1、 第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 1 页第十章 机械振动本章前言 本章学习目标1、理解什么是简谐振动，理解描述简揩振动的几种方法。2、掌握简揩振动的基本规律。3、理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成。 本章教学内容1、简谐振动、简谐振动的运动学方程1.1 简谐振动、简谐振动的运动学方程1.2 振幅、频率、相位1.3 简谐振动的速度和加速度2、简谐振动的旋转矢量表示法3、简谐振动的能量4、同方向同频率简谐振动的合成 本章重点相位概念的理解及掌握简揩振动的基本规律。同方向同频率简谐振动的合成。 本章难点相位概念的理解。 大 学 物 理 教 案 作者：王晋国 本章 共 26
2、页 第 2 页10.1 简谐振动的运动学方程10.1.1 简谐振动一、振动的概念所谓振动是指物理量在某一个数值附近来回往复的变化。绝大多数物理量都能实现振动。最常见的是力学量和电磁学量的振动。如位置、速度、加速度的振动，力、动量和能量等力学量的振动，统称为机械振动；如电流、电压、电功率、电磁场等电磁学量的振动，统称为电磁震荡。机械振动比较直观，易于理解，在大学物理中我们主要讨论机械振动。从振动的形式来看，有连续振动和非连续(脉冲)振动，有周期振动和非周期振动等等，其中最简单的是简谐振动。简谐振动的规律简单而和谐，而且可以证明，一切复杂的振动都可以看作是多个简谐振动的合成（付里叶分解），因而讨论
3、简谐振动也就是讨论所有振动的基础。二、简谐振动如果一个物体对于平衡位置的位移按余弦函数的规律随时间变化，我们说物体的运动是简谐振动。例如弹簧振子的无阻尼振动就是简谐振动。如图所示，一个轻质弹簧的一端固定，另一端结一个可以在水平光滑面上自由运动的物体，若所有的摩擦都可以忽略，这就是一个无阻尼的弹簧振子。在弹簧处于自然长度时，物体处于平衡位置 O，以 O 为原点第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 3 页设立 Ox 坐标轴。如果移动物体到 x=A 处然后释放，则物体会在Ox 坐标轴上 O 点两侧作往复运动。把物体当作质点来讨论，可以证明物体对于平衡位置的位移(如果选取平衡点为坐标轴
4、的原点，也可以称为位置) x 将按余弦函数的规律随时间 t 变化，因此，物体的这种振动就是简谐振动。10.1.2 简谐振动方程一、简谐振动的运动学方程根据简谐振动的定义，从运动学角度可得描写简谐振动的数学表达式为其中 A、 和 为常量。上式称为简谐振动的运动方程，简称为谐振方程（运动学方程）。二、简谐振动曲线简谐振动也可以用振动曲线来描述，称为谐振曲线，如下图所示。图中A=0.02 米，周期 T=0.4 秒。弹簧振子的简谐振动大 学 物 理 教 案 作者：王晋国 本章 共 26 页 第 4 页简谐振动的振动曲线三、简谐振动的微分方程将简谐振动方程对时间微分两次，即得它的加速度与它对于平衡位置的
5、位移的关系 ，改写为这是一个二阶线性齐次微分方程，称为简谐振动的微分方程，简称为谐振微分方程。按照微分方程理论，这个方程的通解就是其中 A 和 是积分常量。可见，满足谐振微分方程 的物理量是一个谐振量，它的运动是简谐振动。上式中物理量 x 替换成其它物理量，如速度、加速度，角位移、角速度，甚至是电磁学量，如电流、电压、电场强度和磁感应强度。无论是什么物理量，只要它满足谐振微分方程，它的运动形式就是简谐振动。四、简谐振动的动力学特征第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 5 页根据牛顿第二定律，质量为 m 的质点在 x 方向作简谐振动，它所受的合外力应该是所以物体做简谐振动时，合力
6、为由于简谐振动的 m、 都是常量，所以可以说：作简谐振动的质点所受的的合外力的大小与它对于平衡位置的位移成正比而方向相反。我们把这样的力称为正比回复力。这是简谐振动的一个重要特征，也叫动力学特征。反过来，如果一个质点沿 x 方向运动，它受到的合外力为正比回复力，即则由牛顿第二定律，可得或令即有这正是谐振微分方程，表示 x 是一个谐振量，即大 学 物 理 教 案 作者：王晋国 本章 共 26 页 第 6 页由此我们得到一个结论：若质点所受的合外力是正比回复力，则质点的运动是简谐振动，这可作为简谐振动的动力学定义。简谐振动的 由上式决定。这意味着， 是由振动系统本身的力学性质(包括物体的质量和力的
7、性质 )所决定的。所以我们把 称为振动系统的固有角频率。对刚体的转动可以进行同样的讨论。如果一个刚体绕 O 轴转动，它受到的合外力矩为正比回复力矩，即则由转动定律可得令即有这也是一个谐振微分方程，表示刚体对于平衡位置的角位移 是一个谐振量，即其中 表示角位移的振幅。因此可以说，若刚体所受的合外力矩是正比回复力矩，则刚体的转动是简谐振动。10.1.3 描写简谐振动的物理量根据简谐振动方程第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 7 页我们可以看到决定物体简谐振动特征物理量是其中 A、 和 。它们称为描写简谐振动的物理量。名称定义如下。一、振幅上式中的 A 表示质点可能离开原点的最大距
8、离，它给出了质点运动的范围。这个量叫做振动的振幅。由于振幅 A 是一个常量，因而简谐振动的全部变化都反映在余弦函数的变化之中。二、角频率、周期、频率上式中的 叫角频率。由上一个知识点我们知道，角频率是振动系统固有的特征量，由系统特征量确定。余弦函数是周期函数，振动物体运动状态完全重复一次，称为物体进行了一次全振动。物体进行一次全振动所需要的时间叫振动的周期，以 T 表示。从简谐振动方程我们看到周期一定满足如下公式（余弦函数周期性）得到这就是周期与角频率的关系。单位时间内物体全振动的次数叫做简谐振动的频率，用 表示。显然它是周期 T 的倒数即也可以使用角频率表示为大 学 物 理 教 案 作者：王
9、晋国 本章 共 26 页 第 8 页由于 和 成正比，所以把它叫做振动的角频率， ，T 或 都描述简谐振动的周期性。为了方便，我们把以上 ，T 和 的关系一并记作显然， ，T 和 这三个量中，只要有一个知道了，其余两个也就很容易得到。在国际单位制中，T 的单位是 s， 的单位是 Hz(或 s1)， 的单位是 rad/s(或s1)。三、相位和初相在简谐振动方程中余弦函数中的变量 叫做振动的相位。记作简谐振动的状态仅随相位的变化而变化，因而相位是描述简谐振动的状态的物理量。相位是一个非常重要的概念，大家要注意两点：相位与时间一一对应，相位不同是指时间先后不同。相位是以角度的方式初相便于我们讨论振动
10、的细节。上式对时间求导，可得故角频率表示相位变化的速率，是描述简谐振动状态变化快慢的物理量。是一个常量，表示相位是匀速变化的。相位的一般表达式中的 叫初相，即 t=0 时的相位，初相描述简谐振动的初始状态。在时间从 t1到 t2的过程中，相位从 变化到 ，相位变化它和相应的时间变化 的关系为：第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 9 页其直观的物理意义是：相位变化等于相位变化的速率与变化的时间之积。将上式进一步记作此式表明，时间每过一个周期 ，则相位增加 。相位差与时间差的关系还常常用于讨论两个振动的同步。例如，有下列两个简谐振动：它们的相位差（简称相差）为相差描述同一时刻两个
11、振动的状态差。从上式可以看出，两个连续进行的同频率的简谐振动在任意时刻的相差都等于其初相差而与时间无关。由这个相差的值可以分析它们的步调是否相同。如果 (或者 2 的整数倍)，两振动质点将同时到达各自的极大值，并且同时越过原点并同时到达极小值，它们的步调始终相同。这种情况我们说二者同相。如果 (或者 的奇数倍)，两振动质点中的一个到达极大值时，另一个将同时到达极小值，并且将同时越过原点并同时到达各自的另一个极值，它们的步调正好相反。这种情况我们说二者反相。当 为其它值时，我们一般说二者不同相。例如对于下面两个简谐振动：它们的相差为 =/2，即 振动的相位始终要比 振动的相位大 /2。大 学 物
12、 理 教 案 作者：王晋国 本章 共 26 页 第 10 页两个同频率的简谐振动的振动曲线上图描出了这两个振动的振动曲线(为了便于讨论相位差，我们把两个振动的振幅设为相同，图中实线表示 振动，虚线表示 振动)。从图中可以看出，在t=0 时， 振动的相位为 0， 振动的相位为 /2，在 t=T/4 时， 振动的相位变为了 /2，而 振动的相位则变为 。对于这种情况，我们说 振动在相位上超前振动 /2，或说成是 振动落后于 振动 /2，即两个振动比较，相位大的一个称为超前，相位小的一个称为落后。从时间上看，我们可以说 振动超前 振动T/4，即 振动必须要在 T/4 后才能到达 振动现在的状态。也就
13、是说，两个振动比较，时间因子大的一个称为超前，时间因子小的一个称为落后。两个同频率的简谐振动的相差 和时间差 t 的关系，仍然可以表示为表示一个振动的时间每超前一个周期，则它的相位超前 2。对于一个简谐振动，如果 A， 和 都知道了，这个振动也就完全清楚了。因此，这三个量叫做描述简谐振动的三个特征量。10.1.4 简谐振动的速度与加速度一、简谐振动的速度和加速度由谐振方程，可求得任意时刻质点的振动速度和加速度：第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 11 页广义地说，简谐振动 x 的速度 v、加速度 a 也都是简谐振动。它们振动的频率相同；它们的振幅分别为 A、 和，即依次多一个
14、因子 ；它们的相位依次超前 /2。它们的相互关系可用右图所示的曲线表示，为了突出相位，图中把振幅的大小作得相同。从图中可以看出，它们的频率相同，相位依次超前 /2，因而加速度和位移反相。和振动方程比较亦可以看出这一关系式说明，简谐振动的加速度和位移的大小成正比而方向相反。二、振幅和初相与初始条件的关系t0 时的速度和加速度称为初始条件。由简谐振动方程和其速度方程，我们有所以我们有简谐振动的 x，v ， a随时间变化的关系曲线大 学 物 理 教 案 作者：王晋国 本章 共 26 页 第 12 页上述关系式称为振幅和初相与初始条件的关系。由此可知，只要初始条件确定质点简谐振动的振幅和初相就是确定的
15、。10.2 简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动除了用谐振方程和谐振曲线来描述以外，还有一种很直观，很方便的描述方法，称为旋转矢量表示法。在一个平面上作一个 Ox 坐标轴，以原点 O为起点作一个长度为 A 的矢量 A，A 绕原点 O 以匀角速度 沿逆时针方向旋转，称为旋转矢量，矢量端点在平面上将画出一个圆，称为参考圆。设 t=0 时矢量 A与 x 轴的夹角即初角位置为 ，则任意 t 时 A 与 x 轴的夹角即角位置为 ，矢量的端点 M 在 x 轴上投影点 P 的坐标为这与简谐振动定义式完全相同。由此可知，旋转矢量的端点在 x 轴上的投影的运动就是简谐振动。显然，一个旋转矢量与一个简谐振动相对应，其
16、对应关系是：旋转矢量的长度就是振动的振幅，因而旋转矢量又称为振幅矢量；矢量的角位置就是振动的相位，矢量的初角位置就是振动的初相，矢量的角位移就是振动相位的变化；矢量的角速度就是振动的角频率，即相位变化的速率；矢量旋转的周期和频率就是振动的周期和频率。我们在讨论一个简谐振动时，用上述方法作一个旋转矢量来帮助分简谐振动的矢量图第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 13 页析，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有利于问题的解决。如图所示为 t=0 时某两个振动的旋转矢量图。其中 A1是振动对应的旋转矢量， A2是振动对应的旋转矢量。由于旋转矢量的角位置表示振动的相
17、位，因而它们的夹角代表它们的相位差。如果是两个同频率的简谐振动，则旋转矢量的角速度相同，它们的相位差不随时间改变。从图中可以看出，振动的相位 (矢量的角位置 )始终要比 振动的相位大 /2，即超前 /2。 振动到达一个状态后， 振动总要在 T/4 后才能到达这个状态，即 振动超前 振动T/4。由于 ，所以也可以说是 振动超前 振动 3/2。为了表述的一致性，我们约定把 的值限定在 p 以内，对于上面的两个简谐振动，我们统一说成是 振动超前 振动 /2，或说成是 振动落后于 振动 /2。而不说是 振动超前 振动 3/2 或 振动落后于 振动 3/2。【例 1】一质点沿 x 轴作简谐振动，振幅为
18、A，周期为 T。 (1) 当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=A/2，质点向 x 轴正向方运动，求质点振动的初相；(2) 质点从 x=0 处运动到 x=A/2 处最少需要多少时间？ 两个同频率的简谐振动的旋转矢量大 学 物 理 教 案 作者：王晋国 本章 共 26 页 第 14 页【解】(1) 当 t=0 时，质点的位移 x0=A/2，故 t=0 时的矢量图中的旋转矢量应与 x 轴构成 600 角，即与 x 的夹角为 =/3 或 =-/3，见图(a)。若 =/3，注意到矢量的转动方向是沿逆时针方向的，所以此时矢量端点 M 的投影正向 x 轴负方向运动，这不合题意；若 =-/3，此时矢量
19、端点 的投影正向 x 正方向运动，合题意。故质点振动的初相应为 =-/3。(2) 质点从位移为 x=0 处运动到 x=A/2 处的过程，在图(b) 中即为质点从 O 点运动到 a 点的过程。由于质点的运动不是匀速运动，所以运动时间在 x 轴上不能直接判断出来。在矢量图中，质点从 x=0 处运动到 x=A/2 处的过程，旋转矢量是从 =-/2 处转动到 =-/3 处，转过了 /6 的角度。由于矢量的转动是匀角速转动，转动一周的时间是 T，故转过 /6 的时间应为 T/12，这也就是质点从 x=0 处运动到 x=A/2 处所需要的最短的时间。【例 2】一质点作简谐振动的振动曲线如图，求质点的振动方
20、程。第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 15 页【解】从图中可以直接看出质点振动的振幅为 A=2cm。在 t=0 时，质点的位移 x0=A/2，而质点的速度(曲线的斜率)为负值，并可知质点振动的初相为 =/3。在 t=2s 时，质点的位移 x0=A/2，而质点的速度为正值，从矢量图分析可知，质点振动的相位应该为 =5/3（注意此处不能取 =-/3，因为相位是随时间单调增加的）。在 t=0 到 t=2s 的过程中，相位从 =/3 变化到 =5/3，经历的时间为 t=2s，相位的改变为 =4/3。振动的角频率 ，即相位变化的速率为=/t=2/3故质点的振动方程为(cm)【例 3】
21、一质点沿 x 轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期 T=2s，当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时刻质点向 x 正向运动。求：(1)简谐振动的运动方程；(2)t=T/4 时，质点的位移、速度、加速度。大 学 物 理 教 案 作者：王晋国 本章 共 26 页 第 16 页【解】(1) 取平衡位置为坐标原点。设位移表达式为其中 A=0.12m， ，下面我们用矢量图来求初相 。由初始条件，t=0 时 x0=0.06m=A/2，质点向 x 正向运动，可画出如图(a)所示的旋转矢量的初始位置（图中略去了参考圆），从而得出 。于是此简谐振动的运动方程为(2) 此简谐振动的速度为
22、加速度为将 代入谐振方程、速度和加速度的表达式可分别得质点在 t=0.5s时的位移为x=0.104m速度为加速度为第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 17 页此时刻旋转矢量的位置如图(b)所示。10.3 简谐振动的能量下面我们以弹簧振子为例来讨论简谐振动的能量。实际上，任何一个简谐振动的物体，由于它们受到的合外力为正比回复力 ，都相当于一个弹簧振子。不同的是，它们的 k 值不是劲度系数，而是其它的由系统的力学性质决定的常数而已。利用简谐振动方程及其速度方程，可得任意时刻一个弹簧振子的弹性势能和动能由可得到因此，弹簧振子的机械能为大 学 物 理 教 案 作者：王晋国 本章 共
23、26 页 第 18 页可见弹簧振子的机械能不随时间改变，即其能量守恒。这是由于无阻尼自由振动的弹簧振子是一个孤立系统，在振动过程中没有外力对它做功的缘故。上面的结果还表明弹簧振子的总能量和振幅的平方成正比，这一点对其它的简谐振动系统也是正确的。这意味着振幅不仅描述简谐振动的运动范围，而且还反映振动系统能量的大小。把动能和势能的表达式改写为可见弹簧振子做简谐振动时的动能和势能都在谐振，见上图。它们的平衡点在系统机械能一半的地方处即 处，能量的振幅亦为 。动能和势能谐振的频率均为位移振动频率的两倍，它们振动的相位相反，因而它们的总和即机械能守恒。【例 1】一个弹簧振子沿 x 轴作简谐振动，已知弹簧
24、的劲度系数为 ，物体质量为 m=0.1kg，在 t=0 时物体对平衡位置的位移 ，速度。写出此简谐振动的表达式。【解】要写出此简谐振动的表达式，需要知道它的三个特征量 A、 和 ，角频率决定于系统本身的性质，由弹簧振子的能量第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 19 页A 和 由初始条件决定，再由和由于 ，所以取 。于是，以平衡位置为原点所求简谐振动的表达式应为m【例 2】一匀质细杆的长度为 l，质量为 m，可绕其一端的轴 O 在铅垂面内自由转动，如图所示。求杆作微小振动时的周期。【解】细杆所受的合外力矩是重力矩。如图所示，在细杆偏离平衡位置为 角时(设逆时针方向为正方向)，杆
25、受重力矩为其中负号表示重力矩的方向与角位移的方向相反。对于微振， 很小，可以认为 ，所以大 学 物 理 教 案 作者：王晋国 本章 共 26 页 第 20 页其中可见杆受到的力矩为正比回复力矩，故杆的振动为简谐振动。细杆绕 O 轴转动的转动惯量为则细杆微小振动的周期为即【例 3】弹簧振子的劲度系数为 k，质量为 m，可沿 x 轴作简谐振动，刚开始时振子静止在平衡点 O。用恒定的外力 沿 x 轴正方向拉动振子到 x=a 处放手，其中 a 为一正常量。以放手时作为时间零点，求振子的运动方程。【解】要得到振子的运动方程，需要确定它的三个特征量 A、 和 。其中角频率取决于弹簧振子的自身的性质 。下面
26、我们用功能关系来分析它的振幅。按功能原理，弹簧振子的能量等于外力作的功，故有由此式可解得振动的振幅为 放手时振子的位移 ，且速度为正，由旋转矢量图容易判断，此时第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 21 页振子的相位为 。按题意，此即振动的初相。故弹簧振子的运动方程为 10.4 同方向、同频率简谐振动的合成振动的合成是运动叠加原理在振动中的表现。在实际问题中，振动的合成是经常发生的事情。例如，当两列声波同时传到空间某一点时，该处质点的运动就是两个振动的合成。一般的振动合成问题比较复杂，下面我们先讨论振动方向和振动频率都相同的两个简谐振动的合成，这在我们后面讨论波的干涉时十分重要
27、。设两个振动都发生在 x 方向，振动的频率均为 ，振动方程分别为式中 、 和 ， 分别为两个振动的振幅和初相。按运动的迭加原理，在任意时刻合振动的位移为大 学 物 理 教 案 作者：王晋国 本章 共 26 页 第 22 页以上合成的计算可以用三角函数公式求得结果，但是利用振动的矢量图来分析，可以更直观、更简捷地得出结论。如图所示，A 1，A 2 分别表示简谐振动 和 的旋转矢量，如前所述，他们在 x 轴上投影的坐标即表示简谐振动 和 ，我们要求它们的和 。作 A1、A 2 的合矢量 A，矢量 A 的端点在x 轴上投影的坐标是 ，这正好是我们要求的合振动的位移。为了求矢量 A 的端点在 x 轴上
28、投影的坐标，我们首先分析 A 的变化规律。由于两个振动的角频率相同，即 A1，A 2 以相同的角速度 匀速旋转，所以在旋转过程中图中平行四边形的形状保持不变，因而合矢量 A 的长度 A 保持不变，并以同一角速度 匀速旋转。因此我们断定，合矢量 A 也是一个旋转矢量。矢量 A的端点在 x 轴上的投影坐标可表示为即合振动也是简谐振动。合振动的振幅 A 等于合矢量 A 的长度，合振动的初相 就是合矢量的初角位置。在上图的 中用余弦定理可求得合振幅为其中为两个同频率振动的相差。由直角 可以求得合振动的初相 满足两个同频率的简谐振动合成的矢量图第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 26 页 第 23
29、页 角的象限可以通过振动的矢量图直接判定。对于两个振幅确定的分振动，合振幅随它们的相差 而变。特别是，如果两个分振动同相， ， ，则得这时合振幅达到最大。此时称两个振动相互加强。如果两个分振动反相， ， ，则得这时合振幅最小。此时称两个振动相互抵消。在实际问题中，还常常有的情况，此时合振幅 A=0，说明两个同幅反相的振动合成的结果将使质点保持静止状态。【例 1】有一个质点参与两个简谐振动，其中第一个分振动为 ，合振动为 ，求第二个分振动。【解】把合振动改写为t=0 时振动合成的矢量图（如右）。由于图中的直角三角形 OPQ 正好满足“勾三股四弦五 ”的条件，于是可直接由勾股定理得到第二个分振动的
30、振幅，即它的旋转矢量 A2的长度 A2=0.5。亦可直接得到第二个分振动的初相位，即旋转矢量大 学 物 理 教 案 作者：王晋国 本章 共 26 页 第 24 页A2与 x 轴的夹角 ，故第二个分振动为【例 2】求简谐振动的合振动 。【解】这是 5 个同方向、同频率的简谐振动的合振动。t=0 时合成的矢量图（如图所示）。此处采用多边形求和的方法，从图中可以看出，合振动的振幅为，合振动的初相为 ，故合振动为本章小结一、简谐振动的描述1、谐振方程 振动的相位 简谐振动的三个特征量：角频率 w 取决于振动系统的性质；振幅 A 初相 j 取决于振动的初始条件。第十章 机械振动作者：王晋国 本章 共 2
31、6 页 第 25 页2、谐振曲线3、旋转矢量振动与旋转矢量的对应关系：振动的振幅旋转矢量的长度，振动的相位矢量的角位置，振动的初相 矢量的初角位置，振动相位的变化矢量的角位移，振动的角频率 矢量的角速度，振动的周期和频率 矢量旋转的周期和频率。二、振动的相位随时间变化的关系两个同频振动的相差和时间差的关系：同相 ，反相 。三、简谐振动的微分方程四、简谐振动的动力学特征正比回复力：，初始条件决定振幅和初相，正比回复力矩：， 大 学 物 理 教 案 作者：王晋国 本章 共 26 页 第 26 页五、简谐振动实例弹簧振子： ，单摆小角度振动： ，六、简谐振动的能量七、两个简谐振动的合成同方向同频率振动的合成：合振动为简谐振动，振动的频率不变。振动的的振幅 ，其中 。振动的初相满足 。
