1、 料推荐用绝对值的几何意义解题大家知道， |a| 的几何意义是：数轴上表示 a 的点到原点的距离； |a b| 的几何意义是：数轴上表示数 a、b 的两点的距离对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍一、求代数式的最值例 1 已知 a 是有理数， | a 2007|+| a 2008| 的最小值是 _.解：由绝对值的几何意义知， | a 2007|+| a 2008| 表示数轴上的一点到表示数 2007 和 2008 两点的距离的和，要使和最小，则这点必在 20072008 之间（包括这两个端点）取值（如图 1 所示），故 | a 2007|+| a 2008| 的最小值为 1.
2、例 2 |x 2| | x 5| 的最大值是 _，最小值是 _解：把数轴上表示 x 的点记为 P由绝对值的几何意义知， |x 2| | x 5| 表示数轴上的一点到表示数 2 和 5 两点的距离的差，当 P 点在 2 的左边时，其差恒为 3；当 P 点在 5 的右边时，其差恒为 3；当 P 点在 2 5 之间（包括这两个端点）时，其差在 33 之间（包括这两个端点）（如图 2 所示），因此， |x 2| | x5| 的最大值和最小值分别为 3 和 3二、解绝对值方程1 料推荐例 3 方程 |x 1|+|x 2| 4 的解为 _解：把数轴上表示 x 的点记为 P，由绝对值的几何意义知，当 2x1
3、 时， |x 1|+|x 2| 恒有最小值 3，所以要使 |x 1|+|x 2| 4 成立，则点 P 必在 2 的左边或 1 的右边，且到表示数 2 或 1 的点的距离均为个单位（如图 3 所示），故方程|x 1|+|x 2| 4 的解为：x 2，x 1+三、求字母的取值范例 4若 |x+1|+|2 x| 3，则 x 的取值范围是 _解：由绝对值的几何意义知， |x+1|+|x 2| 的最小值为 3，此时 x 在 1 2 之间（包括两端点）取值（如图 4 所示），故 x 的取值范围是 1x2例 5 对于任意数 x，若不等式 |x 2|+|x 4| a 恒成立，则 a 的取值范围是_解：由绝对值
4、的几何意义知，|x 2|+|x 4| 的最小值为 6，而对于任意数 x，|x2 料推荐 2|+|x 4| a 恒成立，所以 a 的最值范围是 a6四、解不等式例 6 不等式 |x 2|+|x 3| 5 的解集是 _解：由绝对值的几何意义知， |x 2|+|x 3| 的最小值为 5，此时 x 在 2 3 之间（包括两端点） 取值，若 |x 2|+|x 3| 5 成立，则 x 必在 2 的左边或 3 的右边取值（如图 5 所示），故原不等式的解集为 x 2 或 x3五、判断方程根的个数例 7 方程 |x+1|+|x+99|+|x 2| 1996 共有（）个解A. 4； B 3 ；C 2 ；D 1解
5、：当 x 在 99 1 之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知， |x+1|+|x+99| 98，|x 2| 98此时， |x+1|+|x+99|+|x 2| 1996，故 |x+1|+|x+99|+|x 2| 1996 时，x 必在 99 1 之外取值，故方程有 2 个解，选（C）六、综合应用例 8（第 15 届江苏省竞赛题，初一）已知|x 2|+|1 x| 9|y 5| |1+y| ，求3 料推荐x+ y 最大值与最小值解：原方程变形得 |x 2|+|x 1|+|y 5|+|y+1|9， |x 2|+|x 1| 3， |y 5|+|y+1| 6，而|x 2|+|x 1|+|y 5|+|y+1| 9，|x 2|+|x 1| 3，|y 5|+|y+1| 6， 2x1， 1y5，故 x+ y 的最大值与最小值分别为6 和 34
