1、运用Excel建模和求解,第5章 网络最优化问题,本章内容要点,网络最优化问题的基本概念 网络最优化问题的四种主要类型：最小费用流、最大流、最短路、最小支撑树 各种网络最优化问题的建模与应用,本章节内容,5.1 网络最优化问题基本概念 5.2 最小费用流问题 5.3 最大流问题 5.4 最短路问题 5.5 最小支撑树问题 5.6 货郎担问题和中国邮路问题,本章主要内容框架图,5.1 网络最优化问题基本概念,网络在各种实际背景问题中以各种各样的形式存在。交通、电子和通讯网络遍及我们日常生活的各个方面，网络规划也广泛用于解决不同领域中的各种问题，如生产、分配、项目计划、厂址选择、资源管理和财务策划
2、等等。 网络规划为描述系统各组成部分之间的关系提供了非常有效的直观和概念上的帮助，广泛应用于科学、社会和经济活动的各个领域中。 近些年来，运筹学（管理科学）中一个振奋人心的发展是它的网络最优化问题的方法论和应用方面都取得了不同寻常的飞速发展。,5.1 网络最优化问题基本概念,许多研究的对象往往可以用一个图表示，研究的目的归结为图的极值问题。 运筹学中研究的图具有下列特征：(1) 用点表示研究对象，用连线（不带箭头的边或带箭头的弧）表示对象之间某种关系； (2) 强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比例大小与形状；(3) 每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图。实际中权可以代表两点之间的距离、费用
3、、利润、时间、容量等不同的含义；(4) 建立一个网络模型，求最大值或最小值。,5.1 网络最优化问题基本概念,对于该网络图，可以提出许多极值问题,5.1 网络最优化问题基本概念,（1）将某个点vi的物资或信息送到另一个点vj，使得运送成本最小。这属于最小费用流问题。 （2）将某个点vi的物资或信息送到另一个点vj，使得流量最大。这属于最大流问题。 （3）从某个点vi出发到达另一个点vj，怎样安排路线使得总距离最短或总费用最小。这属于最短路问题。,5.1 网络最优化问题基本概念,（4）点vi表示自来水厂及用户，vi与vj之间的边表示两点间可以铺设管道，权为vi与vj间铺设管道的距离或费用，极值问
4、题是如何铺设管道，将自来水送到其他5个用户并且使总的费用最小。这属于最小支撑树问题。(5) 售货员从某个点vi出发走过其他所有点后回到原点vi，如何安排路线使总路程最短。这属于货郎担问题或旅行售货员问题。 （6）邮递员从邮局vi出发要经过每一条边将邮件送到用户手中，最后回到邮局vi，如何安排路线使总路程最短。这属于中国邮递员问题。,5.1 网络最优化问题基本概念,网络最优化问题类型主要包括： （1）最小费用流问题； （2）最大流问题； （3）最短路问题； （4）最小支撑树问题； （5）货郎担问题和中国邮路问题，等等,5.2 最小费用流问题,最小费用流问题的模型在网络最优化中扮演着重要的角色，因
5、为它的适用性很广，并且求解方法容易。通常最小费用流问题用于最优化货物从供应点到需求点的网络。目标是在通过网络配送货物时，以最小的成本满足需求，一种典型的应用就是使得配送网络的运营最优。 最小费用流问题的特殊类型包括运输问题和指派问题，以及在下面将要提到的两种重要类型：最大流问题和最短路问题。,5.2 最小费用流问题,例5.1 某公司有两个工厂生产产品，这些产品需要运送到两个仓库中。其配送网络图如图52所示。目标是确定一个运输方案（即每条路线运送多少单位的产品），使通过配送网络的运输成本最小。,5.2 最小费用流问题,最小费用流问题的三个基本概念： 1、最小费用流问题的构成（网络表示） （1）节
6、点：包括供应点、需求点和转运点； （2）弧：可行的运输线路（节点i-节点j），经常有最大流量（容量）的限制。,5.2 最小费用流问题,2、最小费用流问题的假设 （1）至少一个供应点； （2）至少一个需求点； （3）剩下都是转运点； （4）通过弧的流只允许沿着箭头方向流动，通过弧的最大流量取决于该弧的容量； （5）网络中有足够的弧提供足够容量，使得所有在供应点中产生的流都能够到达需求点；（有解） （6）在流的单位成本已知前提下，通过每一条弧的流的成本和流量成正比；（目标是线性的） （7）最小费用流问题的目标在满足给定需求条件下，使得通过网络供应的总成本最小（或总利润最大）。,5.2 最小费用流问
7、题,3、最小费用流问题的解的特征 （1）具有可行解的特征：在以上的假设下，当且仅当供应点所提供的流量总和等于需求点所需要的流量总和时（即平衡条件），最小费用流问题有可行解； （2）具有整数解的特征：只要其所有的供应、需求和弧的容量都是整数值，那么任何最小费用流问题的可行解就一定有所有流量都是整数的最优解（与运输问题和指派问题的解一样）。因此，没有必要加上所有决策变量都是整数的约束条件。,5.2 最小费用流问题,最小费用流问题的数学模型为： （1）决策变量：设fij为通过弧（节点i-节点j）的流量。 （2）目标是通过网络供应的总成本最小。 （3）约束条件 所有供应点：净流量（总流出减总流入）为正
8、； 所有转运点：净流量为零； 所有需求点：净流量为负； 所有弧的流量fij受到弧的容量限制； 所有弧的流量fij非负。,5.2 最小费用流问题,例5.1最小费用流问题的数学模型为： （1）决策变量：设fij为通过弧(节点i-节点j)的流量。 （2）目标函数本问题的目标是总运输成本最小。,5.2 最小费用流问题,（3）约束条件(节点净流量、弧的容量限制、非负） 供应点 F1: 供应点 F2: 转运点 DC: 需求点 W1: 需求点 W2: 弧的容量限制： 非负：,5.2 最小费用流问题,例5.1的电子表格模型：列出了网络中的弧和各弧所对应的容量、单位成本。决策变量为通过弧的流量。目标是计算流量的
9、总成本。每个节点的净流量为约束条件。供应点的净流量为正，需求点的净流量为负，而转运点的净流量为0。这里用了一个窍门：用两个SUMIF函数的差来计算每个节点的净流量，这样快捷且不容易犯错。,5.2 最小费用流问题,大规模的最小费用流问题的求解一般采用“网络单纯法（Network Simplex Method）”。现在，许多公司都使用网络单纯法来解决他们的最小费用流问题。有些问题是非常庞大的，有着数万个节点和弧。有时，弧的数量甚至可能会多得多，达到几百万条。但Excel的规划求解中没有网络单纯法，但其他的线性规划的商业软件包通常都有这种方法。,5.2 最小费用流问题,最小费用流问题有五种重要的特殊
10、类型： （1）运输问题：有出发地(供应点-供应量)和目的地(需求点-需求量)，没有转运点和弧的容量限制，目标是总运输成本最小（或总利润最大）。 （2）指派类型：出发地(供应点-供应量为1)是人，目的地(需求点-需求量为1)是任务，没有转运点和弧的容量限制，目标是总指派成本最小（或总利润最大）。 （3）转运问题：有出发地(供应点-供应量)和目的地(需求点-需求量)，有转运点，但没有弧的容量限制(或有容量限制)，目标是总流量费用最小（或总利润最大）。,5.2 最小费用流问题,最小费用流问题有五种重要的特殊类型(续)： （4）最大流问题：有供应点、需求点、转运点、弧的容量限制，但没有供应量和需求量的
11、限制，目标是通过网络到目的地的总流量最大。 （5）最短路问题：有供应点(供应量为1) 、需求点(需求量为1) 、转运点、没有弧的容量限制，目标是通过网络到目的地的总距离最短。,5.3 最大流问题,在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问题等。而网络系统最大流问题是图与网络流理论中十分重要的最优化问题，它对于解决生产中的实际问题起着十分重要的作用。 最大流问题也与网络中的流有关，但目标不是使得流的总成本最小，而是寻找一个流的方案，使得通过网络的流量最大。除了目标（流最大化和成本最小化）不一样外，最大流问题的特征和最小费用流问题的特征非常相
12、似。,5.3 最大流问题,例5.2 某公司要从起始点vs（发点）运送货物到目的地vt（收点），其网络图如图54（下一张幻灯片）所示。图中每条弧（节点i-节点j）旁边的权cij表示这段运输线路的最大通过能力（容量）。要求制定一个运输方案，使得从vs到vt的运货量达到最大，这个问题就是寻求网络系统的最大流问题。,5.3 最大流问题,5.3 最大流问题,例5.2最大流问题的线性规划数学模型： （1）决策变量设fij为通过弧（节点i-节点j）的流量。 （2）目标函数本问题的目标是从vs流出的总流量最大。 （3）约束条件(转运点的净流量为0、弧的容量限制、非负）,5.3 最大流问题,例5.2最大流问题电
13、子表格模型,5.3 最大流问题,最大流问题的变形主要在于：有多个发点（供应点）和多个收点（需求点）。 例5.3 在例5.2的基础上，增加了一个发点ps、一个收点pt、两个转运点p1和p2、以及与之相连的7条弧，如图56（下一张幻灯片）所示。目标是从vs和ps两个发点运出的总流量最大。这是一个有2个发点（供应点）和2个收点（需求点）的最大流问题。,5.3 最大流问题,5.3 最大流问题,例5.3的数学模型,5.3 最大流问题,例5.3的电子表格模型,5.3 最大流问题,注意：增加一个起点和一个终点，其容量是供应量和需求量,5.3 最大流问题,最小费用最大流问题 在实际的网络应用当中，当涉及到流的
14、问题时，有时考虑的不只是流量，还要考虑费用多少的问题。比如一个铁路运输系统的网络流，不但要考虑网络系统的货运量最大，又要考虑总费用最小。最小费用最大流就是要解决这一类的问题。 所谓最小费用最大流问题就是：给定一个带收点和发点的网络，对每一条弧（节点i-节点j）,除了给出容量cij外，还给出了这条弧的单位流量的费用bij ，要求一个最大流F，并使得总运费用最小。 最小费用最大流问题也是一个线性规划问题。,5.3 最大流问题,例5.5 某公司有一个管道网络（如图510所示，下一张幻灯片），使用这个网络可以把石油从采地v1运送到销地v7。由于输油管道长短不一，每段管道除了有不同的流量cij限制外，还
15、有不同的单位流量的费用bij。每段管道旁边括号内的数值意义为（cij，bij）。如果使用这个网络系统，从采地v1向销地v7运送石油，怎样运送才能运送最多的石油并使得总的运送费用最小？,5.3 最大流问题,5.4 最短路问题,最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优化问题可以使用这个模型，如设备更新、管道铺设、线路安排、厂区布局等 最短路问题的最普遍的应用是在两个点之间寻找最短路，是最小费用流问题的一种特殊类型：源的供应量为1 、目的地（需求点）的需求量为1 、转运点的净流量为0、没有弧的容量限制，目标：通过网络到目的地的总距离最短。,5.4 最短路问题,例5.6 某人每天从住处v1开车到工作地v7上班，图中各弧旁的数字表示道路的长度（公里），试问该人应选择哪条路线，从家出发到工作地，路上行驶的总距离最短。,5.4 最短路问题,解：这是一个最短路问题。其数学模型为： （1）决策变量：设xij为弧(节点i-节点j)是否走（1表示走，0表示不走）。 （2）目标函数 本问题的目标是总距离最短。（3）约束条件(节点净流量、非负）P169,5.4 最短路问题,例5.6的最短路问题的电子表格模型,5.5 最小支撑树问题,
