来源:gkstk.Com61直接写出以点 A(2，2) ，B( 2，0)，C(3，1) ，D 为顶点的平行四边形顶点 D 的坐标：( 3，3) 或 (1，3)或 (7，1)；拓展：(3)如图，点 P(2，n)在函数 y x(x0) 的图象 OL 与 x 轴正半轴夹角的平分43线上请在 OL、x 轴上分别找出点 E、F ，使PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值图图图第 6 题图解：(1)设 P(x， y)，由题图 可得 Q1Qxx 1，Q 2Qx 2x，点 P 为中点，在四边形 P1Q1Q2P2 中，PQ 为中位线，Q 为 Q1Q2 中点，则 QQ1QQ 2
9、，即 xx 1x 2x，解得：x ，x1 x22同理可得：y ，线段 P1P2 的中点 P(x，y)的坐标公式：y1 y22x ，y ；x1 x22 y1 y22(3)作法：如解图，过 OL 作点 P 的对称点 P，过 轴作点 P 的对称点 P；连接PP，分别交 OL 和 x 轴于点 E、F ；此时PEF 的周长为 PP，即PEF 的周长最小；解：PQn，OP 是 OL 与 x 轴夹角的角平分线，点 P 到 OL 的距离等于 PQ，即 n，解得 n1 或 n4( 舍)，P(2，1) ，|42 3n|42 （ 3）2点 P是点 P 关于 x 轴的对称点 ，P (2，1)，k OLkPP 1，得
10、kPP ，34又直线 PP过 P(2，1)，由待定系数法解得 lPP y x ，联立解方程组34 52得y 34x 52，y 43x， ) x 65，y 85. )由中点坐标公式，易得 P( ， )，25 115则 PP ，PEF 周长的最小值为 .（25 2）2 （115 1）2 855 855第 7 题图7. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 F(2 ， 0)，直线 GF 交 y 轴正半轴于3点 G，且GFO30.(1)直接写出点 G 的坐标；(2)若O 的半径为 1，点 P 是直线 GF 上的动点，直线 PA、PB 分别与O 相切于点A、B.求切线长 PB 的最小值；(利用垂线
11、段最短求最小值) ；问：在直线 GF 上是否存在点 P，使得APB 60 ，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)G 点坐标为 (0，2)；(2)PB 为O 的切线，OBPB，PBO90，在 RtPOB 中，OB1，PB ，OP2 OB2 OP2 1当 OP 最小时，PB 最小，此时 OPFG，在 RtOPF 中，OF2 ， OFP30，OP OF ，312 3第 7 题解图PB 的最小值为 ；（3）2 1 2存在PA、PB 为O 的切线， OP 平分APB，OPB APB 6030，12 12在 RtOPB 中，OB1，OPB30，OP2OB 2，OG2，点 P 在点
12、G 的位置时，满足要求，此时 P 点坐标为(0，2) ；OFG 30，OGF60，GF2OG4，OPOG2，OPG 为等边三角形，PGOG2，点 P 为 GF 的中点，此时 P 点坐标为( ，1)，3综上所述，满足条件的 P 点坐标为(0 ，2)或( ，1)3第 8 题图8如图，O 是坐标原点，过点 A(1，0)的抛物线 yx 2bx3 与 x 轴的另一个交点为 B，与 y 轴交于点 C，其顶点为 D 点(1)求 b 的值(2)连接 BD、CD，动点 Q 的坐标为(m，1)当四边形 BQCD 是平行四边形时，求 m 的值；连接 OQ、CQ，当CQO 最大时，求出点 Q 的坐标(构造COQ 的外
13、接圆利用垂线段最短求最小值)解：(1)把 A(1，0)代入 yx 2bx3，可得 1b30，解得 b2；第 8 题解图(2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E.yx 22x3(x1) 24，D(1， 4) ，则 OE1，DE4，令 x0 得，y3；C(0，3)，令 y0 得，x 22x30，解得 x1 或 x3，OB3，OC3，AE2，如解图，过点 C 作 BD 的平行线与直线 y1 相交，则交点必为 Q，设直线 y1 与 y 轴交于点 F，则 CF4.DEFC ，FCQEDB.又CF 4DE，QFC90BED，在QFC 和 BED 中， FCQ EDB，CF DE， QFC BED， )Q
14、FC BED ，CQBD ，FQEB 2，来源:gkstk.CommFQ2；如解图，记OQC 的外心为 M，则 M 在 OC 的垂直平分线 MN 上( 设 MN 与 y 轴交于点 N)第 8 题解图连接 OM、CM，则CQO CMO OMN，MCMOMQ，12sinCQO sin OMN ，ONOM 1.5OMsinCQO 的值随着 OM 的增大而减小又MOMQ，当 MQ 取最小值是 sinCQO 最大，即 MQ 垂直直线 y1 时，CQO 最大，此时，M 与直线 y1 相切MQNF2.5，MN 2，OM2 ON2点 Q 的坐标为(2，1)根据对称性，另一点(2，1)也符合题意综上可知，Q 点坐标为(2，1)或( 2，1)
