1、1,复变函数与积分变换,课程总结,2,1.代数形式 :,复数的表示法,1)点表示,2) 向量表示,-复数z的模,-复数z的辐角(argument),记作Arg z=q .,-p q0p 的q0 称为Arg z的主值, 记作q0=arg z .则,Arg z=q0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数),第一章 复数与复变函数,3,2.三角形式与指数形式,利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cosq , y = r sinq, 可以将z表示成三角表示式:,利用欧拉公式 e iq = cosq + i sinq 得指数表示式:,4,1.2复数的运算,设,1 . 加减法运算,加减法与
2、平行四边形 法则的几何意义:,5,乘、除法的几何意义:,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.,2. 乘除法运算,6,按照乘积的定义, 当z10时, 有,定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.,7,3. 乘方与开方运算,1）乘方,De Moivre 公式：,2 ）开方:,若满足，,则称w为z的n次方根，,记为,于是,推得,8,1(3分) 复数,辐角主值为 ,的模为 8 ，,9,1.3复数形式的代数方程与平面几何图形,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(
3、或不等式)来确定它所表示的平面图形.,解析几何中代数方程与几何图形的对应关系,10,x1,x2,x3,o,z(x,y),x,y,P(x1,x2,x3),x1,x2,x3,N(0,0,2r),除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数.,对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作.这样的球面称作复球面.,11, 1.5 区域,1. 区域的概念,设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内
4、的每个点都是它的内点, 则称G为开集,平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来.,12,2满足,的点集所形成的,平面图形为 （抛物线及其内部） ，,该图形是否为区域 否 .,13,1.6 复变函数,定义 设 D 是复平面中的一个点集,称为复变函数.,函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集D(定义集合)变到 w平面上的一个点集G (函数值集合)的映射(或变换). 如果 D 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的点 w, 则 w 称为 z 的象(映象),
5、而 z 称为 w 的原象.,x,u,D,G,Z,z,w,W=f(z),v,y,W,14,1.7 复变函数的极限和连续性,15,等价定义：,设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则,运算性质：,16,2. 函数的连续性定义,则说 f (z)在 z0 处连续. 如果 f (z) 在区域D内处处连续, 我们说 f (z) 在D内连续.,函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)处连续.,性质：,(1)连续函数的
6、四则运算仍然连续；,(2)连续函数的复合函数仍然连续；,(3)连续函数的模也连续。,(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模在D上取到最大值与最小值;,(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.,17,1 复变函数的导数,定义：,存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的导数，记作,应该注意：上述定义中 的方式是任意的。,第二章 解析函数,容易证明：,可导 连续。,如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在内可导.,18,复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。,19,例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?,解：这里,所以
7、 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.,（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.）,20,2. 解析函数的概念,函数在一点解析,在该点可导。,反之不一定成立。,在区域内：,定义,否则称为奇点 。,21,4函数,何处解析? 处处不解析 ,在何处可导？ 实轴 ，,22,定理1 函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域D内解析的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, 并满足Cauchy-Riemann方程.,定理2 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点 z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(
8、x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足Cauchy-Riemann方程,推论 ：,23,2.2 解析函数与调和函数的关系,定义1,(称为调和方程或Laplace方程),定理1：,注：逆定理显然不成立，即,对区域D内的任意两个调和函数u, v,不一定是解析函数 。,24,定义2,若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R方程，,则称v为u的共轭调和函数 .,定理2：,在区域D内解析,v为u的共轭调和函数 。,解析函数的虚部为实部的共轭调和函数,25,三、(8分)已知,，求常数a以及二元函数,，使得,为解析函数且满足条件,解：由于解析函数实部、虚部都调和，故,由,方程知：,26,由,
9、27,已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。,例题1,已知一调和函数,求一解析函数,解：,由 C-R 方程,于是,（法一）,28,从而,即为所求解析函数。,（法二）,29,（法三）,30,2.3 初等函数,3.1 指数函数,定义：,性质：,31,3.2 三角函数,定义：,性质：,(1)Euler 公式仍然成立：,(2)全平面解析函数，且,(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外),(4)sin z为奇函数，cos z为偶函数,32,3.3 双曲函数,定义：,（1）全平面解析函数：,（2）以2pi为基本周期的周期函数：,（3）chz为偶函数, shz为
10、奇函数。,（4）与三角函数的关系：,33,3.4 对数函数,定义：,记：,多值性,-主值支,例如：,34,性质：,(2) Ln z为无穷多值函数，每两个值相差2 i的整数倍,(4) 除去原点与负实轴, ln z在复平面内处处解析：,今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.,35,3,的值为 ,36,3.5 幂函数,定义：,- 单值函数,- n值函数,37,- n值函数,- 无穷多值函数,在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且,38,3,的值为 ，,主值为 ,39,3.1 复积分的概念,线积分,复积分,一个复积分的实质是两个实二型线积分,第三
11、章 复变函数的积分,40,复积分的性质 ：,1 线性性：,41,例2,解：,42, 3.2 柯西积分定理,定理1（Cauchy） 如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零:,注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。,注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上解析, 即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有,推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D，,与路径无关仅与起点和终点有关。,43,于是,
12、是解析函数。,特别地,例如：,注：以上讨论中D为单连通域。,这里D为复连通域。,44,可将柯西积分定理推广到多连通域的情况,定理2 假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续，则,证明：取,这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。,-闭路变形原理,45,推论（复合闭路定理）：,(互不包含且互不相交)，,所围成的多连通区域，,46,例1,C 如图所示：,解：,存在 f (z)的解析单连通域D包含曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。,从而,例2,C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。
13、,解：,47,（由闭路变形原理）,48, 3.3 柯西积分公式,若 f (z) 在D内解析，则,分析：,定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则,-解析函数可用复积分表示。,49,推论1 如果C是圆周z=z0+Reiq, 则柯西积分公式成为,- 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。,推论2 设 f (z)在二连域 D内解析，在边界上连续，则,50,5设,，则,_，,_.,51,例1,解：,52,53, 3.4 解析函数的高阶导数,定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶
14、导数为:,其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.,高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,54,例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r 1.,解：1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的.,55,Cauchy不等式：,Liouville定理：全平面的有界解析函数必为常数。,最大模原理：设D为有界单连通或复闭路多连通区域，,56,第四章 解析函数的级数表示,1 复数项级数,定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是,2. 级数概念,定理二
15、 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛,定理二将复数项级数的敛散问题转化为实数项级数的敛散问题.,57,定理三,另外, 因为 的各项都是非负的实数, 所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.,58,是,否,4级数,是否收敛？ ；是否绝对收敛？ ,59,定理一(阿贝尔Abel定理),2 幂级数,60,O,a,b,Ca,Cb,x,y,2. 收敛圆和收敛半径,61,在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 所以幂级数 的收敛范围是以原点为中心的圆域.,3.收敛半径的求法,则收敛半径,定理三（根值法）：如果,62,3) f(z)在收敛圆内可以逐项积
16、分, 即,63,3 泰勒级数,定理(泰勒展开) 设 f (z)在区域D内解析, z0为D内一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离, 则当|z-z0|d 时,注： 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|.,64,推论1：,注：,65,推论2：,推论3: 幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛),推论4：,66,6函数,在,点展成泰勒级数的收敛半径为 ,67,4 洛朗级数,定理 设 f (z)在圆环域 R1 |z-z0| R2内解析,
17、 则,C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.,称此级数为函数f (z)在圆环域: R1|z-z0|R2内的 洛朗级数.,68,函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.,69,四、(12分)将函数,分别在点,和,展开为洛朗(Laurent)级数,点展开,当,时，,当,时，,解：（1）在,70,（2）在,当,时，,当,时，,点展开,71,1 孤立奇点,我们可以利用上述极限
18、的不同情形来判别孤立奇点的类型.,定理 如果 z0是 f (z)的m级极点, 则z0就是 的m级零点, 反过来也成立.,第五章 留数,72,八、( 6 分) 设函数,在区域,内处处解析，,在,内仅有,一个三级零点，,证：设,，则,在,解析，且,证明：,73,由于,在,解析，故,在,解析，又,在,解析，由柯西积分定理知：,又由柯西积分公式知：,故,74,2 留数,留数的定义及留数定理 如果函数f (z)在z0的邻域D内解析,那末根据柯西积分定理,但是, 如果z0为 f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分,一般就不等于零.
19、,因此 f (z) = . +c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+. 0|z-z0|R,两端沿C逐项积分:,75,称C-1为 f (z)在 z0 的留数, 记作 Res f (z), z0, 即,定理一(留数定理) 设函数 f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ., zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则,76,7,为函数,的_阶极点；在该点处的留数为_.,77,2,解：在,内，,只有,一个孤立奇点，,故,为,本性奇点,在,处Laurent展式中,由留数定理知：,78,2. 留数的计算规
20、则 规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则,规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则,79,1,解：方法一,80,方法二 函数,在,内有两个孤立奇点：,与,为简单极点,为简单极点,由留数定理知：,81,3.在无穷远点的留数 设函数 f (z)在圆环域 R|z|内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分,的值与C无关, 称其为f (z)在点的留数, 记作,f (z)在圆环域 R|z|内解析：,理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。,82,定理二 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末 f (z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,证：除点外,
21、设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n). 且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有,83,规则4,定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便.,84,留数定理是复变函数的定理，又是应用到回路积分的，因此要将定积分变为回路积分中的一部分。,3 留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实
22、积分成为回路积分的一部分：,85,1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为cosq与sinq 的有理函数.,令 z =eiq ,则 dz=ieiq dq ,而,86,其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有,其中zk (k=1,2,.,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.,87,3,解：被积函数,是关于,的偶函数，故,令,，则当,从,到,时，,绕单位圆,正向运行一周，,在,内只有,一个简单极点，,令,88,89,90,4,解：,是关于,的偶函数，,在上半平面有简单极点,和,91,原式,92,也可写为,假如 R(z) 在实
23、轴上有孤立点。这时，有公式,93,第六章 保形映射,定理一 设函数w=f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f (z0)0, 则映射w=f (z)在z0具有两个性质: 1) 保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。 2) 伸缩率的不变性. 即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为|f (z0)|, 而与其形状和方向无关.,称为曲线C在z0的伸缩率.,导数f (z0)0的辐角arg f (z0) 是曲线C 经过w=f (z)映射后在z0处的转动角;,94,8. 在映射,下，曲线,在,处的旋转角是_，,在复平面除去,_外是处处保角的。,9
24、5,定义 设函数w = f (z)在z0的邻域内是一一的, 在z0具有保角性和伸缩率不变性, 则称映射w = f (z)在z0是保形的, 或称w = f (z)在z0是保形映射. 如果映射w = f (z)在D内的每一点都是保形的, 就称w = f (z)是区域D内的保形映射.,仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保角映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为第二类保角映射。,例如 是第二类保角映射。,96,定理二 如果函数w =f (z)在 z0 解析, 且 f (z0)0, 则映射w=f (z)在 z0 是保形的, 而且Arg f (z0)表示这个映射在 z
25、0的转动角, |f (z0)|表示伸缩率. 如果解析函数w=f (z)在 D 内是一一的， 且处处有f (z)0, 则映射w=f (z)是 D内的保形映射.,97,2 保形映射的基本问题,问题一:已知两个单连通域D与G找一个解析函数使其将 D保形地映射为G.,定理一（黎曼定理)对边界多于一点的任意两个单连通域 D和G，对任意给定的实数,总唯一存在把一一映射为的,98,六、(10分)求将区域,映射到单位圆内部的共形映射,解：,99,100,问题二：已知和定义在上的解析函数,求象区域 并讨论 f (z)的保形性。,定理二（保域性）解析函数（不恒为常数）把区域映射为区域。,101,五、(8分)求区域
26、,在映射,下的像.,102,2 分式线性映射,分式线性映射,两个分式线性映射的复合, 仍是一个分式线性映射. 例如,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成:,这是一个平移映射,这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射.,103,圆周的对称点,因为DOPT相似于DOPT. 因此, OP:OT=OT:OP, 即OPOP=OT2=r2.,C,P,P,r,T,O,104,可见倒代换含有两个对称性,定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的, 且具有保角性.,105,映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性, （这里将直线看作是无穷大半径的圆）这种性质称作保圆性.,2.保圆
27、性,根据保圆性, 在分式线性映射下, 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点, 则它就映射成半径为有限的圆周; 如果有一个点映射成无穷远点, 它就映射成直线.,定理二 分式线性映射将扩充 z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.,106,z1,z2是关于圆周C的一对对称点的充要条件是经过z1,z2的任何圆周G 都与C正交.,3. 保对称点性,定理三 设点z1,z2是关于圆周C的一对对称点, 则在分式线性映射下, 它们的象点w1与w2也是关于C的象曲线G 的一对对称点.,107,现讨论在z平面内两个圆包围的区域的映射情况. 根据前面的讨论可知: (I)当二圆周上没有点映射成无
28、穷远点时, 这二圆周 的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域; (II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时, 这二圆 周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域; (III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.,108,3 唯一决定分式线性映射的条件,定理 在z平面上任意给定三个相异的点 z1,z2,z3, 在w平面上也任意给定三个相异的点w1,w2,w3, 则存在唯一的分式线性映射, 将zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3).,109,例2 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1的分式线性映射.,O,1,-1,x
29、,y,l,O,1,-1,u,i,v,(z),(w),110,111,4 几个初等函数所构成的映射,1. 幂函数 w=zn(n2为自然数),在z平面内除去原点外, 由w=zn所构成的映射处处保形.,映射的特点是: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域, 但张角变成了原来的n倍.,112,113,2. 指数函数 w = e z由于在z平面内w= e z 0。所以, 由 w = e z所构成的映射是0y2p上的保形映射.,设z =x+iy, w =r e ij, 则w = e z =e x+iy =r e ij 推出 = e x ：z平面上垂直线x映射成w平面上圆周r； （x=0-单位圆周,x0 -单位圆外） j = y： z平面上水平直线y映射成w平面上射线j 。,由指数函数w = e z 所构成的映射的特点是: 把水平的带形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg wa.,114,ai,O,x,y,(z),arg w=a,u,O,v,(w),2pi,O,x,y,(z),O,u,v,(w),w=ez,z=lnw,115,2 Fourier变换 2.1 Fourier变换的定义,116,8函数,的Fourier变换,为 .,117,七、(12分)利用Laplace变换求解微分方程：,解：（1）令,对方程两边作Laplace变换得：,118,
