第5章 刚体力学.doc

1、79第 5 章 刚体力学对于机械运动的研究，只局限于质点的情况是很不够的。质点的运动只代表物体的平动。物体是有其形状和大小的，它可以做平动、转动，甚至于做更为复杂性的运动；而且在运动中，物体的形状也可能发生变化。在本章讨论的刚体，考虑其形状和大小，但是不考虑其形变，仍然是一个理想模型。前四章我们介绍了力学的基本概念和原理，比如：质点、位矢、位移、速度和加速度，牛顿定律、动量和冲量、功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定律。在那里，这些概念和定理、定律是应用于质点，也用于质点系。本章将介绍一种特殊的质点系刚体所遵从的力学规律。这些规律实际上是前几章的基本概念和原理在刚体上的应用。本章重点讨论刚

2、体的定轴转动这种简单的情况。重要的概念有转动惯量、力矩、角速度和角动量等，守恒定律同样适用于包括刚体的系统。角动量定理和角动量守恒定律在现代物理学和航天科技中有着特别重要的意义。5.1 刚体的基本运动5.1.1 刚体一般假定物体在任何情况下，形状和大小都不发生变化，称之为刚体。5.1.2 刚体的平动刚体在运动过程中，连接刚体内任意两点的直线始终保持自身平行，则这种运动称为刚体的平动。如图 5.1-1 所示。刚体平动时，刚体上各点的运动情况完全相同，具有相同的位移、速度和加速度等。只要知道刚体上任一点的运动情况，整个刚体的运动情况也就知道了。这样刚体的平动可以看成是质点的运动，描述质点运动的各个

3、物理量和质点力学的规律都适用于刚体的平动。5.1.3 刚体的定轴转动如果在运动过程中，刚体上所有质元都绕同一直线作圆周运动，则这种运动称为刚体的转动；该直线称为转轴，若转轴固定不动，则这种运动称为刚体定轴转动，如图 5.1-2 所示。圆周轨道所在平面垂直转轴，这平面称为转动平面；圆轨道的中心就是转动平面与转轴的交点 O，称为转心。刚体上所有半径（ ）不等、速度iR图 5.1-1 刚体的平动 图 5.1-2 刚体定轴转动80不同，但是各个 在相同的时间间隔 内都转过了相同的角度 ，如图iviRt5.1-2 所示。5.2 刚体的定轴转动刚体绕某一固定轴转动时，各质元的线速度、加速度一般是不同的，如

4、图5.2-1 所示。但是，由于各质元的相对位置保持不变，所以描述各质元运动的角量，如角位移、角速度和角加速度都是一样的。因此，描述刚体运动时，用角量较为方便。5.2.1 基本角量若用 表示刚体在 时间内转过kddt的角位移，其角速度矢量为，其大小为 ， 图 5.2-1 t|t它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。刚体定轴转动的角速度实际上是其在转轴方向上的分量。所以，可以简化为标量。即 （5.2-1） ，dt角加速度为（5.2-2）2t离转轴的距离为 r 的质元的线速度和刚体的角速度的关系为：（5.2-3）)(kzyjixkrv其加速度和刚体的角加速度的关系为：（5.2-4）a

5、t（5.2-5）rn刚体转动的一种简单的情况是匀加速转动，在这一转动过程中，刚体的角加速度保持不变。以 表示刚体在 t=0 时的角速度，以 表示刚体在 t 时的角速0 度，以 表示刚体在 0 到 t 时刻的角位移，类比匀速直线运动，可推导出相应的公式：（5.2-6） t0（5.2-7） ， 22（5.2-8） 。01t图 5.2-181例 5.2-1、 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，如图 5.2-2 所示。滑轮半径 ，如果升降机从静止开始以加速度 匀加速度上升，求：mr5.0 2/4.0sma（1） 、滑轮的角加速度；（2） 、开始上升后， 末滑轮的角加速度；st5（3） 、在 5 秒内滑

6、轮转过的圈数；（4） 、开始上升后， 末滑轮边缘上一点的加速度（假设缆索和滑轮之t1间不打滑） 。解：（1）由于升降机的加速度和轮缘上一点的切向加速度相等，根据， ；rat )/(8.0542sradrat（2） 、 ， ；（3） 、 ， ， ；21t)(1.2r6.120n（4） 、如图 5.2-2 所示，已知 ，2/4.0smat又 srdt/8.01.，22235ran故 2/51.04 st 这个加速度的方向与轮缘切线方向的夹角。7.38.20arctgrtn图 5.3图 5.2-2825.2.2 力矩为了改变刚体原来的运动状态，必须对刚体施加作用力。外力对刚体转动的影响，不仅与作用力

7、的大小有关，而且与力的方向和作用点的位置有关。例如，我们用同样大小的力推开门时，当作用点靠边门轴不易把门打开；当作用点远离门轴，门就容易推开。由此可以看出，要改变刚体原来的运动状态就必须考虑作用力的大小、方向和作用点三要素。为此，我们引入力矩这一物理量。如图 5.2-3 所示，设转轴 O 垂直于刚体的转动平面，作用力 和作用点的F矢径 都在平面内，力 与矢径 的夹角为 。显然，力 越大、力的作用点rFr离 O 轴越远（即矢径 越大） ，且其夹角 越接近于 ，力产生的效果就越显r 90著。因此，我们定义作用力对转轴的力矩为 （5.2-9）M由 5.2-9 式可知力矩的大小为（5.2-10）sin

8、siFrr令 5.2-2 式中 ，则 d 是转轴 O 与作用力线间的垂直距离，称为力臂。rsin力矩方向用右手螺旋法则确定：伸出手掌，四指先指向矢径 方向，沿小于r180 度转向作用力 的方向，则拇指所指方向就是力矩 的方向，如图 5.2-3FM所示。力矩 的方向用 表示，它只有正和负两个方向：刚体沿逆时针转动时方向为Mk正，沿顺时针转动时方向为负。当刚体同时受到几个力矩作用时，合力矩等于各个力矩的代数和。5.2.3 转动定理为了研究刚体的运动，我们可以将刚体无限的分解为无穷多的质点 ，im然后采用叠加原理进行求和或者积分的手段，对整个刚体进行研究。这样，我图 5.3图 5.2-3 力矩的方向

9、右手螺旋法则83们就可以将研究质点运动的方法应用于刚体力学的研究。如图 5.2-4 所示，刚体绕定轴 O 转动，以质元 为研究对象，其所受外力为im，内力为 ，到定轴 O 的矢径为 ；且 与 之夹角为 ， 与 之夹iFi內 iriFiriiF內 ir角为 。刚体转动时，该质元做圆周运动，半径是 ；所受的切线方向力的大i i小为： ，iiiiFsns内1、应用牛顿第二定律 iiiin内 tiam两边同时乘以 irtiiiii arFrsnsn内2、应用叠加原理求和，tiniiiii arm 111s内此式的物理意义是：等式的左边为合外力矩和合内力矩之和。3、根据牛顿第三定律，内力中的任何一对（比

10、如质元 和 ）作用力和imj反作用力大小相等、方向相反，且在同一线上，所以每一对内力的合力矩为零，则有 ， ，上式转化为 0sin1niFr内 rat 211siniii rFr4、刚体定轴转动定理因为力矩 ，设iniiFrMs1（5.2-11）iimI2（5.2-11）式定义为其转动惯量，式，改写为211siniii rFr（5.2-IM12）严格地讲，这个式子是矢量式，即 它在 Z 轴上的投影为 。dtL zzzz IdttI)(图 5.2-484（5.2-12）表明：刚体做定轴转动时，刚体对定轴的转动惯量与其角加速度的乘积等于刚体所受外力的合外力矩，称为刚体定轴转动定理。5.2.4 刚体

11、的转动惯量的计算应用刚体定轴转动的动能定理公式时，我们需要先求出刚体对定轴的转动惯量，按 （为刚体的转动惯量）的定义式计算。对于质点连续分iirmI布的刚体，上述求和可以用定积分代替， 即 （5.2-13）drI2式中， r 为刚体质元 dm 到转轴的垂直距离。转动惯量的物理意义:由（5.2-11）可知，刚体对定轴的转动惯量等于刚体中各质元的质量和它们各自离该轴的垂直距离的平方的乘积的总和，它的大小不仅与刚体的总质量有关，而且和质量相对于轴的分别有关，其关系可概括如下1、形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大；2、刚体总质量相同，质量分别离轴越远，转动惯量越大；3、同一刚体，转轴不同

12、，质量分别就不同，而转动惯量就不同。在国际单位制中，转动惯量的量纲为 ML，单位名称是千克二次方米，符号为 kgm。下面举几个计算刚体转动惯量的例子。例 5.2-2 求一质量为 ，长度为 L 均匀细棒相对于（ ）垂直于棒且通ma过棒的一端的轴和（ ）垂直于棒且通过中心轴的转动惯量。b解：这是一道“转动惯量的计算”的问题，从转动惯量的定义出发依题意作图，如图 5.2-5 所示。选定研究对象（质元 ）sdxm数理逻辑推理（微积分）归纳得出和讨价结论。1、选定研究对象 和坐标系 OXYZ（ 为单位体积质量） ，dmsx2、从转动惯量的定义出发，解（ ）： ；allz mllSdxI00 2222 3

13、1解（ ）：利用（ ）的结果，将棒分为相等的两段，每段的质量为 ，ba m21长度为 ；每段的转动惯量为l21 2241)(31mllIz85根据叠加原理： ；22142mllIIzzb 例 5.2-3、求质量为 ，半径为 ，厚度极薄的均匀圆环的转动惯量。mR轴与圆环平面垂直并通过其圆心，如图 5.2-6（ ）所示。a解：根据转动惯量的定义式，又因为环上个质元到轴的垂直距离为 R，且都相等，所以 222RdRI由于转动惯量是可加的，所以一个质量为 ，半径为 的薄圆筒对其轴mR的转动惯量也是 。2mR例 5.2-4、求质量为 ，半径为 ，厚度为 的均匀圆盘的转动惯量。RL轴与圆盘平面垂直并通过其

14、圆心，如图 5.2-6（ ）所示。b解：根据转动惯量的定义式，又因为圆盘可以认为是由许多原环组成。取任一半径为 ，宽为 的薄圆环，其转动惯量为rdr，mI2式中 为薄圆环的质量，以 表示圆盘的体密度，d则 ，所以 ，rldrlI32lR2。20431mRldrI5.2.5 转动定理的应用图 5.2-6（a） （b）图 5.2-5865.2-5、如图 5.2-7（ ）所示，一条轻质绳绕过一只轴承光滑的定滑轮绳a的两端分别悬挂质量为 和 的物体，且 。设滑轮的质量为 ，半径为1m22m1m，绳与论之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳中的张力？R解题思路：这是一道刚体定轴转动的试题，根据已知条件，应

15、用牛顿定律和刚体转动定理，可解此题。做图，如图 5.2-8（ ）所示。b解题：1、用隔离体法分别对物体进行受力分析，运用牛顿定律对 m（1） amgF11因为绳不可伸长，所以 ，2对 2（2）ag222、由刚体转动定理 （3）212MRF3、根据牛顿第三定律 （4）21,4、运动学方程 （5）Ra5、数理逻辑推理联立（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）和（5）求解（2）-（1）（6）)()(1212 agmF（6）代入（3）图 5.2-787，amgaM)()(2/ 121得到 ， /21m将 代入（5）a，RMg)/(211将 代入（1） ，F将 代入（2） 。a 2/)(12mg所以

16、 。/CBAyayv5.3 刚体定轴转动的功和能在刚体转动时，作用在刚体上某点的力做的功仍然用此力和受力作用的质元位移的标积来定义。但是，对于刚体这个特殊的质点系，在转动中做的功可以用一个特殊形式表示。5.3.1 力矩的功 如图 5.3-1 所示，刚体的一个截面与其转轴正交于 O 点， F 为在此截面内作用在刚体上 P 点的外力。当刚体绕转轴有角位移 时，力 F 做的元功为d（5.3-dFrFrdrA sin)2cos(|cos1）由于 是力 F 沿 方向的分量，因而垂直于 的方向，所以 就是sin sinrF力对转轴的力矩 M，因此有（5.3-2）dA即力对转动刚体做的元功等于相应的力矩和角

17、位移的乘积。对于有限的角位移，力的功应该用积分求得（5.3-3）21上式称为力矩的功，这就是里做的功在刚体转动中的特殊表示形式。图 5.3-188则力矩的功率为 （5.3-4）MdttAP5.3.2 刚体定轴转动的动能1、研究方法以质元 m i为研究对象，质元作圆周运动和应用叠加原理进行研究；2、质元的动能（5.3-221iiki rmvE5）（5.3-2222 1Irriiiiikk 6）式中， ，为刚体的转动惯量，则 iirmI2（5.3-21IEk7）3、刚体定轴转动的动能与质点的动能对比： 质点的动能 ，刚体转动的动能 ；由此可以看出：刚201mvk21IEkz体的转动惯量 I 是刚体

18、绕定轴转动的惯性大小的度量，类比：。2,vmI5.3.3 动能定理当外力矩对刚体做功时，刚体的转动动能发生变化。下面求力矩的功与刚体的转动动能的变化之间的关系。将转动定理代入（5.3-2） ，得dItIdMdA当角速度由 变成 时，外力矩对刚体做的功为12（5.3-8）20210IA上式表明，刚体绕定轴转动时，刚体所受外力矩所做的功等于刚转动动能的增量，称为刚体定轴转动的动能定理。 例 5.3-1、如图 5.3-2 所示，一个质量为 M，半径为 R 定滑轮上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体 m 由静止下落 h 高度时的速度和此刻滑轮的

19、角速度。89解：选取滑轮、物体和地球为研究系统，在质量为 m 的物体下降的过程中，滑轮轴对滑轮的作用力（外力）的功为零（无位移） 。因此，系统只有重力（保守力）做功，所以机械能守恒。滑轮的重力势能不变，可以不考虑；取物体的初始位置为零势能点，则系统的初态的机械能为零，末态的机械能为： )(21hmgvI机械能守恒： =0V将关系式 和 代入上式，可得：21MRIvmghmghv)42(,)(42，4滑轮的角速度为。2)(RMmghv5.4 刚体定轴转动的角动量图 5.5-1 所示，刚体绕定轴转动时，应该具有角动量 L。当刚体绕定轴以角速度 转动时，它绕该轴角动量为 对 Z 轴角动i iii I

20、rmVrL)(2量表达为（5.4-dttIMzz)(1）说明：刚体所受的外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。 （5.4-1）式和质点角动量定理公式（3.3-2） dtL类似，不同的是：前者中的 M 和 L 是对定轴说的，而后者中的 M 和 L 是对定点而言；可以证明式（5.4-1）是（3.3-2）式沿定轴 Z 方向的分量式。在国际单位制中，角动量 L 的单位是千克二次方米秒，符号为 ，其量纲为 。smkg/212TL5.4.1 刚体定轴转动的角动量定理在定轴转动中，刚体对转轴 Z 的角动量 L 对时间的变化率，等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩之和，称为刚体定轴转动的角动量定理。表达式为图

21、5.3-2图 5.3-290（5.4-1）dtLMz其积分式为 （5.4-2）00zztt I5.4.2 刚体定轴转动的角动量守恒定律在定轴转动的过程中，当 时，zM（5.5-3）zIL这就是刚体定轴转动的角动量守恒定律，对该固定轴的角动量矢量保持不变。刚体的角动量守恒在现代科学技术中的一个重要的应用是惯性导航，所用的装置叫回转仪，也叫陀螺。它的核心部分是装置在常平架上的一个质量较大的转子，如图 5.5-1（ ）所示。常平架是由套在一起分别具有竖直轴和水平轴的两a个圆环组成。转子装在内环上，其轴与内环的轴相互垂直。转子精确地对称于其转轴的圆柱，各轴承均高度潤滑，这样转子就具有可以绕其自由转动的

22、三个相互垂直的轴自由转动。因此，不管常平架如何移动或转动，转子都不会受到任何力矩的作用。所以，一旦使转子高速转动起来，根据角动量守恒定律，它将保持其对称轴在空间的指向不变。安装在船、飞机、导弹或宇宙飞船上的这种回转仪就能指出这些船或飞行器的航向相对空间某一定向的方向，从而起到导航的作用。在这种应用中，往往用三个这样的回转仪并使它们的转轴相互垂直，从而提供一套绝对的笛卡尔直角坐标系。我们可以想一下，这些转子竟能在浩瀚的太空中认准一个确定的方向，并且使自己的转轴始终保持指向它而不改变，多么不可思议的自然界！上述导航装置出现不过一百年，但是，常平架在我国早就出现了，那是西汉（公元 1 世纪）丁缓设计

23、制造的被中香炉，如图 5.5-1（ b）所示。他用两个套在一起的环形支架架住一个小香炉，香炉由于受到重力，总是悬着。不管支架如何转动，香炉总不会倾倒。遗憾的是：这种装置只是用来被褥中取暖时的安全，而没有得到任何在技术上的应用。虽然如此，它也闪烁了我们祖先的智图 5.5-2（a） （b）图 5.5-191慧的光辉。在日常生活中，角动量守恒也有着广泛的应用。例如花样滑冰运动员和芭蕾舞蹈运动员绕通过重心的铅直轴高速旋转时，由于外力（重力和水平面的支持力）对轴的力矩恒为零，因而表演者对旋转轴的角动量守恒。他们可以通过改变自身的姿态来改变对轴的转动惯量，从而来调节自己的旋转的角速度。又如跳水运动员在跳板

24、上起跳时，总是向上伸直双手臂，跳到空中时，又将身体收缩，以减小转动惯量来加快空翻速度；当接近水面时，又身直双手臂以减小角速度以便竖直进入水中，如图5.5-2 所示。例 5.5-1、如图 5.5-3 所示，长为L，质量为 的均匀细棒能绕一端在铅直1m平面内转动。开始时，细棒静止于垂直位置。现有一质量为 的子弹，以水平速2度 射入细棒下断而不复出。求细棒和0v子弹开始一起运动时的角速度？题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的合外力（重力和轴的支持力相等）

25、对转轴 O 的力矩都为零。根据角动量守恒定律，系统对于 O 轴的角动量守恒。解题思路：根据上述的分析，对系统应用角动量守恒定律，可解此题。解：依题意可设 和 分别为系统开始的速度和角速度，且已知子弹和细v棒对于转轴 O 的转动惯量分别为 （1）22LmI图 5.5-3O图 5.5-3图 5.5-292（2）213LmI根据角动量守恒定律则有当 M= 0 时，（3）Iz所以 （4）LVm02数理逻辑推理联立（1） 、 （2）和（4）式,可得 。)/()3(120sradL质点的运动规律和刚体的定轴转动规律对比质点的运动 刚体的定轴转动速度 角速度 dtrv dt加速度 角加速度 2a 2力 力矩

26、 F rFM质量 m 转动惯量 I= dm运动定律 转动定律 a I动量 、动能 动量 、动能vP21mvEk iivP21IEk角动量 角动量 rLIL动量定理 角动量定理 dtF)( IdtM)(动量守恒 ， =恒量 角动量守恒 ， =恒量i0iv0i动能定理 动能定理 221ABmA 221ABIIA思考题51、如果一个刚体很大，它的重力势能还能等于它的全部质量集中在质心时的势能吗？52 花样滑冰运动员想高速旋转时，她先把一条腿和两臂伸开，并用脚蹬冰使自己转起来，然后她再收拢腿和臂，她的转速就明显地加快了，这利用可什么原理？53、宇航员悬立在飞船坐舱内的空中时，不触按舱壁，只能用右脚顺时

27、针划圈，身体就会向左转；当两臂伸直向后划圈时，身体又会向前转，这是为什么？93习题51 、求地球表面上纬度为 的 P 点，相对于地心参考系的线速度和加速度的数值与方向。 52、一刚体以每分钟 60 转绕 Z 轴做匀速转动（ 沿 Z 轴正方向），设某时刻刚体上一点 P 的位失为 ，其单位为“345rijk 210”为速度单位，则该时刻 P 点的速度为：1.ms（A） kjiv7.1506.2.94（B ） 58（C ） ij（D） 31vk5.3、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：（1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；（2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是

28、零；（3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；（4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。在上述说法中，（A）只有（1）是正确的。（B） （ 1） 、 （2）正确， （3） 、 （4）错误。（C） （ 1） 、 （2） 、 （3）都正确， （4）错误。（D） （1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）都正确。 53、刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 (A) 刚体不受外力矩的作用 (B) 刚体所受合外力矩为零 (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零 (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变 5.4、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为

29、零，则刚体（A） 、必然不会转动； （B） 、转速必然不变；（C） 、转速必然改变；（D） 、转速可能改变，也可能不变。5.5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴 O 转动。如图 1 所示，射来两个质量相同、速度的大小相同而方向相反，并在同一条直线上的子弹。子弹射入并且停留在圆盘内，则子弹射入的瞬间，圆盘的角速度0（A） 增大；（B）不变；（C）减小；（D）不能确定。945.6、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴 O 以角速度 转动，如图所示。两个大小相同而方向相反，但是不在同一条直线上的力 F，沿盘面同时作用在圆盘上，则圆盘的角速度 （A） 、必然增大；（B） 、必然减小；（C） 、不会

30、改变；（D） 、如果变化不能确定。 5.7、有一半径为 R 的水平圆转台，可绕过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为 J。开始时，转台以角速度 0转动，此时有一质量为 M 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去。当人到达转台边缘时，转台的角速度为（A） 、 ；20RJ（B） 、 ；)(（C） 、 ；20M（D） 、 0。 5.8、如图 3 所示，有一个小块物体，置于一个光滑水平桌面上。有一绳其一端连接此物体，另一端穿过中心的小孔。该物体原以角速度 在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体（A） 、动能不变，动量改变；（B） 、动能改变，动量不变；（C） 、角动量不变，动量不变

31、；（D） 、角动量改变，动量改变； 5.9、飞轮的转动惯量为 J，在 t=0 时的角速度为 0。此后飞轮经历制动的过程，阻力矩 M 的大小与角速度的平方成反比，比例系数 K（为大于零的常数）。当 时，飞轮的角加速度 = ；从开始制动到 ，所经30 30过的时间 t= 。图 5.2图 5.3图 5.1图 5.4 图 5.5955.10、如图 4 所示，P 、 Q、R 和 S 是附于刚体轻质细杆上的质量分别为：4m、2m、2m、和 m 的四个质点，且 PQ=QR=RS=L，则系统对 OO轴的转动惯量为： 。5.11、如图 5 所示，一质量为 M，半径为 R 的薄圆盘，可绕通过其一直径的光滑轴 AA

32、转动，其转动惯量为 。该圆盘从静止开始在恒力矩4/2JM 的作用下转动， t 秒钟后位于圆盘边缘与轴 AA的垂直距离为 R 的 B 点的切线加速度 at = ；法线加速度 an= 。5.12、一长为 L 的轻质细杆，两端分别固定质量为 M 和 2M 的小球，此系统在竖直平面内可绕过其中心点 O 且与杆垂直的水平固定轴转动。开始时，杆与水平成 60 角，处于静止状态，无初速度地释放后，杆球系统绕 O 转动，杆与两小球为一刚体，绕 O 轴转动惯量 J= 。释放后当杆转到水平位置时，刚体受到的合外力矩 M= ，角速度 = 。5.13、质量分别为 2m 和 m 的两物体（可视为质点） ，用一长为 的轻

33、质细杆相l连，系统绕通过杆与杆垂直的轴 O 转动。已知 O 轴离质量为 2m 物体的距离是/3l而质量为 m 物体的线速度为 V 且与杆垂直，则该系统对转轴的角动量的大小为：。514、一可绕定轴转动的飞轮，在 20N.m 的总力矩作用下在 10s 内转速由零均匀地增加到 ，飞轮的转动惯量 I= 。5.15、转动惯量是物体 量度，其大小与刚体的 ，质量分布 ，和 有关。5.16、半径为 20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径为 50cm 的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作匀角加速度转动，在 4s 内被动轮的角速度达到 8 ，则主动轮在这段时间内转过了 圈。1.rads517、

34、绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t0 时角速度为 05 rad / s，t 20 s 时角速度为 = 0.80，则飞轮的角加速度 _，t 0到 t100 时间内飞轮所转过的角度 _ 5.18、质量为 5kg 的一桶水悬于绕在辘轳上的绳子下端，辘轳可视为一质量为 10kg 的圆柱体，桶从井口由静止释放，求桶下落过程中的张力，辘轳绕轴转动时的转动惯量为，其中 M 和 R 分别为辘轳的质量和半径，摩擦忽略21R不计。5.19、飞轮对自身轴的转动惯量为 ，初角速度为 ，若作用在飞轮上的0J0阻力矩 为常量，试求飞轮的角速度减到 时所需的时间 t 以及在这一2段时间内飞轮转过的圈数 N；若 （ 为常数） ，

35、再解以上问题。Ma图 5.6965.20、一均匀细杆可绕其一端 （ 为杆长）的水平轴 O 在垂直平面内转14动，杆的质量为 M，当自由悬挂时，给它一个起始角速度 ，如杆恰能持续转0动而不摆动（一切摩擦不计） 。则（A） 0437g（B ）（C ） 0（D） 12g 5.21、一静止的均匀细棒，长为L，质量 M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑轴 O 在水平面内转动，一质量为 m，速率为 的子弹在v水平面内恰与棒垂直的方向射入棒的自由端，设击穿棒后子弹的速度为（ ） ，则此时棒的角速度为12v（A） ML（B ） m3（C ） v5（D） 。 L47 5.22、在光滑的水平面上一根长的 2m绳

36、子，一端固定于 O 点，另一端系一质量 m=0.5kg 的物体，开始时，物体位于位置 A，OA 间距离d=0.5m，绳子处于松驰状态，现在使物体以初速度 垂直于 OAsv/4滑动，如图 9， 设以后的运动中物体到达位置 B，此时物体速度的方向与绳垂直，则此时刻物体角动量的大小= ，物体的速度 ， = ALv。图 5.8图 5.7图 5.9975. 23、如图 10，已知滑轮的半径为 r，转动惯量为 I，弹簧的倔强系数为 k，问质量为 m 的物体落下 h时的速率= 。设开始时物体静止且弹簧后无伸长。524、一水平圆盘绕通过圆心的竖直轴转动，角速度为 ，转动惯量为1，在其上方还有一个以角速度 ，绕

37、同一竖直轴转动的圆盘，这圆盘的转1J 2动惯量为 ， 两圆盘的平面平行，圆心都在竖直轴上，上盘的底面有销钉，如2使上盘落下，销钉嵌入下盘，使两盘合成一体。（1）求两盘合成一体后系统的角速度 的大小？（2）第二个圆盘落下后，两盘的总动能改变了多少？5.25、在半径为 R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为（1/2）R 处，人的质量是圆盘质量的 1/10，开始时盘载人相对地以角速度 匀速转动，如果此人垂直圆盘半径相对于盘以速率 沿与盘转动0 v相反方向作圆周运动。已知圆盘对中心轴的转动惯量为 ，求：人沿2MR（1） 、圆盘对地的角速度。（2） 、欲使圆盘对地静止，沿着（

38、1/2）R 圆周对圆盘的速度 的大小及方向？v5.26、一个哑铃由两个质量为 m，半径为 R 的铁球和中间一根长为 连杆l组成，如右图 11 所示。和铁球的质量相比，连杆的质量可以忽略不计。求此哑铃多对于通过连杆中心并和它垂直的轴的转动惯量。它对于通过两球的连心轴的转动惯量又是多大？ 5.27、两物体质量分别为 和 ，1m2定滑轮的质量为m，半径为 ，可视r为匀圆盘。已知与桌面间的滑动2图 5.10图 5.12图 5.1198摩擦系数 。求 下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子与滑轮k1m间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。5.28、如图 13 所示，长为 L 的均匀直棒质量为

39、M，上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为 m，以水平速度 射入杆的悬点下距离为 d 处0v而不复出。求：（1）子弹刚停在杆中时杆的角速度多大？（2）子弹冲入杆的过程中（经历时间 t） ，杆的上端受轴的水平和竖直分力各多大？529、一飞轮以等角加速度 2 rad /s2 转动，在某时刻以后的 5s 内飞轮转过了 100 rad若此飞轮是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？ 530、已知一定轴转动体系，在各个时间间隔内的角速度如下： 0 ， 0t5 (SI)， 03t 15 5t8 (SI) 13t24， t8 (SI) ， 式中， 018 rad /s (1)

40、求上述方程中的 1 (2) 根据上述规律，求该体系在什么时刻角速度为零531、如图 14 所示，一圆盘绕通过其中心且垂直于盘面的转轴，以角速度 作定轴转动，A、B、C 三点与中心的距离均为 r试求图示 A 点和 B 点以及 A 点和 C点的速度之差 和 如果该圆vC盘只是单纯地平动，则上述的速度之差应该如何？ 532、如图 15 所示，一圆盘形工件K 套装在一根可转动的固定轴 A 上，它们的中心线互相重合，圆盘的内外直径分别为 D 和 D1该工件在外力矩作用下获得角速度 ，这时撤掉外力矩，工件在轴所受的阻力矩作用下最后停止转动，其间图 5.14图 5.1399经过了时间 t试求轴所受的平均阻力

41、这里圆盘工件绕其中心轴转动的转动惯量为 m(D2 ) / 8，m 为圆盘的质量轴的转动惯量忽略不计 1533、 一砂轮直径为 1 m 质量为 50 kg，以 900 rev / min 的转速转动撤去动力后，一工件以 200 N 的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在 11.8 s 内停止求砂轮和工件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为 mR2，其中 m 和 R 分别为砂轮的质量和半径).1534、一刚体绕固定轴从静止开始转动，角加速度为一常数试证明该刚体中任一点的法向加速度和刚体的角位移成正比535、绕固定轴作匀变速转动的刚体，其上各点都绕转轴作圆周运动试问刚体上任意一点是否

42、有切向加速度？是否有法向加速度？切向加速度和法向加速度的大小是否变化？理由如何？536、一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。 537 求一半径 R50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量 m18 kg 的重锤让重锤从高 2 m 处由静止落下，测得下落时间 t116 s再用另一质量 m2=4 kg 的重锤做同样测量，测得下落时间 t225 s假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量538、20Nm 的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在 10

43、 s 内该轮的转速由零增大到 100 rev / min此时移去该力矩，转轮因摩擦力矩的作用经 100 s 而停止试推算此转轮对其固定轴的转动惯量 （假设摩擦力矩是一个常量）539、如图 16 所示，A 和 B 两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 J10 kgm2 和 J20 kgm2开始时，A 轮转速为600 rev/min，B 轮静止C 为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计A、 B 分别与 C 的左、右两个组件相连，当 C 的左右组件啮合时，B轮得到加速而 A 轮减速，直到两轮的转速相等为止设轴光滑，求： (1) 两轮啮合后的转速 n； (2) 两轮各自所受的冲量矩。5.40

44、、长度为 l 质量为 M 的均匀直杆可绕通过杆图 5.16图 5.15100上端的水平光滑固定轴转动，最初杆自然下垂一质量为 m 的泥团在垂直于水平轴的平面内以水平速度 v0 打在杆上并粘住若要在打击时轴不受水平力作用，试求泥团应打击的位置(这一位置称为杆的打击中心)。5.41、长为 l、质量为 M 的匀质杆可绕通过杆一端 O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为 ，开始时杆竖直下垂，如231图所示有一质量为 m 的子弹以水平速度 射0v入杆上 A 点，并嵌在杆中，OA2l / 3，则子弹射入后瞬间杆的角速度 _。5.42、如图 19 所示，钢球 A 和 B 质量相等，正被绳牵着以 4 rad/s

45、 的角速度绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为 r1=15 cm现在把轴上环 C 下移，使得两球离轴的距离缩减为 r2=5 cm则钢球的角速度 _。5.43、空心圆环可绕光滑的竖直固定轴 AC 自由转动，转动惯量为 J0，环的 半径为 R，初始时环的角速度为 0质量为 m 的小球静止在环内最高处 A 点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心 O 在同一高度的 B 点和环的最低处的 C 点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?( 设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径 rR.) 图 5.17图 5.18图 5.19图 5.20101544、一块宽 L0.60 m

46、、质量 M1 kg 的均匀薄木板，可绕水平固定轴 无摩擦地自由O转动当木板静止在平衡位置时，有一质量为 m1010 -3 kg 的子弹垂直击中木板 A 点，A 离转轴距离 l0.36 m，子弹击中木板前的速度为 500 ms-1，穿出木板后的速度为 200 ms-1求：(1) 子弹给予木板的冲量； (2) 木板获得的角速度 (已知：木板绕 轴的转动惯量 )O 231MLJ545、一匀质细棒长为 2L，质量为 m，以与棒长方向相垂直的速度 v0 在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点 O 发生完全非弹性碰撞碰撞点位于棒中心的一侧 处，如图所示求棒在碰撞后的瞬时绕 O 点转动的角1速度 ( 细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为 ，式中的231mlm 和 l 分别为棒的质量和长度)。546、一可绕定轴转动的刚体，在合外力矩 M 作用下由静止开始转动试根据合外力矩对刚体所作的功等于刚体动能的增量以及转动定律，证明刚体的动能表示式为 式中的 J 和