1、第5章刚体的定轴转动 一 刚体的运动二 刚体定轴转动的转动动能三 转动惯量的计算四 刚体定轴转动的转动定律及其应用五 转动中的功和能六 刚体的角动量 角动量定理和角动量守恒定律 一 刚体的运动 刚体是一种特殊的质点系统 刚体是由大量质点组成的 在力作用下 组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变 1 刚体的平动 特点 刚体的平动的基本特征是各点运动状态都相同 因此刚体做平动运动我们可以将它看成质点 2 刚体的转动 刚体绕固定轴的转动 刚体绕某固定点的瞬时轴的转动 3 刚体的一般运动 质心的平动与刚体绕质心的转动叠加 定轴转动的特点 4 刚体定轴转动的描述 转动平面 1 各质元均作圆周运动 其圆
2、心都在一条固定不动的直线 转轴 上 2 各质元的线量一般不同 因为半径不同 但角量 角位移 角速度 角加速度 都相同 3 刚体运动学中所用的角量关系及角量和线量的关系与圆周运动相同 即 注意 本来是矢量 由于在定轴转动中轴的方位不变 故只有沿轴的两个方向 规定一个转动正方向后 可以用分量代替 4 在刚体作匀加速转动时 相应公式如下 二 刚体定轴转动的动能 刚体上所有质元的动能之和为 令J miri2 J称为刚体对于转轴的转动惯量 若质量连续分布 在 SI 中 J的单位 kgm2 dm为质量元 简称质元 其计算方法如下 质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布 其中 分别为质量的线密度 面密度和
3、体密度 线分布 面分布 体分布 三 转动惯量的计算 1 计算公式 例1 求质量为m 半径为R的均匀圆环的转动惯量 轴与圆环平面垂直并通过圆心 解 J是可加的 所以若为薄圆筒 不计厚度 结果相同 例2 求质量为m 半径为R 厚为l的均匀圆盘的转动惯量 轴与盘平面垂直并通过盘心 解 取半径为r 宽为dr的薄圆环 可见 转动惯量与l无关 所以 实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2 2 例3 求长为L 质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量 解 取如图坐标 dm dx 2 平行轴定理 前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量 JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量 两轴平行 相距L 2 可见 推广上述结论
4、 若有任一轴与过质心的轴平行 相距为d 刚体对其转动惯量为J 则有 这个结论称为平行轴定理 J JC md2 右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算 棒长为L 圆盘半径为R 四 刚体定轴转动的转动定律及其应用 1 力矩M 刚体转动状态变化的原因 力矩M Fr sina 2 合外力矩等于各力矩的代数和 如 规定顺时针为正方向 则M r1T1 r2T2 1 定轴转动中力矩可用代数量来表示 其正负取决于转动正方向的选取 力 力臂 对 mi用牛顿第二定律 切向分量式为 Fit fit miait 注意 切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直 两边乘以ri 有 Fitri fitri mi
5、ri2 2 转动定律 miri 对所有质元的同样的式子求和 Fitri fitri miri2 一对内力的力矩之和为零 所以有 Fitri miri2 Fitri即为转动刚体所受的对转轴的合外力矩M 则有M J 即刚体定轴转动的转动定律 Fitri fitri miri2 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积 刚体的转动定律 1 M J 与 地位相当 2 m反映质点的平动惯性 J反映刚体的转动惯性 M J 2 转动定律的应用 例 一长为1m的均匀直棒可绕其一端与棒垂直的水平光滑固定轴转动 抬起另一端使棒向上与水平面成60
6、 然后无初速的将棒释放 已知棒对轴的转动惯量为 1 3 ml2 其中m和l分别为棒的质量和长度 求 1 放手时棒的角加速度 2 棒转到水平位置时的角加速度 1 mg l 2 cos60 Ja1 2 mg l 2 Ja2 例2 转动着的飞轮的转动惯量为J 在t 0时角速度为w0 此后飞轮经历制动过程 阻力矩M的大小与角速度w的平方成正比 比例系数为k k为大于0的常数 当w 1 3 w0时 飞轮的角加速度a 从开始制动到w 1 3 w0所经过的时间t 由 得 由 分离变量并积分 即可 例3 阿特伍德机 如图 求绳中张力及每个物体加速度 设滑轮质量为M 半径为R 对中心轴转动惯量为J 绳不可伸长且忽略一切摩擦 T1 T2 m1g m2g T1 T2 解 对m1 质点 对m2 质点 T1 m1g m1a1 m2g T2 m2a2 对M 刚体 RT2 RT1 Ja 辅助关系 a1 a2 a Ra 联立求得
