高考数学总复习——真题试题分类汇编之函数与导数（含解析）.docx

1、第 1 页 共 30 页高考数学总复习真题试题分类汇编之函数与导数（含解析）1【2018 年浙江卷】函数 y= sin2x的图象可能是2|A. B. C. D. 【答案】D点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复2【2018 年理天津卷】已知 ， ， ，则 a， b， c的大小关系为=2 =2=1213A. B. C. D. 第 2 页 共 30 页【答案】D【解析】分析：由题意结合对

2、数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知： ， ，=21 =2=12(0,1)，=1213=232据此可得： .本题选择 D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确3【2018 年理新课标 I卷】已知函数 若 g（ x）()=e， 0， 0， ()=()+存在 2个零点，则

3、a的取值范围是A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+）【答案】C详解：画出函数 的图像， 在 y轴右侧的去掉，再画出直线 ，之后上下移动，() = =可以发现当直线过点 A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程 有两个解，也就是函数 有两个零()= ()点，此时满足 ，即 ，故选 C.1 1第 3 页 共 30 页点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线

4、，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.4【2018 年理新课标 I卷】设函数 ，若 为奇函数，则曲线()=3+(1)2+ ()在点 处的切线方程为=()(0,0)A. B. C. D. =2 = =2 =【答案】D点睛：该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过=() (0,(0)程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数的几()何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5【2018 年全国卷理】设 ， ，则=0.20.3=20.3A. B. C.

5、D. +0,0D;，所以舍去 C；因此选 B.()=(+)2()24 =(2)+(+2)3 2,()0点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 8【2018 年浙江卷】已知 R，函数 f(x)= ，当 =2时，不等式 f(x)4,24+3,4 ()=40 ()=24+3=0,=1,3 (,)当 时， ，由 在 上只能有一个零点得4 ()=4=0,=4 ()=24+3 (,).综上， 的取值范围为 .10()=2

6、+2+, 0,2+22,0. 恰有 2个互异的实数解，则 的取值范围是 _.()= 【答案】 (4 ， 8)， ，原问题等价于函数 与函数 有两2+1=(+1+1+12) 22=2+42+4 () =个不同的交点，求 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象， ()第 7 页 共 30 页同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件，结合 观察可得，实数 的取值范围= 0 是 .(4,8)点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a，

7、 b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点11【2018 年江苏卷】若函数 在 内有且只有一个零点，()=232+1()(0,+)则 在 上的最大值与最小值的和为_()1,1第 8 页 共 30 页【答案】3点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等1

8、2【2018 年江苏卷】函数 满足 ，且在区间 上，()(+4)=()() (2,2则 的值为_()= 2,012，函数的增区间为 ，所以当253,23() 23,2+3()时，函数 取得最小值，此时 ，所以=23, () =32,2=32，故答案是 .()=2(32)32=332 332点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15【2018 年全国卷理】函数 在 的零点个数为_()=(3+

9、6) 0 ， 【答案】 3第 10 页 共 30 页点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。16【2018 年全国卷理】曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则=(+1)e (0 ， 1) 2_=【答案】 3【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。详解： ，则 ，所以 ，故答案为-3.=+(+1) (0)=+1=2 =3点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。17【2018 年理数全国卷 II】曲线 在点 处的切线方程为_=2(+1) (0, 0)【答案】 =2【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解： =2+1

10、=20+1=2=2点睛：求曲线的切线要注意“过点 P的切线”与“在点 P处的切线”的差异，过点 P的切线中，点 P不一定是切点，点 P也不一定在已知曲线上，而在点 P处的切线，必以点 P为切点.18【2018 年浙江卷】已知函数 f(x)= lnx（）若 f(x)在 x=x1， x2(x1 x2)处导数相等，证明： f(x1)+f(x2)88ln2；（）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a与曲线 y=f(x)有唯一公共点【答案】（）见解析 （）见解析第 11 页 共 30 页详解：（）函数 f（ x）的导函数 ，由 得 ，因()=121 (1)=(2) 12111=122

11、12为 ，所以 由基本不等式得 因为 ，所1211+12=12 1212=1+22412 12以 由题意得 设12256 (1)+(2)=11+22=1212(12)，则 ，所以()=12 ()=14(4)x （0，16） 16 （16，+）- 0 +2-4ln2所以 g（ x）在256，+）上单调递增，故 ，即(12)(256)=882(1)+(2)882（）令 m= ， n= ，则 f（ m） kma|a|+kka0， f（ n） kna0，直线 y=kx+a与曲线 y=f（ x）有唯一公共点点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数 .根据差()=()()函数导函数符

12、号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19【2018 年理数天津卷】已知函数 ， ，其中 a1.()= ()=（I）求函数 的单调区间；()=()（II）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，=()(1,(1) =()(2,(2)证明 ；1+(2)=2（III）证明当 时，存在直线 l，使 l是曲线 的切线，也是曲线 的切线.1 =() =()【答案】()单调递减区间 ，单调递增区间为 ；()证明见解析；()证明(,0) (0,+

13、)见解析.（ III）由题意可得两条切线方程分别为 l1： .l2：1=1(1)第 13 页 共 30 页.则原问题等价于当 时，存在 ，2=12(2) 1 1(,+)，使得 l1和 l2重合.转化为当 时，关于 x1的方程2(0,+) 1存在实数解，构造函数，令111+1+1+2=0，结合函数的性质可知存在唯一的 x0，且 x00，使得()=+1+2，据此可证得存在实数 t，使得 ，则题中的结论成立.(0)=0 ()1，可知当 x变化时， ， 的变化情况如下表：()()x (,0) 0 (0,+)() 0 +() 极小值 所以函数 的单调递减区间 ，单调递增区间为 .() (,0) (0,+

14、)（ III）曲线 在点 处的切线 l1： .=()(1,1) 1=1(1)第 14 页 共 30 页曲线 在点 处的切线 l2： .=()(2,2) 2=12(2)要证明当 时，存在直线 l，使 l是曲线 的切线，也是曲线 的切线，1 =() =()只需证明当 时，存在 ， ，使得 l1和 l2重合.1 1(,+)2(0,+)即只需证明当 时，方程组 有解，1 1= 12 111=21 由得 ，代入，得 . 2= 11()2 111+1+1+2=0因此，只需证明当 时，关于 x1的方程存在实数解.1故存在唯一的 x0，且 x00，使得 ，即 .(0)=0 1()200=0由此可得 在 上单调

15、递增，在 上单调递减. ()(,0) (0,+)在 处取得极大值 .因为 ，故 ，()=0 (0) 1 ()1所以 .(0)=000+0+1+2= 10()2+0+22+20下面证明存在实数 t，使得 .由（ I）可得 ，当 时，()1有 ，所以存在实()(1+)(1)+1+2=()22+1+1+2数 t，使得 ，因此，当 时，存在 ，使得 .() ，则当 x( ，2)时， f ( x)0所以 f (x)0所以 2不是 f (x)12 12的极小值点第 16 页 共 30 页综上可知， a的取值范围是（ ，+）12点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行

16、转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.21【2018 年江苏卷】记 分别为函数 的导函数若存在 ，满足(),() (),() 0且 ，则称 为函数 与 的一个“ S点”(0)=(0) (0)=(0) 0 ()()（1）证明：函数 与 不存在“ S点”；()= ()=2+22（2）若函数 与 存在“ S点 ”，求实数 a的值；()=21 ()=（3）已知函数 ， 对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与()=2+ ()= 0 0 ()在区间 内存在“ S点”，并说明理由() (0,+)【答案】（1）证明见解析（2） a的值为

17、 （3）对任意 a0，存在 b0，使函数 f（ x）与e2g（ x）在区间（0，+）内存在“ S点”详解：解：（1）函数 f（ x）= x， g（ x）= x2+2x-2，则 f（ x）=1， g（ x）=2 x+2由 f（ x）= g（ x）且 f（ x）= g（ x），得 ，此方程组无解，=2+221=2+2 因此， f（ x）与 g（ x）不存在“ S”点（2）函数 ， ，则 （ ） =21 ()= （ ） =2 ， （ ） =1设 x0为 f（ x）与 g（ x）的“ S”点，由 f（ x0）与 g（ x0）且 f（ x0）与 g（ x0），得，即 ，（*）201=020=10 201

18、=0220=1 第 17 页 共 30 页得 ，即 ，则 当 时， 满足方程组（*），即 为0=12 0=e12 = 12(12)2=e2 =e2 0=e12 0f（ x）与 g（ x）的“ S”点因此， a的值为 e2（3）对任意 a0，设 因为()=332+，且 h（ x）的图象是不间断的，所以存在(0)=0 ， (1)=13+=200 (0)=0= 230e0(10)函数 ，则 ()=2+ ， ()=e ()=2 ， ()=e(1)2由 f（ x）与 g（ x）且 f（ x）与 g（ x），得，即 （*）2+ =e2 =e(1)2 2+ = 230e0(10)e2 = 230e0(10)

19、e(1)2 此时， 满足方程组（ *），即 是函数 f（ x）与 g（ x）在区间（0，1）内的一个“ S点”0 0因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（ x）与 g（ x）在区间（0，+）内存在“ S点”点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.22【2018 年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O的一段圆弧 （ P为此圆弧的中点）和线段 MN构成已知圆 O

20、的半径为 40米，点 P到 MN的距离为 50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为 ，要求 均在线段 上， 均在圆弧上设 OC与 MN所成的角为 , , 第 18 页 共 30 页（1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大4:3 【答案】（1）矩形 ABCD的面积为 800（4sin cos +cos ）平方米， CDP的面积为1600（cos sin cos ），sin 的取值范围是 ，1）

21、14（2）当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大6【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定 的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：第 19 页 共 30 页当 0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，所以 sin 的取值范围是 ，1）2 14答：矩形 ABCD的面积为 800（4sin cos +cos ）平方米， CDP的面积为1600（cos sin cos ），sin 的取值范围是 ，1）14（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为

22、 43，设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（ k0），则年总产值为 4k800（4sin cos +cos ）+3 k1600（cos sin cos ）=8000k（sin cos +cos ）， 0， ）设 f（ ）= 2sin cos +cos ， 0， ），2则 ()=22=(22+1)=(21)(+1)令 ，得 = ，当 （ 0， ）时， ，所以 f（ ）为增函数；当()=06 6 ()0 （ ， ）时， ，所以 f（ ）为减函数，因此，当 = 时， f（ ）取到最大6 2 ()2 ()单调递减，在 单调递增.（2）证明见解析.(0,242 ),(+242

23、,+) (242 ,+242 )详解：（1） 的定义域为 ， .() (0,+)()=121+=2+12（i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.2 ()0 =2 =1 ()=0 ()(0,+)（ii）若 ，令 得， 或 .当2 ()=0 =242 =+242时， ；当 时， .所以(0,242 )(+242 ,+) ()0在 单调递减，在 单调递增.()(0,242 ),(+242 ,+) (242 ,+242 )点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调第 21 页 共 30 页性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过

24、程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.24【2018 年全国卷理】已知函数 ()=(2+2)(1+)2（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；=0 10 ()0（2）若 是 的极大值点，求 =0 () 【答案】（1）见解析（2） =16【解析】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可。（2）分类讨论 和 ,构造函数 ,讨论 的性质即可得到 a的范围。0 0 ()0 1 ()(0)=0时， ，从而 ，且仅当 时， .=0

25、 ()=0 ()0 =0 ()=0所以 在 单调递增.又 ，故当 时， ；当 时，()(1,+) (0)=0 10.()0（2）（i）若 ，由（1）知，当 时， ，这与0 0 ()(2+)(1+)20=(0)是 的极大值点矛盾.=0 ()第 22 页 共 30 页点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论 和 ,当 时构造函数 时关键，讨论函数 的性质，本题难0 0 ()（ii）当 时， 0 ()=(2)当 时， ；当 时， (0,2) ()0所以 在 单调递减，在 单调递增()(0,2) (2,+)故 是 在 的最小值(2)=142 ()0,+)若

26、 ，即 ， 在 没有零点；(2)0 24 (0)=1 ()(0,2)由（1）知，当 时， ，所以 0 2 (4)=11634=1163(2)21163(2)4=110第 24 页 共 30 页故 在 有一个零点，因此 在 有两个零点()(2,4) ()(0,+)综上， 在 只有一个零点时， ()(0,+) =24点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.优质模拟试题26【四川省成都市 2018届模拟理】设函数 ，若存在区间()=2

27、+2，使 在 上的值域为 ，则 的取值范围是（ ）,12,+) (), (+2),(+2) A. B. C. D. (1,9+224 ) 1,9+224 (1,9+2210 1,9+2210【答案】C因为 ，所以 在 单调递增，因为 在 上的值域为,12,+) () , () ,，所以 ，所以方程 在 上有两解 ，(+2),(+2) ()=(+2)()=(+2) ()=(+2)12,+) ,作出 与直线 的函数的图象，则两图象有两个交点，若直线 过=() =(+2) =(+2)点 ，则 ，(12,94+122) =9+2210第 25 页 共 30 页若直线 与 的图象相切，设切点为 ，则 ，

28、解得=(+2)=() (0,0)0=(0+2)0=2000+22200+1= ，=1综上所述，所以实数 的取值范围是 ，故选 C. (1,9+2210点睛：本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及其应用，导数的几何意义，函数的零点与函数的图象之间的关系等知识点的综合运用，其中把函数的值域转化为着方程有两个实数根，进而转化为两函数的图象由两个交点是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.27【辽宁省葫芦岛市 2018年二模理】已知函数 ，在区间 上任取三()=+2+ 0,2个数 均存在以 为边长的三角形，则 的取值范围是（ ）1,2,3 (1),(2),(3) A. B

29、. C. D. (2,+) (2,+) (2, 356) ( 356,+)【答案】D由此能求出 的取值范围（2） +（ 2） （ 6）， 第 26 页 共 30 页详解：函数 ， ，由 得()=+2+ ()=12sin=0,0,2 （ ） =0，x=1， 时， 时， ，0,2 0， 6） ()0,6， 2 ()0，（2） +（ 2） （ 6），联立，得 故选 D356点睛：本题考查实数的求值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用28【河南省洛阳市 2018届三模理】已知函数 与 的图像有()=222()=2+4个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D

30、. (4,0) (12,2) (0,12) (0,2)【答案】C【解析】分析：函数 与 的图像有 4个不同的交点，即()=222()=2+有 4个不同的实根，由 可得 ，讨论其性质可得 的()= () ()= ()=22ln2 取值范围.第 27 页 共 30 页详解： 函数,此时 此时， 函数=12=12+222 12(2)2=0,(0)， 在 ,且()=3(3+2)(0) ()= (0)() (0,3),(3,+)()=0,可知在(0, )内, 唯一 x0( , ),使得 lnx0= x02并且 F(x)在(0,x 0),(x 0,e),(e,+)当 x(0,e)时,F(x) min =e

31、3( x x0)因(0,e), 使 2mF(x)成立,故需 2mF(x) min=e3( x x0)由此可求 m的最小整数值.详解：(1) 求导 ，设()=(1+1)(0,0)明显 g(x)在(0,+),且 g(1)=0，故 f(x)在(0,1)()=1+1(0,0),(1,+)当 时,设 ，=32 ()=()+3=3(322+)(0)， 在 ,且()=3(3+2)(0) ()= (0)() (0,3),(3,+)()=0,注意 F( )=30故在(0, )内, 唯一 x0( , ),使得 lnx0= x02并且 F(x)在(0,x 0),(x 0,e),(e,+)第 29 页 共 30 页当

32、 x(0,e)时,F(x) min =F(x0)=e3(x0lnx0 x +x0)=e3( x x0)因(0,e), 使 2mF(x)成立,故需 2mF(x) min=e3( x x0)当 x0( , )时,F(x) min=e3( x x0)( , e)( 3.32,2.51)因 2m为偶数,故需 2m2m 1,即 m的最小整数值为1点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题30【湖南省益阳市理数 5月统考】已知函数 .()=1+（1）讨论 的单调性；()（2）设 ， 是 的两个零点，证明： .1 2 () 1+24【答案】（1）见解析（2）见

33、解析详解：（1）解： ，当 时， ，则 在 上单调递增.()=1+ 0 ()0 ()当 时， ，得 ，则 的单调递增区间为 .0 (1) () (1),+)（2）证明：由 得 ，设 ，则 ，由 得 ；由()=0 =1 ()=1 ()=2 ()0 2故 .当 时， ；当 时， .()=(2)=121 ()0第 30 页 共 30 页不妨设 ，则 ， . 等价于 ， ，且14 241 412在 上单调递增，要证 ，只需证 ，即 ，()(2,+) 1+24 (2)(41)1111341即证 .设 ， ，214(13)+11(2)=0 ()上单调递增，(1,2) ， ，从而 得证.()4点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及函数零点个数的判断和函数性质的综合应用，考查了分类讨论思想，综合性较强、难度较大，第二问构造函数 ，不妨设()=1，由已知将问题转化为只需证 是关键。1(41)