1、数轴与绝对值,你热爱生命吗？那么别浪费时间，因为 时间是组成生命的材料 富兰克林,数形结合初步,学习目标,1.掌握并理解数轴上的点与数的对应关系2.掌握绝对值的概念及绝对值的几何意义3.通过数轴与绝对值的学习，体验数形结合的思想,绝对值的概念:,（1）绝对值的几何定义：,点A到原点的距离是a,点C到原点的距离是c;,一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点 与原点的距离；,2、a是什么数？最小是多少？,a是非负数，即a0，最小值是0, ,A B C,0,1,a,b c,点A与点B的距离：AB =a-b( 或b- a),点B到点C的距离：BC =b-c( 或c- b),(2)数轴上两点间的距离：,
2、例1.已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点之间的距离为3，那么点B对应的数是 .,解法一,点A到原点的距离是3得A表示的数是,由图可得：,当A表示3时，B对应的数是2或4当A表示时，B对应的数的或, 点B对应的数是2或4,思想方法：数形结合,例1.已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点之间的距离为3，那么点B对应的数是 .,解法二：, 点B对应的数是2或4,设点B表示的数是 ，则,根据题意得 或,解得 或,思想方法：方程思想,变式训练,1.数轴上有A、B两点，若点A对应的数是，且A、B两点间的距离为3，则点B对应的数是.2.点A到原点的距离为3，点B到原点
3、的距离为4，则A、B之间的距离是 .3.如图，若 ，则数轴上的原点在.,小结：,数形结合的优点：直观简便,或,或,点或点,例3.若 ，则下列关系正确的是（ ）.B.C. D.,解：,且, 表示数 的点到原点的距离比表示数的点到原点的距离大,在数轴上如图所示：, 选 D.,小结：,已知数的正负，则可表示在数轴相应位置上,变式训练,1.若 ，则 =（ ）. A. B.C. D.,2.已知 在数轴上的位置如下图所示，化简式子 的值为 .,C,变式训练,、,当堂检测,1.数轴上一动点A向左移动两个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数是1，则点A表示的数为 .,2.数a、b在
4、数轴上的位置如图所示，化简： .,3.数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，则点A和点B的距离是 .,4.已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足abc，abc0且a+b+c=0，那么线段AB与BC的大小关系是 .,当堂检测答案,1.数轴上一动点A向左移动两个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数是1，则点A表示的数为 .,2.数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： .,2,2a,提示：,提示：,且,当堂检测答案,3.数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，则点A和点B的距离是 .,4.已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足
5、abc，abc0且a+b+c=0，那么线段AB与BC的大小关系是 .,提示：,提示：,A表示的数是3，B点表示的数是5 数形结合，有4种情况,2或8,ABBC, abc0 a、b、c中有奇数个负数 a+b+c=0,abc a0 且数形结合：,例2.当 ， 有最 值，是 .,分析：,即 有最小值0，此时， .,（绝对值的非负性）,含一个绝对值，求最值,例2.当 时， 有最 值，是 .,分析：,即 有最大值0，此时， .,变式1当 时， 有最 值，是 .,2,小,0,含一个绝对值，求最值,例2.当 时， 有最 值，是 .,变式2当 时， 有最 值，是 .,分析：,即 有最小值1，此时， .,2,小
6、,0,含一个绝对值，求最值,例3.当 时， 有最 值，是 .,变式3当 时， 有最 值是 .,分析：,即 有最大值1，此时 .,2,小,0,含一个绝对值，求最值,例3.当 时， 有最 值，是 .,变式1当 时， 有最 值，是 .,变式2当 时， 有最 值，是 .,变式3当 时， 有最 值是 .,2,小,0,2,大,0,2,小,1,2,大,1,归纳：对于代数式 ，当 时,若 ，则它有最小值，是 .若 ，则它有最大值，是 .,含一个绝对值，求最值,问题：当x= 时，x23有最小值，最小值是多少？,解： x20, x23 3,当x=2时， x2=0,当x=2时， x23=3,因此，当x=2时， x2
7、3有最小值，最小值是3,含一个绝对值，求最值,基础训练题：,（1）当x取何值时，| x3|有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x取何值时，5| x+2|有最大值？这个最大值是多少？ （3）当x取何值时，16+x-7有最小值？这个最小值是多少？,答： x=3时值最小，, x=-2时值最大，, x=7时值最小，,最小值是0；,最大值是5；,最小值是16。,从实际问题入手：,一个生产流水线上依次排着三个工作台A,B,C,三个工人分别在工作台上工作，问只有一个检修工具箱放在何处，才能使工作台上操纵机器的三个工人每人取一次工具所走的路程之和最短？, ,A B C,放在点B的位置上，他们所走的路程之和最
8、短。,如果有五工作台呢？,有七个工作台呢？, ,A B C D E,点c的位置;, ,A B C D E F G,点D的位置;,探究二,当x= 时， x1+ x2有最小值，最小值是多少？,思维点拨：,1、x1表示的意义是什么？,2、x2表示的意义是什么？,3、x1 + x2表示的意义又是什么？,问题解决,解:设A：1，B：2，M：x,则AM=x1，BM= x2, x1+ x2,如图，易知当点M在AB上时，有最小值,因此，当时， x1+ x2有最小值，最小值是（AB=1）,注：也可用分类讨论的方法求x1+ x2的最小值,探究三,问题：当x= 时， x1+ x2+ x3有最小值，最小值是多少？,1
9、、那么怎样求x1+ x2+ x3的最小值呢？能否分为两组呢？怎么分组呢？,可分为x1 + x3和x2两组.,有探究一和探究二可知,当1x3时， x1 + x3有最小值为2.,当x=2时， x2有最小值是0,因此，当x=2时， x1+ x2+ x3有最小值，最小值是2,2、X为多少时，可以满足两组同时取最小值呢？,X=2,分组标准：存在x取值同时满足各组.有最小值,探究四,问题：当x= 时， x1+ x2+ x3+ x4有最小值，最小值是多少？,同样，我们可以分为x1+ x4和 x2+ x3两组,当1x4时， x1 + x4有最小值为3.,当2x3时， x2 + x3有最小值为1.,二者同时取最
10、小值的条件是2x3,因此，当2x3时， x1+ x2+ x3+ x4有最小值，最小值是4,探索五,问题：当x= 时， x1+ x2+ x3+ x4+ x5有最小值，最小值是多少？,同样，我们可以分为x1+ x5、 x2+ x4和x3三组,当1x5时， x1 + x5有最小值为4.,当2x4时， x2 + x4有最小值为2.,当x=3时， x3 有最小值为0.,三者同时取最小值的条件是x=3,因此，当x=3时， x1+ x2+ x3+ x4 + x5有最小值，最小值是6,探索六,问题：当x= 时， x1+ x2+ x3+ x4+ x5 + x6有最小值，最小值是多少？,同样，我们可以分为x1+
11、x6、 x2+ x5和x3 + x4三组,当1x6时， x1 + x6有最小值为5.,当2x5时， x2 + x5有最小值为3.,三者同时取最小值的条件是3x4,因此，当3x4时， x1+ x2+ x3+ x4 + x5 + x6有最小值，最小值是8,当3x4时， x3 + x4有最小值为1.,由上述几个探究你发现了什么规律?每个探索的规律一样吗？,探索与发现,规律,问题：当x= 时， xa1+ xa2+ xa3+ .+ xan-1 + xan有最小值？已知a1a2a3a4. an-1an,猜想：,当x= 时，原式有最小值.,当n为奇数时,当n为偶数时,当 时，原式有最小值.,拓展延伸一,问题
12、：当x= 时， x1+ x2+ x3+.+ x2012有最小值，最小值是多少？,当1006x1007时，原式有最小值.,（1007-1006）+（1008-1005）+（1009-1004）+.+（2012-1）,它的最小值,=1+3+5+7+.+2011,=10062,拓展延伸二,问题：当x= 时， x1+ x2+ x3+.+ x2012 + x2013有最小值，最小值是多少？,当x=1007时，原式有最小值.,它的最小值,（1007-1007）+（1008-1006）+1009-1005）+.+（2013-1）,=0+2+4+6+8+.+2012,=10061007,思考题：1、求式子：x
13、-1+x-2+x-3+x-2013的最小值。,解：x=1007时有最小值；,最小值是：,（1）当x取何值时，式子| x7|+| x8|+| x9|有最小值？最小值是多少？,（2）当x取何值时，式子： x+3+x+ 4+x+5+x+6+| x+7有最小 值？最小值是多少？,解答前面问题：,解：x=8时有最小值是2。,解：x=-5时有最小值是6, ,O 7 8 9, ,-7 -6 -5 -4 -3 0 1,=2(1+2),求式子：x-1+x-2+x-3+.+x-99的最小值;,解：x=50时有最小值，,最小值是：2(1+2+3+49)=2,(1+49) 492,=2450,2、求式子：,的最小值，
14、并求此时x的取值范围；,答：,、当5x7时，最小值是18； 、当50x51时，最小值是2500.,例4.化简： .,分析：根据绝对值的代数意义,变式1：化简： .,分析：根据绝对值的代数意义, 需要考虑 和 的正负,而,解：,当原式,当 原式,当 原式, 综上所述，原式,零点分段法,变式1：化简： .,变式2：求,法一：, 综上所述， 的最小值为1.5,的最小值,当 ，原式,当 ，原式,当 ，原式,零点分段法,变式2：求,法二：,的最小值,表示数 对应的点到2对应点的距离,表示数 对应的点到0.5对应点的距离, 原式即表示数 的点到2的距离与到0.5距离之和,于是，当 时，原式有最小值为1.5
15、,变式训练,1.解方程 .,2.讨论关于 的方程 的解的情况.,答案：0.75或5.5,答案:当a3时，原方程有无数解,x5或x2,提示：原方程左边有最小值是3,归纳：,1.当 时， 的值最小，且最小值为 .,2.当 时， 的值最小，且为 .,当堂检测,1.使代数式 的值为正整数的值是（ ）.A.正数 B.负数 C.零 D.不存在,D,2.试用两种方法求 的最小值.,提示：分类讨论： 或,答案：5,例2. 解方程：,解法一：,解法二：利用绝对值的几何意义,或,或,表示数轴上数 的点到3的距离,从数轴上看，距离3的点一个单位长度的 点有两个，分别是2和4, 原方程的解为,或,例5.求方程 的整数解.,解：,根据绝对值的几何意义此式可理解为：表示数 的点P与表示数1的点A和表示数3的点B的距离之和为4，即：PA+PB=4, AB=4 点P只能在线段AB上，即又 是整数 整数 只能是1、0、1、2、3,例4. 解方程：,解：,当 ，原方程转化为,当 ，原方程为,当 ，原方程为, 综上所述，原方程的解为 或, 不合题意,本节课总结：,绝对值式子的几何意义是：数轴上两点之间的距离。如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值. 如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|.,
