1、任一物理量(如位移、电流等)在某一量值附近随时间做周期性变化。,振动分类,物体或物体的某一部分在一定位置附近作来回往复的运动。,机械振动：,广义振动：,9-1 简谐振动的动力学特征,最简单最基本的线性振动。,简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。,一、弹簧振子模型,弹簧振子：弹簧物体系统,平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置,轻弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律,物体可看作质点,简谐振动 微分方程,振动的成因：,回复力 + 惯性,运动分析:,加速度 与位移的大小x成正比，方向相反,简谐运动的特征：,单摆,当 时,二、微振动
2、的简谐近似,摆球对C点的力矩,令,结论：单摆的小角度（ ）摆动振动是简谐振动。,复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体,结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。,当 时,其通解为：,一、简谐振动的运动学方程,9-2 简谐振动的运动学,简谐振动的微分方程,简谐振动的运动学方程,二、描述简谐振动的特征量,1、振幅 A,简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。,初始条件,2、周期 、频率、圆频率,周期T ：物体完成一次全振动所需时间。,单位：秒（s）,角频率,系统在2秒内完成的振动次数,周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关,频率 ：单位时间内振动的次数。,单位：赫兹（Hz）,对弹簧
3、振子,单摆,复摆,固有角频率 固有周期 固有频率,0 是t =0时刻的位相初位相,3、位相和初位相,位相，决定谐振动物体的运动状态,位相差 两振动位相之差。,当 =2k ,k=0,1,2,两振动步调相同,称同相,当 =(2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反,称反相,2 超前于1 或 1滞后于 2,位相差反映了两个振动不同程度的参差错落,例1: 如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cmt=0时 x0= -9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； （2）若取x0=0，v00为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。,解：, 确定平衡位置 mg=k l
4、取为原点k=mg/ l 令向下有位移 x, 则 f = mg-k(l +x)= -kx= ma 作谐振动 设振动方程为,由初条件t=0时 x0= -9.8cm, v0=0 得:,由x0=Acos0= -0.0980 cos00, 取0=,振动方程为：x=9.810-2cos(10t+) m,0=,(2)按题意,t=0 时 x0=0，v00,x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2,v0= -Asin 0 , sin 0 0, 取0=3/2, x=9.810-2cos(10t+3/2) m,对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变,固有频率,例3：由图中的xt振动曲线写出振
5、动方程。,解：,另由t=5秒时 x=0 得：,分析xt曲线知：振子在 5 秒内，未振动半个周期，说明,自Ox轴的原点O 作一矢量 ，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量 在 Oxy 平面内绕点O 作逆时针方向的匀角速转动，其角速度 与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.,三、简谐振动的旋转矢量表示法,1. 矢量 的模等于振幅A 2. t=0时矢量与x轴的夹角等于初相 3. 矢量以角速度 逆时针转动,则 在x轴上的投影为：,用旋转矢量表示相位关系,同相,反相,谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系,由图可见：,例：由图中的xt振动曲线写出振动方程。,解：,运用振幅旋转矢量分析，得：,5秒内振幅
6、矢量转过的弧度角为：,例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。,解：方法1,设振动方程为,故振动方程为,方法2：,用旋转矢量法辅助求解。,v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位,由图知,因为1秒内的角位移为,以弹簧振子为例,谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数,9-3 简谐振动的能量,动能,势能,情况同动能。,机械能,简谐振动系统机械能守恒,由起始能量求振幅,实际振动系统,系统沿x轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。,在该位置（取x=0）
7、附近将势能函数作级数展开,微振动系统一般可以当作谐振动处理,一、同方向、同频率谐振动的合成,合振动是简谐振动, 其频率仍为,质点同时参与同方向同频率的谐振动 :,合振动 :,9-4 简谐振动的合成,如 A1=A2 , 则 A=0,两分振动相互加强,两分振动相互减弱,分析,二.方向相互垂直、同频率的简谐振动的合成,质点运动轨迹,（椭圆方程）,两相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图,合振动不是简谐振动,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,三. 同方向不同频率简谐振动的合成,分振动,合振动,拍 合振动忽强忽弱的现象,拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|,四、两不同频率垂直振动合成,一、
8、阻尼振动,阻尼振动,能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。,摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。,辐射阻尼： 振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。,9-5 阻尼振动 受迫振动 共振,阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）,振子动力学方程,振子受阻力,系统固有角频率,阻尼系数,弱介质阻力是指振子运动速度较低时， 介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比,阻力系数,弱阻尼,每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。,阻尼振动的振幅按指数衰减,阻尼振动的准周期,临界阻尼,系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来,过阻尼,系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置,二、 受迫振动,受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。,弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程,令,周期性外力策动力,稳定解,(1)频率: 等于策动力的频率 p,(2)振幅:,(3)初相:,特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化,三、共振,在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象。,1、位移共振,(1)共振频率 :,(2)共振振幅 :,2、速度共振,一定条件下, 速度振幅极大的现象。,速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。,
