1、第4章 刚体力学,教学基本要求 一、理解描述刚体定轴转动的物理量，熟练掌握刚体绕定轴作匀加速转动的运动学特点。 二、理解力矩与转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定律。 三、熟练掌握刚体绕定轴转动情况下的角动量定理和角动量守恒定律的应用。 四、理解刚体定轴转动的转动动能概念，掌握功能原理在定轴转动问题中的应用。 五、熟练掌握角动量守恒定律和机械能守恒定律的条件，提高应用守恒定律解决具体问题的能力。 作业：10,12,14,16,20,21,26,35,44,48,4.0 概述实际的物体是有大小的，并且有不同的形状。当物体受力作用时，可能还有大小形状的变化，此时将物体当作质点就不合适了，而应该
2、考虑物体各动部分的运动情况及其大小形状的变化。显然，这类问题是非常复杂的。如果物体受力作用时形状的变化很小，可以忽略不计，则会使问起题简化。于是提出“刚体”模型。,刚体-在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）研究刚体运动国防、工业、医学都有重要意义。,刚体的运动形式：平动、转动 .,平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 .,4.1 刚体的基本运动,转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .,刚体的平面运动 .,刚体运动的分类,刚体运动的分类
3、,圆周运动,4.2.0 圆周运动的角量表示 角量与线量的关系,匀速（率）圆周运动,变速（率）圆周运动,怎样定量描述其运动规律？,4.2 刚体定轴转动的描述,质点作变速率圆周运动时,切向单位矢量的时间变化率,1.圆周运动中的切向加速度和法向加速度,切向加速度（速度大小变化引起）,法向加速度（速度方向变化引起）,圆周运动加速度,当质点作匀速率圆周运动时， ，只有法向加速度。,减小,增大,角坐标,2. 圆周运动的角量表示,t,角位移,角速度,角加速度,O,(5) 质点作匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动时的角量表达,1) 匀速率圆周运动：,2) 匀变速率圆周运动,常量,角线量关系,线量,3. 角量,的
4、关系,与,角线简例,O,q,R,已知,求导例2,求导例3,角位移,角坐标,角速度矢量,方向: 右手螺旋方向,4.2.1. 刚体转动的角速度和角加速度,角加速度,1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动 均相同，但 不同； 3） 运动描述仅需一个坐标 .,定轴转动的特点,刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示 .,4.2.2 匀变速转动的公式,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,飞轮 30 s 内转过的角度,例 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150rmin-1， 因受制动而均匀减速，
5、经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .,该点的切向加速度和法向加速度,转过的圈数,例 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速度 ，经300s 后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转过多少转？,解 由题意，令 ，即 ，积分,得,当t=300s 时,所以,转子的角速度,由角速度的定义,得,有,在 300 s 内转子转过的转
6、数,4.3 力矩 转动定律 转动惯量,4.3.1 力矩,合力矩,合力矩的概念,转动定律,4.3.2 转动定律,刚体定轴转动定律,续,转动惯量的计算,4.3.3 转动惯量及其计算,质量连续分布的刚体,1.分立质点结构的刚体,直棒算例,2.质量连续分布的刚体,圆盘算例,O,m,球体算例,3.平行移轴定理,(对于非对称情形十分方便),I,如求匀质圆盘对通过 且与盘垂直的转轴的,就非常困难！,直棒算例,平行移轴定理,例如：均匀长杆,代入可得,球体算例,此外，还可以用填充法加平行轴定理求解转动惯量,半径R，质量M的均匀圆盘，被挖去一个小圆洞，求绕圆心轴的转动惯量.,R,r,d,未挖时密度,未挖时,挖后,
7、其它典型,转动定律例题一,* 转动定律应用选例,转动定律例题二,（以后各例同）,如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为,( T2 T1 ) R Mr= Ia,再联立求解。,转动定律例题三,例 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦因数为 ，令圆盘最初以角速度 绕通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴旋转，问它将经过多少时间才停止转动？,解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环，质量为,圆环所受的阻力矩为,由于,整个圆盘所受的阻力矩为,所以,根据转动定律，有,设圆盘经过时间 停止转动，对上式运算即可,最后得,4.4.1 质点的角动量,质点以角速度
8、作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量,质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原点的角动量,大小,的方向符合右手法则.,4.4 刚体的角动量 角动量定理 角动量守恒定律,刚体的角动量,4.4.2 刚体的角动量,定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的矢量和,角动量定理,4.4.3 刚体定轴转动的角动量定理,例,已知,刚体系统的角动量定理,*（刚体+质点）系的,角动量定理,若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体,系统的总合外力矩,系统的总角动量的变化率,系统的总冲量矩,系统的总角动量增量,(,),1,L,L,i,i,2,刚体的角动量守恒定律,4.4.4
9、 刚体定轴转动的角动量守恒定律,角动量守恒的另一类现象,花样滑冰中常见的例子,花 样 滑 冰,高台跳水,动画,高台跳水,共轴系统的角动量守恒,直升飞机,图片来自 Internet,守恒例题一,转动与碰撞,如，钢球碰悬锤木棒,如果该碰撞为完全弹性碰撞，则碰撞过程机械能守恒。,系统的角动量守恒。,动画,续上,又如，子弹击入悬锤木棒,系统的角动量守恒。,但因击入过程属非弹性碰撞，故该过程机械能不守恒。,动画,守恒例题三,4.5.1 力矩的功,O,j,P,力对转动刚体所作功可以用力矩的功来计算,W,q,0,q,q,0,q,刚体由 转到,F,R,4.5 刚体定轴转动的动能定理,转动动能,4.5.2 定轴
10、转动刚体的转动动能,力矩的功算例,刚体的动能定理,4.5.3 刚体定轴转动的动能定理,回忆质点的动能定理,刚体转动的动能定理,？,由,转动定律,M,则,W,q,1,q,w,1,w,I,w,2,1,2,I,w,I,w,合外力矩的功,转动动能的增量,刚体转动的动能定理,称为,2,2,2,动能定理例题三,含平动的转动问题,例,动能定理例题二,例 质量为 、长 为的细棒，可绕垂直于棒的一端的水平固定轴自由转动，转动惯量为 .棒原来静止在平衡位置上.现有一质量为 的小球在图面内飞来，正好于棒下端相碰，使杆向上摆到 处，如图所示. 设碰撞为完全弹性，求： （1）小球碰前速度的大小 。 （2）碰撞时，小球受
11、到多大 的冲量？,分析：此题的物理过程分为两个阶段：一是小球与棒完全弹性碰撞的过程，在此过程中，由小球和棒组成的系统所受外力对O轴的力矩为零，角动量守恒；二是棒向上转动的过程，在此过程中，只有重力作功，系统的机械能守恒。在解这类碰撞问题时常见的错误是，有人会用动量守恒。实质上，这一过程动量不守恒，因为在此过程中，除重力外，棒还受到轴对它的支撑力，这是一个未知的冲力，而如果用角动量守恒，所有问题迎刃而解。,解：（1）设小球与棒碰撞后其速度大小为 ，方向与 相同，棒的角速度为 .在碰撞过程中，小球和棒组成的系统所受外力对O轴的力矩为零，角动量守恒，即：,因碰撞时完全弹性的，碰撞前后动能相等，有,选棒和地球为系统，棒摆动中机械能守恒，则,联立、，解方程可求得,当=,时，,（2）相碰时，小球受到的冲量,将式整理代入可求得冲量的大小为,1. 如图所示，圆柱体的质量为M，半径为R，4个圆形孔洞的半径为 ，中心轴与每一个孔洞轴相距均为 .求圆柱体绕中心轴的转动惯量.,2. 一长为L的轻质细杆，两端分别固定质量为m和2m的小球，此系统在竖直平面内可绕过中心点O且与杆垂直的水平光滑轴(O轴)转动。开始时杆与水平成60角，处于静止状态。无初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕O轴转动。系统绕O轴的转动惯量I 。释放后，当杆转到水平位置时，刚体受到的合外力矩M= ；角加速度= 。,完,本章结束,
