1、漫谈微分几何、多复变函数与代数几何.txt32因为爱心，流浪的人们才能重返家园；因为爱心，疲惫的灵魂才能活力如初。渴望爱心，如同星光渴望彼此辉映；渴望爱心，如同世纪之歌渴望永远被唱下去。漫谈微分几何、多复变函数与代数几何(2008-02-29 22:10:35)标签：杂谈 微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究， 对 的 得出
2、 的Euler 。Clairaut研究了 的 和 ，Monge发 了 分析 于几何的活 论 ， 与 的重要微分 ，使得 微分几何的发展 一 。Gauss在测地学的研究中， 杂的 ，于 1827发了 的 currency1积与在“的Euclidean中的fifl 关，于 一基fi ， 被Gauss得”地为是 ，从而创立了 几何， 的研究从“中出， 作为一 研究。1854Riemann作了 关于几何基础的 ，广了 Gauss在 2 的 几何，从而发展出nRiemann几何，随着多复变函数的发展。一 数学家 微分几何的研究对展 复流fi， 展 的复析论。微分几何的 一步 的 是 的 ， ”着 的 展
3、。在 ，微分几何与多复变函数论、Lie论、代数几何PDE 彼此生 的 相 。数学在 的分， 。多复变函数论与微分几何的 着 人的光辉， 和 建立共fi映射） 义Poincare度规后， 复变函数论与微分几何的联系就历历 见。Poincare度规是共fi 变量。 的 Schwarz 在引入Poincare度规后就 释为： Poincare度规在析映射下 增加，当且当此映射是分 变换时 Poincare度规 变。 Poincare度规下的双 几何 轻松证明 的Picard小 。而Picard大 的证明需要 艰 的模函数论，如 微分几何观 ，也 极简明的 证明。 ，微分几何 渗透 复变函数论之中。在
4、多复变函数论中，分析复仿射的区 义度规后，接下就实微分几何的 和他一系列 。在 复变情fi， 有 离散分布，而在多复变情fi，由于 的Hartogs开 ， 有孤立 被吞没，甚至于 fi成的连续区 也 常被吞没，只有fi成实余数为1的流fi才 避免 厄运。但是，即使种情fi也需要他限制条件才 “确保安全”。多复变函数论中 的种 特 使得们注 要成为流fi。1922Bergman引 的Bergman核函数，那 时代的多复变函数还是 Weyl 说的草创时代，除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等几 辈的 研究“几乎没有任何实 展，Bergman 的工作 疑给 死气沉沉的 注入
5、了一股活力。在多复变函数中的 的Bergman度量，在一情fi就是 和Poincare 的 Poincare度量，注 了Bergman工作的重要 。代数几何的基研究对是任”仿射或 射 中的代数 组 义 组）的 共零 代数簇）的 ，代数簇的 义 组的系数代数簇的 在的 在的 为基 。 约代数簇是基 的有限次 。我们熟悉的数 就是数 为基 的 ， 数就是张次数。从 观出发，代数几何 看成是对有限 的研究。代数簇的 和基 关系极密切。对于 复仿射或 复射 中的代数簇，研究的 中 有大量概念和微分几何多复变函数论重 ，而且在研究 中运 大量有关的相似工具。复流fi复析的 一步 展 同时 着些学科。许多
6、相关 的大师，虽然看去只研究某一 ，但是却 他 。例如： Lerey研究代数 扑得出得层论，在代数 扑中 大， 却由于Serre，Weil和H? Cartan E?Cartan长子）的引 ， 了代数几何和多复变函数论。Chern研究Hermite的 类，但同时 了代数几何、微分几何和多复变函数论。Hironaka研究代数几何中的 消，但是他研究的复流fi 复析的修改与吹胀则 了复析论。Yau证明了 Calabi猜想 了代数几何和微分几何同时 了 广义相对论。同时对于我们 看出非 常微分 和 微分 在微分几何中的重要地。 Cartan研究对Riemann，得出了重要的分类 ，给出了1、2、3中
7、有 的 全分类，证明们 是 对 ，同时他猜想：种等 关系在n情fi也成立。1959，Piatetski-Shapiro却在研究对有 的 函数论的 中 了 例，在4和5的情fi中 出一 有 ，们 是 对 ，他 些 为Siegel ，纪念Siegel在1943研究 函数论 的 工作。 Piatetski-Shapiro的 了多复变函数论和 函数论，同时对于对论等一系列 生 远。正如我们 的， Cartan 对的研究为Lie和Lie代数的研究， 观 接 Klein的 而 大大发展了Klein的初步想 。当也正是 Cartan发展了Levi-Civita联 的概念，发展出微分几何中的一 联 论， 流f
8、i 切的同 映射，实了Klein的 想，同时大大 了微分几何的发展。同 是Cartan， 和 在流fi研究中的重要 ，几 ， 于在他去世后 才被证实是正确的。在 ，我们看 了微分几何的 。正如我们熟 的，测地 联系着ODE 常微分 ），极小 和 极小子流fi联系着PDE 微分 ）。些 是非 ，因此对于分析学有着极 的要。 复变函数论中 的Cauchy-Riemann 组联起PDE和复分析之的联系，在多复变情fi，Cauchy- Riemann 组 了 联系而且由于Cauchy-Riemann 组的 数大于变量 数）了 的。 使得 PDE与多复变函数论与微分几何密 。大多数学微分几何的学 被Ga
9、uss与Riemann的 几何的 currency1 “，被Cartan的活标 的 简fifl ，被Chern的 类论的大 ，被Yau 的几何分析功。当轻的 Chern 对”微分几何时说就 对一 光 的 currency1向却一时 。但是后他却在Hopf和Weil之 成为 的一代师。如说Cartan发展的微分几何改变了广义相对论的几何模 的，那 Chern等人的微分几何 在续Cartan的 而且 的fi 了规论的发展。微分几何然Einstein时代那 和相连 且从中 研究 为 度规却 共fi 度规 因为 和他数的 一 与 建立等 映射， 建立 度规；而n 是 连 常 ，因此 建立共fi 度规。
10、在微分几何中，等 的 义就是映射 后流fi对 之的 离 变。一 流fi与 等 时 Riemann 为零。因为 有 的 为正的常数， n 他的 非零的流fi 度规。但是还有 共fi 概念，对于流fi 度规G和g，如G=exp?g，则G与g之的变换是共fi变换。Weyl共fi 张量在共fi变换下保 变，是流fi的 1,3） 张量。当Weyl共fi 张量为零时，流fi的 张量 Ricci 张量与数量 ， Penrose 是 =Ricci+Weyl。一 nRiemann流fi的度规张量g在 共fi等 于 度规，则为共fi 流fi。 有 为常数的流fi 常 流fi） 是共fi 的， 共fi 度规。而 有
11、数的 当然 ） 是常 流fi， 共fi 度规。 ，共fi 流fi却 是常 流fi。但是有一 和Einstein流fi有关的 ：3的共fi Einstein流fi 是常流fi。就是说要想共fi 流fi却是常 流fi，就要Ric=g，而就是Einstein流fi的 义。 中 Ric为Ricci 张量，g为度规张量，为常数。Einstein流fi的数量 S=m为常数。而且如S非零则 在非零的 切向量。Einstein引入 学常数，使得他 了 胀的 大成就，于是Hubble就 了；但是有 的真引力 却生了 Einstein流fi，为数学家的展才 了 。对于3连 Einstein流fi，即使 要共fi
12、，也是常 流fi，他数 成立 ，我是大一暑学张量分析时才 的，感觉看 是一种享 。实流fi中的 与Kahler流fi中的全纯 是 一 的概念，因此也生 一 的。全纯 为常数的Kahler流fi，Ricci 为常数， 为 Einstein流fi，为Kahler- Einstein流fi。Kahler流fi为Kahler- Einstein流fi当且当作为Riemann流fi时是Einstein流fi。N复向量，复射 ，复环 复双 是Kahler- Einstein流fi。Kahler-Einstein流fi的研究成为几何学家的力享 。回头讲讲等 映射的一 重要。考虑 Riemann流fiM和N的
13、等 映射诱的切之的映射，M任” p，在切任选 共 的切向量，出 。在映射下p 切的那 切向量在映射下变成另 切向量，也出 。如 映射是等 映射，则 是相等的。或 糊些说就是等 映射 改变 。，如任” 成立 改变的 ，那 映射是 是等 映射 答案是否 的。甚至在 Euclidean 的 成立 。在 情fi，加测地 的限制， Jacobi的 才能作 一 。就是 得Cartan等 。 是Jacobi的彩 。的大广是Ambrose和Hicks作出的，为Cartan-Ambrose-Hicks 。微分几何就是充满 穷魅力。我们给pseudo-Riemannian分类， Weyl共fi 张量分类， Ric
14、ci 张量分类，也 运 分类得出9种Bianchi 。而些东西 是 归 微分几何的研究， 遥远的Riemann观 和稍近的Klein观 ， 看出Cartan的 大慧， 看出Einstein的 远 。从Hermite对 Kahler-Hodge流fi，微分几何 与Lie相连，也与代数几何和 扑学血脉相 想起 1895 大的Poicare写 大的 置分析 创立组 扑时曾 毫 掩饰地说 的微分几何是”义 大的学科，对此他说了句：“家有 景，何远。” Chern译） 扑就是家中 景，干吗要辛辛苦苦 甚至 流fi的 是次 全才数学家 了，但我们能 能说数学天才对微分几何没有大贡献 能。看看今天微分几何与
15、 扑学的密相关我们就 了。一 闭fi 何时才是恰当fi 在同伦于 的区 连 区 ）有Poicare引之逆告诉我们 成立。在非 连 区 有 的deRham 告诉我们如何成立，那就是微分fi 在 有闭链的积分为零。即使在Poicare 忽视的微分几何 ，他然一种 ”的 了 学科，或 毋宁说是 了 数学。任何一门学科创立后 寻广的 ，微分几何也是 。从 说， 的Euclidean 为零，几何学家广 为正常数 狭义的 Riemann）和负常数的 Lobachevskii），我们 ，非欧几何的 大之处 在于独立了 五 而且 他情况替代而 几何， 在于的创立能在 角分析。但是 数学家Milnor 说，在微
16、分几何 入非欧几何之 ，非欧几何只是没手没脚的躯干而已。只有在 义了度规后 的统一 之后，非欧几何才焕发出生机。Riemann在1854的演讲中只写下了一 ，就是一 统一了正 、负 和零 的几何。后人大 认为Riemann 是凭 觉想出的，实际后人们发了他 的草稿纸，才 天才也是要勤奋的。 Riemann已 探索任”数的任” 流fi的 了，但 量的 越了那 时代的数学工具，他只能写出常 流fi的统一 。但是我们 ，即使 今天， 然是重要的，微分几何的 目多的“currency1较 ” 是常 流fi为currency1较模的。当Riemann曾 考虑了二次微分fi 的二次 根,就是我们 熟悉的R
17、iemann metric,由此出Riemannnian geometry,当时他特”另一 情fi,就是 四次微分fi 的四次 根(相当于四元currency1积的和开四次 ).是 的联系与区别。但他却说对于种情况和 一种情况在研究 要实 同的 。还说, 的研究currency1较费时 且对 增加 的认 , 的也缺乏几何”义。 Riemann只研究了在为Riemann metric的情fi。为 后世的Finsler热衷于广Riemann 想研究的情fi? 能是数学家好广于成为癖好。Cartan当在 Finsler几何 作努力,但成效 大,Chern对种几何确实也寄 望同时也研究出一些成就.但我
18、然和国际的普遍看 一,那就是 Finsler几何 途黯淡. 也正是Finsler几何一 入微分几何流的 原因,没有真正值得几何学家去奋斗的 ,也没有 大的 值.后的K-展, Cartan也 没有成为流,虽然们 是Riemannnian geometry的广,但是没有得 大的发展.实际, 有时候广的东西能够得 的 容 多,微分几何也是 ， 是研究的对越 凡越好，而是 当适当的特殊才好。currency1如Riemann流fi中, Riemann流fi特殊,就具有 多 的 , Riemann流fi中,对Riemann流fi 特殊, .是从流fiLie的作 角度分析的。从度规的角度分析, 向偶数的R
19、iemann流fi 复 ,fi成复流fi, 就极 。近复流fi只有在近复 积时才成为复流fi。复流fi 向，因为 很容易出的Jacobian 非负，而实流fi在一 情况下没有 。 缩小,Kahler流fi 加具有很好的 ， Kahler流fi的 有复子流fi 是Kahler流fi，而且还是极小子流fi Wirtinger ）， 的 了多少微分几何学家和代数几何学家，因为他 一 流fi 成立 。如要 (复) Kahler流fi的 一Chern数为零, 得出Calabi-Yau流fi,是论学家极有兴趣的流fi。Calabi-Yau流fi的 流fi同 是代数几何 微分几何共同的 。流 的Hodge 至 是有着 引力的 。微分几何，一 的 。就代数几何中要双有等 是 一 ，微分几何中要等 变换何 艰 。分类学是 数学的永 。论中有 分类，多复变函数论中有区 的分类，代数几何中有代数簇的分类，微分几何也有分类。艰 的 引起一 轻的几何学家和 的学 的共同 ，微分几何的 景 currency1光明。
