1、九年级数学（上册）第一章 证明(二),2.直角三角形（2） 直角三角形全等的证明,驶向胜利的彼岸,三角形全等的判定,公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.,想一想: 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.,如果其中一边的所对的角是直角呢?,如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.,请证明你的结论.,驶向胜利的彼岸,命题的证明,命题:两边及其
2、中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.,老师提示:举反例证明假命题千万不可忘记噢!,证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:,由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等; 由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等; 因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.,命题的证明,驶向胜利的彼岸,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.,老师期望:你能写出它的证明过程吗? 你能用根据上面的证明用文字写出一个结论吗?,已知:如图,在ABC和ABC中, AC=AC , AB=AB, C=C=900. 求证:A
3、BCABC.,分析: 要证明ABCABC ,只要能满足公理(SSS),(SAS),(ASA)和推论(AAS)中的一个即可.由已知和根据勾股定理易知,第三条边也对应相等.,驶向胜利的彼岸,直角三角形全等的判定定理及其三种语言,定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).,如图,在ABC和ABC中, C=C=900 , AC=AC , AB=AB(已知), RtABCRtABC(HL).,驶向胜利的彼岸,用三角尺作角平分线,再过点M作OA的垂线,如图:在已知AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;,过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是AO
4、B的平分线.,请你证明OP平分AOB.,P,老师期望:你能写出它的证明过程吗?,已知:如图,OM=ON,PMOM,PNON. 求证:AOP=BOP.,先把它转化为一个纯数学问题:,蓄势待发,驶向胜利的彼岸,如图,已知ACB=BDA=900 , 要使ABCBDA, 还需要什么条件?把它们分别写出来.,增加AC=BD;,增加BC=AD;,增加ABC=BAD ;,增加CAB=DBA ;,你能分别写出它们的证明过程吗?,若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?,O,你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?,你能分别写出它们的证明过程吗?,驶向胜利的彼岸,知识在于积累,判断下列命题的真假,并说明
5、理由:,两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;,斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;,两直角边对应相等的两个直角三角形全等;,老师期望: 请分别将每个判断的证明过程书写出来.,一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.,回味无穷,直角三角形全等的判定定理: 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 综上所述,直角
6、三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等; 切记!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 即(SSA)是一个假冒产品!,知识的升华,P9习题1.5 1,2题.祝你成功！,习题1.5,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图,D是ABC的BC边上的中点,DEAC,DFAB,垂足分别为E,F,且DE=DF. 求证: ABC是等腰三角形.,分析:要证明ABC是等腰三角形,就需要证明AB=AC;,进而需要证明BC所在的BDFCDE;,而BDFCDE的条件:,从而需要证明B=C;,BD=CD,DF=DE均为已知.因此, AB
7、C是等腰三角形可证.,老师期望: 请将证明过程规范化书写出来.,习题1.5,驶向胜利的彼岸,2.已知:如图,AB=CD,DEAC,BFAC,垂足分别为E,F,DE=BF. 求证:(1)AE=AF;(2)ABCD.,老师期望:请将证明过程规范化书写出来.,分析:(1)要证明AE=CF,由此AE=CF可证.,需要证明内错角A=C;,而由ABFCDE可得证.,(2)要证明ABCD,由已知条件, AB=CD,DEAC,BFAC, DE=BF.可证得ABFCDE,从而可得AF=CE.,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.,
