1、1.导数 0 0( ) wfz z zz 设函数 在点 的某邻域D内有定义 的单值函数， 是邻域内任意一点，对于 00 00 00 ()( ) ()( )lim lim zz wfzzfz fzzf z w zz A ，如果极限 存在（为有限的复数）并且等于 ，, ) ( ) ( ) ( 0 0 0 即 ，或 的导数，记为 称为函数 处可导， 在 则称函数 z z dz dw z f z f A z z f ， z z f z z f z f z ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 0 : ( ) (| |) ( z 0) wfzzoz 或 00( ) , 0| | zD zz 上
2、述定义也可表述为： 对任意的 ，可以找到一个正数 使得当 ，并且当 时，有 , | ) ( ) (| 0 0 A z z z f z f00 00 0 00 0 0 () () () lim ( ) ( ) lim ( ) ()00 . zz zz fz z z fz fz f z fzz z zz fz 性质：若函数 在点 可导，则它在点 连续。 证明：四则运算法则 () () , fz gz D 如果 和 在区域 上可导 则 () () () ()() () 0 ) () fz fz gz fzgz gz gz D 、 在 区 域 上可导，并且有 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f 2 () ()() () () () () f z f z g z f z g z gz gz 复合函数求导法则 () () () fz D w g G fDG 设函数 在区域 内可导，函数 在区域 内可导，又 ， ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( z f z f g z f g z h () ) () wgfzhz 则复合函数 在内可导， 并且有：0 00 0 0 () () () () () () () () . z zt xt iyt tx t y t tz t
4、 x t i y t 1.对于实变量复值函数 ， 它在点 可导的充要条件是： 和 都在 点 可导，且有 0 00 0 0 0 00 0 0 0 () ()( ) ()l i m () ()( ) ()l i m . ()0 . h t wfz z fz h fz fz h fz fz i t fz fz it fz 2.对于复变量实值函数 ，若它在点 可导, 则有 . 当h沿实轴趋于0时，极限 为实数； 当h沿虚轴趋于0时， 于是，可得 注：反函数求导法则 () ( ) 0 wfz D fz 设函数 在区域 内解析， 且 ，又反函数 00 00 0 00 0 () () 1 ( ) lim l
5、im . () () () ww zz ww zz w ww fz fz fz 1 () () zfw w 存在且连续， 则有：可导的必要条件： 0 0 () (,) (,) E E( ) ()( ) () l i m () ( 0 ) , ()( ) () l i m . h t fz uxy i vxy fz fzh fz zxi y fz h fuv fz i h xxx fzi t fz f v u fz i i it y y y 设函数 是定义在上 的 复值函数，z=x+iy是 的内点。若 在点 可导，则有 。 于是，可得 沿实轴趋于 及() . wfz zE ff uv uv i
6、xy xyyx Cauchy Riemann 定理：复变函数 在点 可导的必要条件是 。这等价于， ， 上述偏微分方程称为 方程。 由此还可得到， 2 22 () ( ) ( ) . Cauchy Riemann uv fz xx uu xy uv uv vv xy yx xy 上述偏微分方程称为 方程。 由此还可得到，() (,) (,) () () 0 . w fz uxy ivxy D fz fz zD 例.设复变函数 在区域 内 可导，则 是常数当且仅当 ， 2 012 1 12 () , () 2 . n n n n fz a azaz az fz a az n az 例.设 则有
7、. zx i y z fz e e fz 例. 设 ( )= = , 则 ( ) = e ln ., ln zza z z a aaa 例对任意正实数 定义以a为底的指数函数 a=e ,zC 。则( )= 。.s i n c o s zz 例三角函数 和 的导数分别为 （sinz）=cosz,(cosz)=sinz. 关于复变函数的高阶导数的定义和性质，类似于 实变量函数的情况。 sin ,cos . 22 iz iz iz iz ee ee zz i 其中， 反例：取u(x, y)、v(x, y)如下： 0 0 0 ) , ( ) , ( 2 2 2 2 2 2 y x y x y x v
8、y x u y x xy 方程： 满足 ，则在点 令 R C z y x iv y x u z f 0 ) , ( ) , ( ) ( 0 0 uv uv xy yx . , 0 ) ( ) 0 , 0 ( ) , ( ) , ( 从而不可导 不连续 在 函数 不连续，所以复变 在点 、 但 z z f y x v y x u例. 讨论下列函数的可导性和解析性： 2 1 Re ; (2) | | . wzwz （） ，且 ， ）因为 解：（ 0 1 v x u 1, 0 0 0 uuvv xyxy Re . CR wz 所以 方程在整个复平面不成立，所以 在整个复平面内处处不可导且 ， ，所以
9、 、 , 0 | | ) 2 ( 2 2 2 2 2 v y x u y x z w 2 , 2y, 0, 0 uuvv xyxy x 2 000 (0,0) C . ( ) 0 ( 0 0 lim lim lim )0 . 0 zzz z Rf z z zz z zz f 只有在点 处 方程成立 易知， 在 可导，且 0( ) zf z 当然，在 ， 不可导。 0 () , ()( ) . ,l i m0 , . z Ew f zz E z zzzE wfzzfz z AwA z z fzA zf z dw df z A z 设 是复变函数 的定义域， 是 的 一个聚点。取 的一个改变量 使
10、得 令 如果存在不依赖于 的复数 使得 其中 则称函数 在 点可微，把 称为函数 在点 的 微分，并记为 = ( )= , () . z oz 此种情况下，称 是关于 的高阶无穷小量 记为 复变函数的微分() () = wfzz fz z Afz dw f z z 性质：函数 在 点可微的充要条件是 在 点可导。此时，有 ( ),从而有 () . .( ) . zz dz z dw f z dz 对于自变量 来说，其微分定义为 的改变量，即 于是，有复变函数的全微分 () , ()( ) . () , . Ew f zz E z zzzE wfzzfz z AB wAzBzoz fz AzBz
11、 fz dw df z A z B z 设 是复变函数 的定义域， 是 的 一个聚点。取 的一个改变量 使得 令 如果存在不依赖于 的复数 和 使得 则称函数 在 点完全可微，把 称为 函数 在点 的全微分，并记为 ()=() wfzz B fz 性质：若复变函数 在 点完全可微，且 0， 则函数 在点 的可微；反之也然。 () zxi y wfz E fzuxyi vxy z uxy vxy xy dwduidv 定理：设 是函数 的定义域 的内点， 则函数 ( )= ( , )+ ( , )在 点完全可微当且仅当 (,) 和(,) 都在( , )点可微.此时，有 . () , () . u
12、xy vxy xy zxiy uu uuxxyyuxy x yoz xy vv vvxxyyvxy x yoz xy 证明：充分性.设(,)和(,) 都在( , )点可微， 记 ，则有 (,) - ( , ) = ( , )- ( , )=() , . , 22 ff wuiv x yoz xy fuvfuv ii xxxyyy zz zz xy i 于是， 其中 ， 把 带入可得， () , 11 (. 22 ff wzz o z z z ii x y zx y z fz 其中 )， ) 根据定义，函数 在点 完全可微.() , () . Re( ) ( ), Im( ) ( ), (,)
13、R e ()I m () . wfz z zxiyzizE uiv wAzBzoz uA z B zoz vA z B zoz uv xy du A z B z dv A z B z 必要性. 设函数 在点 完全可微，令 从且则 有 于是，有 由此可知，函数 和 都在点 可微,并且 ， 0 zE fz uv xy f z 推论：设 是 的一个内点，函数 在 点可微 当且仅当函数 和 都在( , )点可微，并且 满足方程 .2 () (0) 0. , (0) 0, (0) 0. fz z zz ff fz z z z ff z z 例：对函数 ，其在原点的导数为 计算可得，. 显然，仅在 原点处有 ( ) ( , ) cosy v( , ) siny. 0, zxx z fz e uxy e xy e ff e z z 例：对函数 ， ， 计算可得， .2 R xy xy 引理：若在 中一点(x,y)的某邻域内函数 的偏导数 和 都存在，且 和 都在 点(x,y)连续，则函数 必在点(x,y)可微. 2 R uv fui v xi y 定理：设在 中一点(x,y)的某邻域内函数 和 的一阶偏导数都存在，且都在点(x,y) 连续.若这些一阶偏导数还满足C-R条件， 则复变函数 必在点z 可导. 可导的充分条件
