1、中学生数理化教与学科学思想方法2012.02 89巧用绝对值的几何意义解题杭州外国语学校 钱卫江绝对值是初中代数中的一个重要概念 ， 在求代数式的值 ， 解绝对值方程与不等式时 ， 通常会遇到分类讨论的问题 为了帮助学生掌握这个知识点 ， 有必要探究一下绝对值的几何意义 我们知道 ， |x|的几何意义是表示数轴上表示 x 点到原点的距离 类似地可知 ， |x a| 的几何意义是表示数轴上点x 到点 a 的距离 由此 ， 我们对此稍加推导可以得到两个非常有用的性质 1 |x a| + |x b|a b| 也就是说 ， 它的最小值为a， b 两点间的距离 通过一个数轴能很好地说明这个问题 如图 1
2、图 1( 1) 当 x 在 a 与 b 之间 ( 包括 a， b) 时 ， 如点 x1， 此时 x 到点 a 与点 b 的距离和恒为 |a b|( 2) 当 x 在 a 与 b 一侧时 ， 如点 x2， x3， 此时 x 到 a 和 b点的距离和恒大于 |a b|2 |x a| |x b| |a b| 如图 2图 2( 1) 当 x 在 a 的左侧或 x 在 b 的右侧 ( 包括 a， b 两点 )时 ， 如点 x2， x3， |x a| |x b|的值恒为 |a b|( 2) 当 x 在 a， b 之间时 ， 如点 x1， |x a| |x b| |a b|下面我们利用这两个性质来解决一些实
3、际问题 1 绝对值最值问题例 1 已知 |x +2| + |1 x| =9 |y 5| |1 + y|， 求 x+ y 的最值 解析 : 整理得 : | x + 2 | + | x 1 | + | y 5 | + | y + 1 | =9 ( * )由性质 ( 1) 得 : |x +2| + |x 1|3 ( 1)|y 5| + |y +1|6 ( 2)而 ( * ) 成立 ，( 1) ( 2) 必须同时取到最小值 ， 所以可得2x1， 1y5所以 x + y 的最大值为 6， 最小值为 3例 2 求 |x 1| + |x 2| + |x 2004| + |x 2005|的最小值 解析 : 原
4、式变形得 : ( |x 1| + |x 2005|) + ( |x 2| +|x 2004|) + + ( | x 1002 | + | x 1004 |) + | x 1003 |( * )( * ) 式要取最小值 ， 则要找一个 x 满足每个括号内都能取到最小值 由性质 ( 1) 得 : 当 1x2005 时 ， 第一个括号取到最小值 ， 依次类推以后取到最值 x 的范围分别是 : 2x2004， ， 1002x1004， x =1003 我们可以发现 ， 当 x =1003 时 ， 每个括号都能取到最小值 ， 因此 ( * ) 式也取到最小值 当 x = 1003 时 ， 原式 = (
5、1002 + 1001 + + 1) 2 =10051006， 所以最小值为 10051006注 : 通过此题对性质 1 可以再进行推广 : |x a1| + |x a2| + |x an 1| + |x an|，( a1 a2 an) 当 n 为偶数时 ， 在最中间两个数之间取到最小值 当 n 为奇数时 ， 在最中间这个数取到最小值 2 绝对值方程问题例 3 解方程 : |x 2| + |x 5| =3解析 : 因为 |2 5| =3根据性质 1， 得 2x5若方程改为 |x 2| + |x 5| =1， 则程无解 ， 因为 |x 2|+ |x 5|最小值为 3若再改 : |x 2 | +
6、| x 5 | = a 此方程无解 a 的取值范围 ， 可以知道 a 33 绝对值不等式问题例 4 解不等式 |2x +5| |2x 5| 12解析 : 此题如果用去绝对值分类讨论解将比较烦琐 ， 而稍加转化用性质 2， 则易解 在不等式的两边同除以 2， 得x +52 x 526由性质 2 可知 ， 此式恒小于等于52 ( 52) =5所以对于不等式 x +52 x 526， 任意实数都成立 通过上面的几个例子 ， 我们不难发现 ， 通过绝对值几何意义解题 ， 使一些比较复杂的绝对值问题得到巧妙解决 ， 避免了烦琐的分类讨论 这正体现了一个重要的数学思想 数形结合思想 ， 用 “形 ”的直观启迪 “数 ”的计算 我们抓住数形转化的策略 ， 不仅沟通了知识的联系 ， 而且也能激发学生学习的兴趣 ， 从而使学生对数学思想方法有较深刻的理解和掌握
