1、第 1 页 共 22 页高考理科数学总复习真题试题分类汇编之函数与导数（含详解）1.（北京）能说明“若 f（x）f（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是 f（x）=sinx 【解答】解：例如 f（x）=sinx，尽管 f（x）f（0）对任意的 x（0，2都成立，当 x0， ）上为增函数，在（ ，2为减函数，故答案为：f（x）=sinx2. （北京）设函数 f（x）=ax 2（4a+1）x+4a+3e x（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x=2处取得极小值，求 a的取值范围【解答】解：（
2、）函数 f（x）=ax 2（4a+1）x+4a+3e x的导数为f（x）=ax 2（2a+1）x+2e x由题意可得曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 0，可得（a2a1+2）e=0，解得 a=1；（）f（x）的导数为 f（x）=ax 2（2a+1）x+2e x=（x2） （ax1）e x，若 a=0则 x2 时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减x=2处 f（x）取得极大值，不符题意；若 a0，且 a= ，则 f（x）= （x2） 2ex0，f（x）递增，无极值；若 a ，则 2，f（x）在（ ，2）递减；在（2，+） ， （， ）递增，可得 f（x
3、）在 x=2处取得极小值；若 0a ，则 2，f（x）在（2， ）递减；在（ ，+） ， （，2）递增，第 2 页 共 22 页可得 f（x）在 x=2处取得极大值，不符题意；若 a0，则 2，f（x）在（ ，2）递增；在（2，+） ， （， ）递减，可得 f（x）在 x=2处取得极大值，不符题意综上可得，a 的范围是（ ，+） 3. （江苏）函数 f（x）= 的定义域为 2，+） 【解答】解：由题意得： 1，解得：x2，函数 f（x）的定义域是2，+） 故答案为：2，+） 4. （江苏）函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x） （xR） ，且在区间（2，2上，f（x）=，则 f（f（15）
4、 ）的值为 【解答】解：由 f（x+4）=f（x）得函数是周期为 4的周期函数，则 f（15）=f（161）=f（1）=|1+ |= ，f（ ）=cos（ ）=cos = ，即 f（f（15） ）= ，故答案为：5. （江苏）若函数 f（x）=2x 3ax 2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为 3 【解答】解：函数 f（x）=2x 3ax 2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）=2x（3xa） ，x（0，+） ，当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+）上
5、没有零点，舍去；当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0 的解为 x ，f（x）在（0， ）上递减，在（，+）递增，又 f（x）只有一个零点，f（ ）= +1=0，解得 a=3，第 3 页 共 22 页f（x）=2x 33x 2+1，f（x）=6x（x1） ，x1，1，f（x）0 的解集为（1，0） ，f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减；f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0，f（x） min=f（1）=4，f（x） max=f（0）=1，f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（x） max+f（x） min=4+1=36. （江苏）记 f（x） ，g（x）分别为函数 f（
6、x） ，g（x）的导函数若存在 x0R，满足f（x 0）=g（x 0）且 f（x 0）=g（x 0） ，则称 x0为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点” （1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x 2+2x2 不存在“S 点” ；（2）若函数 f（x）=ax 21 与 g（x）=lnx 存在“S 点” ，求实数 a的值；（3）已知函数 f（x）=x 2+a，g（x）= 对任意 a0，判断是否存在 b0，使函数f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点” ，并说明理由【解答】解：（1）证明：f（x）=1，g（x）=2x+2，则由定义得 ，得方程无解，则 f（x）=x 与 g（
7、x）=x 2+2x2 不存在“S 点” ；（2）f（x）=2ax，g（x）= ，x0，由 f（x）=g（x）得 =2ax，得 x= ，f（ ）= =g（ ）= lna2，得 a= ；（3）f（x）=2x，g（x）= ， （x0） ，由 f（x 0）=g（x 0） ，得 b = 0，得 0x 01，由 f（x 0）=g（x 0） ，得x 02+a= = ，得 a=x02 ，第 4 页 共 22 页令 h（x）=x 2 a= ， （a0，0x1） ，设 m（x）=x 3+3x2+axa， （a0，0x1） ，则 m（0）=a0，m（1）=20，得 m（0）m（1）0，又 m（x）的图象在（0，1）
8、上连续不断，则 m（x）在（0，1）上有零点，则 h（x）在（0，1）上有零点，则 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S”点7. （全国 1卷）设函数 f（x）=x 3+（a1）x 2+ax若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）DAy=2x By=x Cy=2x Dy=x【解答】解：函数 f（x）=x 3+（a1）x 2+ax，若 f（x）为奇函数，可得 a=1，所以函数f（x）=x 3+x，可得 f（x）=3x 2+1，曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x故选：D8. （
9、全国 1卷）已知函数 f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a若 g（x）存在 2个零点，则 a的取值范围是（ ）CA1，0） B0，+） C1，+） D1，+）【解答】解：由 g（x）=0 得 f（x）=xa，作出函数 f（x）和 y=xa 的图象如图：当直线 y=xa 的截距a1，即 a1 时，两个函数的图象都有 2个交点，即函数 g（x）存在 2个零点，故实数 a的取值范围是1，+） ，故选：C第 5 页 共 22 页9. （全国 1卷）已知函数 f（x）=2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是 【解答】解：由题意可得 T=2 是 f（x）=2sinx+sin2x 的一个周期，故
10、只需考虑 f（x）=2sinx+sin2x 在0，2）上的值域，先来求该函数在0，2）上的极值点，求导数可得 f（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos 2x1）=2（2cosx1） （cosx+1） ，令 f（x）=0 可解得 cosx= 或 cosx=1，可得此时 x= ， 或 ；y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点 x= ， 或 和边界点 x=0中取到，计算可得 f（ ）= ，f（）=0，f（ ）= ，f（0）=0，函数的最小值为 ，故答案为： 10. （全国 1卷）已知函数 f（x）= x+alnx（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点
11、 x1，x 2，证明： a2【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+） ，第 6 页 共 22 页函数的导数 f（x）= 1+ = ，设 g（x）=x 2ax+1，当 a0 时，g（x）0 恒成立，即 f（x）0 恒成立，此时函数 f（x）在（0，+）上是减函数，当 a0 时，判别式=a 24，当 0a4 时，0，即 g（x）0，即 f（x）0 恒成立，此时函数 f（x）在（0，+）上是减函数，当 a2 时，x，f（x） ，f（x）的变化如下表：x （0，）（ ，）（ ，+）f（x） 0 + 0 f（x） 递减 递增 递减综上当 a2 时，f（x）在（0，+）上是减函数，当 a2 时，在（0，
12、 ） ，和（ ，+）上是减函数，则（ ， ）上是增函数（2）由（1）知 a2，0x 11x 2，x 1x2=1，则 f（x 1）f（x 2）=（x 2x 1） （1+ ）+a（lnx 1lnx 2）=2（x 2x 1）+a（lnx 1lnx 2） ，第 7 页 共 22 页则 =2+ ，则问题转为证明 1 即可，即证明 lnx1lnx 2x 1x 2，即证 2lnx1x 1 在（0，1）上恒成立，设 h（x）=2lnxx+ ， （0x1） ，其中 h（1）=0，求导得 h（x）= 1 = = 0，则 h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1） ，即 2lnxx+ 0，故 2lnxx ，则
13、 a2 成立11.（全国 2卷）函数 f（x）= 的图象大致为（ ）BA B C D【解答】解：函数 f（x）= = =f（x） ，则函数 f（x）为奇函数，图象第 8 页 共 22 页关于原点对称，排除 A，当 x=1时，f（1）=e 0，排除 D当 x+时，f（x）+，排除 C，故选：B12.（全国 2卷）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x） ，若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（ ）CA50 B0 C2 D50【解答】解：f（x）是奇函数，且 f（1x）=f（1+x） ，f（1x）=f（1+x）=f（x1） ，f（0）=0
14、，则 f（x+2）=f（x） ，则 f（x+4）=f（x+2）=f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C13.（全国 2卷）曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x 【解答】解：y=2ln（x+1） ，y= ，当 x=0时，y=2，曲线 y
15、=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x故答案为：y=2x14.（全国 2卷）已知函数 f（x）=e xax 2（1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求 a第 9 页 共 22 页【解答】证明：（1）当 a=1时，函数 f（x）=e xx 2则 f（x）=e x2x，令 g（x）=e x2x，则 g（x）=e x2，令 g（x）=0，得 x=ln2当（0，ln2）时，h（x）0，当（ln2，+）时，h（x）0，h（x）h（ln2）=e ln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2
16、） ，f（x）在（0，+）只有一个零点方程 exax 2=0在（0，+）只有一个根，a= 在（0，+）只有一个根，即函数 y=a与 G（x）= 的图象在（0，+）只有一个交点G ，当 x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递增，在（2，+）递增，当0 时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）= 15.（全国 3卷）函数 y=x 4+x2+2的图象大致为（ ）DA B C第 10 页 共 22 页D【解答】解：函数过定点（0，2） ，排除 A，B函数的导数 f（x）=4x 3+2x=2x（2x 21） ，由 f（x
17、）0 得 2x（2x 21）0，得 x 或 0x ，此时函数单调递增，排除C，故选：D16.（全国 3卷）设 a=log0.20.3，b=log 20.3，则（ ）BAa+bab0 Baba+b0 Ca+b0ab Dab0a+b【解答】解：a=log 0.20.3= ，b=log 20.3= ， = ， ， ， ，aba+b0故选：B17.（全国 3卷）曲线 y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a= 3 【解答】解：曲线 y=（ax+1）e x，可得 y=ae x+（ax+1）e x，曲线 y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得
18、a=3故答案为：318.（全国 3卷）已知函数 f（x）=（2+x+ax 2）ln（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0是 f（x）的极大值点，求 a第 11 页 共 22 页【解答】 （1）证明：当 a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x， （x1） ， ，可得 x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x 在（1，+）上单调递增，又 f（0）=0当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0（2）
19、解：由 f（x）=（2+x+ax 2）ln（1+x）2x，得f（x）=（1+2ax）ln（1+x）+ 2= ，令 h（x）=ax 2x+（1+2ax） （1+x）ln（x+1） ，h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1） 当 a0，x0 时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，故 x=0不是 f（x）的极大值点，不符合题意当 a0 时，h（x）=8a+4aln（x+1）+ ，显然 h（x）单调递减，令 h（0）=0，解得 a= 当1x0 时，h（x）0，当 x0 时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，
20、+）上单调递减，第 12 页 共 22 页h（x）h（0）=0，h（x）单调递减，又 h（0）=0，当1x0 时，h（x）0，即 f（x）0，当 x0 时，h（x）0，即 f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x=0 是 f（x）的极大值点，符合题意；若 a0，则 h（0）=1+6a0，h（e 1）=（2a1） （1e ）0，h（x）=0 在（0，+）上有唯一一个零点，设为 x0，当 0xx 0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（0，x 0）上单调递增，不符合题意；若 a ，则 h（0）=1+6a0，h（ 1）=（1
21、2a）e 20，h（x）=0 在（1，0）上有唯一一个零点，设为 x1，当 x1x0 时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（x 1，0）上单调递减，不符合题意综上，a= 19. （上海）设常数 aR，函数 f（x）=1og 2（x+a） 若 f（x）的反函数的图象经过点第 13 页 共 22 页（3，1） ，则 a= 7 【解答】解：常数 aR，函数 f（x）=1og 2（x+a） f（x）的反函数的图象经过点（3，1） ，函数 f（x）=1og 2（x+a）的图象经过点（1，3） ，log 2（1+a）=3
22、，解得 a=7故答案为：720.（上海）已知 2，1， ，1，2，3，若幂函数 f（x）=x 为奇函数，且在（0，+）上递减，则 = 1 【解答】解：2，1， ，1，2，3，幂函数 f（x）=x 为奇函数，且在（0，+）上递减，a 是奇数，且 a0，a=1故答案为：121.（上海）已知常数 a0，函数 f（x）= 的图象经过点 P（p， ） ，Q（q， ） 若2p+q=36pq，则 a= 6 【解答】解：函数 f（x）= 的图象经过点 P（p， ） ，Q（q， ） 则： ，整理得： =1，解得：2 p+q=a2pq，由于：2 p+q=36pq，所以：a 2=36，由于 a0，故：a=6故答案为
23、：622.（上海）设 D是含数 1的有限实数集，f（x）是定义在 D上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ ）BA B C D0【解答】解：设 D是含数 1的有限实数集，f（x）是定义在 D上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，故 f（1）=cos = ，故选：B第 14 页 共 22 页23.（上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族 S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当 S中 x%（0x100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）= （单
24、位：分钟） ，而公交群体的人均通勤时间不受 x影响，恒为 40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当 x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族 S的人均通勤时间 g（x）的表达式；讨论 g（x）的单调性，并说明其实际意义【解答】解；（1）由题意知，当 30x100 时，f（x）=2x+ 9040，即 x265x+9000，解得 x20 或 x45，x（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当 0x30 时，g（x）=30x%+40（1x%）=40 ；当 30x100 时，g（x）=（2x+ 90）x%+4
25、0（1x%）= x+58；g（x）= ；当 0x32.5 时，g（x）单调递减；当 32.5x100 时，g（x）单调递增；说明该地上班族 S中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最少第 15 页 共 22 页24. （天津）已知 a=log2e，b=ln2，c=log ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）DAabc Bbac Ccba Dcab【解答】解：a=log 2e1，0b=ln21，c=log =log23log 2e=a，则 a，b，c 的大小关系 cab，故选：D25.（天
26、津） 已知 a0，函数 f（x）= 若关于 x的方程 f（x）=ax 恰有 2个互异的实数解，则 a的取值范围是 （4，8） 【解答】解：当 x0 时，由 f（x）=ax 得 x2+2ax+a=ax，得 x2+ax+a=0，得 a（x+1）=x 2，得 a= ，设 g（x）= ，则 g（x）= = ，由 g（x）0 得2x1 或1x0，此时递增，由 g（x）0 得 x2，此时递减，即当 x=2 时，g（x）取得极小值为 g（2）=4，当 x0 时，由 f（x）=ax 得x 2+2ax2a=ax，得 x2ax+2a=0，得 a（x2）=x 2，当 x=2时，方程不成立，当 x2 时，a= 设 h
27、（x）= ，则 h（x）= = ，由 h（x）0 得 x4，此时递增，由 h（x）0 得 0x2 或 2x4，此时递减，即当 x=4时，h（x）取得极小值为 h（4）=8，第 16 页 共 22 页要使 f（x）=ax 恰有 2个互异的实数解，则由图象知 4a8，故答案为：（4，8）26. （天津）已知函数 f（x）=a x，g（x）=log ax，其中 a1（）求函数 h（x）=f（x）xlna 的单调区间；（）若曲线 y=f（x）在点（x 1，f（x 1） ）处的切线与曲线 y=g（x）在点（x 2，g（x 2） ）处的切线平行，证明 x1+g（x 2）= ；（）证明当 ae 时，存在直线
28、 l，使 l是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=g（x）的切线【解答】 （）解：由已知，h（x）=a xxlna，有 h（x）=a xlnalna，令 h（x）=0，解得 x=0由 a1，可知当 x变化时，h（x） ，h（x）的变化情况如下表：x （，0） 0 （0，+）h（x） 0 +h（x） 极小值 函数 h（x）的单调减区间为（，0） ，单调递增区间为（0，+） ；第 17 页 共 22 页（）证明：由 f（x）=a xlna，可得曲线 y=f（x）在点（x 1，f（x 1） ）处的切线的斜率为lna由 g（x）= ，可得曲线 y=g（x）在点（x 2，g（x 2） ）处的切线的斜
29、率为 这两条切线平行，故有 ，即 ，两边取以 a为底数的对数，得 logax2+x1+2logalna=0，x 1+g（x 2）= ；（）证明：曲线 y=f（x）在点（ ）处的切线 l1： ，曲线 y=g（x）在点（x 2，log ax2）处的切线 l2： 要证明当 a 时，存在直线 l，使 l是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=g（x）的切线，只需证明当 a 时，存在 x1（，+） ，x 2（0，+）使得 l1与 l2重合，即只需证明当 a 时，方程组由得 ，代入得：，因此，只需证明当 a 时，关于 x1 的方程存在实数解设函数 u（x）= ，既要证明当 a 时，函数 y=u（x）存在
30、零第 18 页 共 22 页点u（x）=1（lna） 2xax，可知 x（，0）时，u（x）0；x（0，+）时，u（x）单调递减，又 u（0）=10，u = 0，故存在唯一的 x0，且 x00，使得 u（x 0）=0，即 由此可得，u（x）在（，x 0）上单调递增，在（x 0，+）上单调递减，u（x）在 x=x0处取得极大值 u（x 0） ，故 lnlna1 = 下面证明存在实数 t，使得 u（t）0，由（）可得 ax1+xlna，当 时，有u（x） = 存在实数 t，使得 u（t）0因此，当 a 时，存在 x1（，+） ，使得 u（x 1）=0当 a 时，存在直线 l，使 l是曲线 y=f（
31、x）的切线，也是曲线 y=g（x）的切线27. （浙江）函数 y=2|x|sin2x的图象可能是（ ）D第 19 页 共 22 页A B C D【解答】解：根据函数的解析式 y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除 A和 B当 x= 时，函数的值也为 0，故排除 C故选：D28. （浙江）我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 x，y，z，则 ，当 z=81时，x= 8 ，y= 11 【解答】解： ，当 z=81时，化为： ，解得 x=8，y=11故答案
32、为：8；1129.（浙江）已知 R，函数 f（x）= ，当 =2 时，不等式 f（x）0 的解集是 x|1x4 若函数 f（x）恰有 2个零点，则 的取值范围是 （1，3 【解答】解：当 =2 时函数 f（x）= ，显然 x2 时，不等式 x40 的解第 20 页 共 22 页集：x|2x4；x2 时，不等式 f（x）0 化为：x 24x+30，解得 1x2，综上，不等式的解集为：x|1x4函数 f（x）恰有 2个零点，函数 f（x）= 的草图如图：函数 f（x）恰有 2个零点，则 （1，3故答案为：x|1x4；（1，330.（浙江）已知函数 f（x）= lnx（）若 f（x）在 x=x1，x
33、 2（x 1x 2）处导数相等，证明：f（x 1）+f（x 2）88ln2；（）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a与曲线 y=f（x）有唯一公共点【解答】证明：（）函数 f（x）= lnx，x0，f（x）= ，f（x）在 x=x1，x 2（x 1x 2）处导数相等， = ，x 1x 2， + = ，第 21 页 共 22 页由基本不等式得： = ，x 1x 2，x 1x2256，由题意得 f（x 1）+f（x 2）= = ln（x 1x2） ，设 g（x）= ，则 ，列表讨论：x （0，16） 16 （16，+）g（x） 0 +g（x） 24ln2 g（x）在256，+
34、）上单调递增，g（x 1x2）g（256）=88ln2，f（x 1）+f（x 2）88ln2（）令 m=e（|a|+k） ，n=（ ） 2+1，则 f（m）kma|a|+kka0，f（n）knan（ k）n（ k）0，存在 x0（m，n） ，使 f（x 0）=kx 0+a，对于任意的 aR 及 k（0，+） ，直线 y=kx+a与曲线 y=f（x）有公共点，由 f（x）=kx+a，得 k= ，设 h（x）= ，则 h（x）= = ，第 22 页 共 22 页其中 g（x）= lnx，由（1）知 g（x）g（16） ，又 a34ln2，g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，h（x）0，即函数 h（x）在（0，+）上单调递减，方程 f（x）kxa=0 至多有一个实根，综上，a34ln2 时，对于任意 k0，直线 y=kx+a与曲线 y=f（x）有唯一公共点
