1、第九讲 投影变换,5-1 概 述,5-2 换面法,基本要求,5-3 旋转法,基本要求,（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。 （2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。 （3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。 （4）了解用旋转法的基本原理及用旋转法求线段实长的作图方法。,5-1 概 述,当直线或平面对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其对投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，至少有一个投影具有积聚性。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上述的特性。投影变换就是将直线或
2、平面由一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，从而简便地解决一些定位、度量问题。将直线或平面从一般位置变换为与投影面平行或垂直的位置，一般有三种途径，即： 几何元素不动，变换投影面称换面法； 投影面不动，变换几何元素称旋转法； 几何元素和投影面都不动，变换投影方向称换向法；,一般位置与特殊位置时求解一些量度、定位问题方法对比,a,5-2 换面法,换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。 一、换面法的基本概念 二、新投影面的选择原则 三、点的投影变换规律 四、六个基本问题,一、换面法的基本概念,X1,换面法空间几何元素的位置保持
3、不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使其对新投影面的相对位置变成有利于解题的位置，作出在新投影面上的投影并解决有关问题。,V/H 体系变为V1/H 体系,新投影面V1H,新轴,旧投影面,旧轴,保留的不变投影面,新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1、新投影面必须使空间几何元素处于有利解题的位置。 2、新投影面必须垂直于保留投影面。,二、新投影面的选择原则,三、点的投影变换规律,1、点的一次变换 2、点的投影变换规律 3、点的两次变换,1 点的一次变换,点在V/H1体系中的投影,a1,X1,aa1X1,a1x1a x,3 点的两次变换,四、六个基本问题,1、把一般位置直线变为投影面平行线
4、例题1 2、把投影面平行线变为投影面垂直线 3、把一般位置直线变为投影面垂直线思考题1 思考题2 例题2 4、把一般位置平面变为投影面垂直面例题3 例题4 5、把投影面垂直面变为投影面平行面 6、把一般位置平面变为投影面平行面例题5,1、把一般位置直线变为投影面平行线,SC,例题1 求直线的实长及倾角。,2、把投影面平行线变为投影面垂直线,b,b,SCAB,（ b1）,3 把一般位置直线变为投影面垂直线（投影作图）,a2 （b2）,思考题1 如何求点C到直线AB的距离？,提示,V,H,把一般位置直线变为投影面垂直线,思考题2 如何求两直线AB与CD间的距离？,V,提示,H,b,例题2 求两直线
5、AB与CD公垂线的投影及其最短距离。,SC,c,4、把一般位置平面变为投影面垂直面,a,c,b,b,a,c,s,s,例题3 求点S到平面ABC的距离。,SC,例题4 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。,X1,sx,5、把投影面垂直面变为投影面平行面,6、把一般位置平面变为投影面平行面,SX,例题5 已知点E在ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。,sx,换 面 法 小 结,一般位置直线,投影面平行线,投影面垂直线,新轴保留投影,新轴实长投影,求SC、求保留H投影求保留V投影,可利用积聚性,一般位置平面,换两次，先新轴保留投影换成投影面平行线，再新轴实长投影换成投影面垂直线,
6、新轴平面上的投影面平行线的实长投影,投影面垂直面,投影面平行面,新轴积聚投影,可利用积聚性；求平面的、，求作水平线求作正平线,求SC,换两次，先新轴平面上的投影面平行线的实长投影换成投影面垂直面，再新轴积聚投影换成投影面平行面,6-3 旋转法,旋转法就是投影面保持不动，将空间几何元素绕某一轴旋转，使空间几何元素对投影面处在有利于解题的相对位置。 一、点的旋转规律 二、直线的旋转 1、直线旋转的投影规律 2、直线旋转的投影作图,2 点的旋转规律若点绕某投影面的垂直轴旋转，则点在该投影面上的投影作圆周运动，在另一投影面上的投影作平行于投影轴的直线运动。,一 点的旋转规律,V,H,A,a,o,O,o
7、,点绕正垂轴旋转 轨迹圆平行于V面，其V投影反映实形,A,a,A,a,二、直线的旋转,a,a,b,b,2、直线旋转的投影规律,a1,1、直线的旋转可用直线上两点的旋转来决定。且必须遵循绕同一轴、按同一方向，旋转同一角度的“三同原则”，以保证几何元素相对位置不改变。,当直线绕垂直于某一投影面的轴线旋转时，直线在该投影面上的投影长度不变.直线上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动。因此直线在进行绕铅垂线旋转法投影变换时，其水平面投影长度不变。 同样道理，直线绕正垂线进行旋转法投影变换时，其正投影长度不变。,等长,三、平面的旋转,a,a,b,b,2、平面旋转的投影变化规律,a1,c,c,1、平
8、面的旋转由不在同一直线上的三点(或其它几何要素组合)的旋转来决定。必须遵循绕同一轴、按同一方向，旋转同一角度的“三同原则”，以保证几何元素相对位置不改变。,当平面图形绕垂直于某一投影面的轴线旋转时，它在该投影面上的投影形状和大小不变。平面上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动。因此，当平面绕正垂线旋转时，它的正面投影形状大小不变。 当平面绕铅垂线旋转时，它的水平投影形状大小不变。,全等,V,H,A,B,a,b,b1 ,a,B1,当直线、平面绕垂直于某一投影面的轴旋转时，它们对该投影面的倾角不变，而对另一面投影的倾角则随着旋转而改变。,当过直线的端点作旋转轴时,解题更简便.,把一般位置直线
9、旋转成投影面平行线,a,b,a,O,X,SCAB,ab1OX,a,b,c,b,a,c,b1,c1,把一般位置平面旋转成投影面垂直面,把一般位置平面旋转成正（铅）垂面,实际上就是把平面内的一条水（正）平线旋转为正（水）平线。求法为： 在平面中求一条水平线（BE） 将BE旋转成正垂线B1E1，求得一个旋转角度。 以同样大小的旋转角度将A、C两点绕B点旋转，求得正垂面A1B1C1(ABC A1B1C1),把投影面垂直面旋转成投影面平行面,a,b,c,a,b,c,实形,例题 过M点作直线MN与直线AB正交，并求垂线实长,m,a,b,a,b,m,第一次旋转：将A绕铅垂线旋转成正平线，M同时旋转。则m1n
10、1a1b1垂线已在作出。,为求实长，进行第二次旋转，将AB和M一起绕正垂线旋转，把AB旋转成铅垂线。,SC,四、六个基本问题,1、把一般位置直线变为投影面平行线 例题1 2、把投影面平行线变为投影面垂直线 3、把一般位置直线变为投影面垂直线思考题1 思考题2 例题2 4、把一般位置平面变为投影面垂直面例题3 例题4 5、把投影面垂直面变为投影面平行面 6、把一般位置平面变为投影面平行面例题5,本讲重、难点,（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（体现在如何画新轴上） （2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（体现在应该先变换哪一个投影面上） （3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。（这一问题在教材上有分类总结）,本讲结束,习题,P2,P3,
